Ableitungen von Sinus und Cosinus

Kompetenzcode: FA 6.6
Bereich: Funktionale Abhängigkeiten

Die beiden zentralen Ableitungsregeln lauten

$$\boxed{\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}$$

und

$$\boxed{\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}.$$

Leitidee: Der Ableitungsgraph zeigt an jeder Stelle die Steigung des ursprünglichen Funktionsgraphen.

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1. Die Ableitung als Steigungsfunktion

Die Ableitung $f'(x)$ gibt die momentane Steigung von $f$ an.

• $f'(x)>0$: Der Graph von $f$ steigt.
• $f'(x)<0$: Der Graph von fällt.

Bei Sinus und Cosinus lässt sich dieser Zusammenhang besonders gut am periodischen Verlauf erkennen.

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2. Die beiden Grundregeln

Es gilt im Bogenmaß:

$$\boxed{\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}$$ $$\boxed{\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}.$$

Das Minuszeichen bei der Cosinusableitung ist unverzichtbar.

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3. Warum ist die Ableitung von Sinus der Cosinus?

Betrachte den Sinusgraphen:

• Bei $x=0$ steigt er am stärksten.
• Bei $x=\frac{\pi}{2}$ besitzt er einen Hochpunkt.
• Bei $x=\pi$ fällt er am stärksten.

Die entsprechenden Steigungen sind

$$1,\quad 0,\quad -1,\quad 0.$$

Genau diese Werte besitzt der Cosinus an denselben Stellen.

Daher gilt:

$$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x).$$

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4. Warum ist die Ableitung von Cosinus der negative Sinus?

Betrachte den Cosinusgraphen:

• Bei $x=0$ besitzt er einen Hochpunkt.
• Bei $x=\frac{\pi}{2}$ fällt er am stärksten.
• Bei $x=\pi$ besitzt er einen Tiefpunkt.

Die entsprechenden Steigungen sind

$$0,\quad -1,\quad 0,\quad 1.$$

Diese Werte gehören zu $-\sin(x)$.

Daher gilt:

$$\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x).$$

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5. Charakteristische Stellen der Sinusfunktion

Für

$$f(x)=\sin(x)$$

gilt

$$f'(x)=\cos(x).$$

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6. Charakteristische Stellen der Cosinusfunktion

Für

$$g(x)=\cos(x)$$

gilt

$$g'(x)=-\sin(x).$$

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7. Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

Für $f(x)=\sin(x)$ gilt:

• $\cos(x)>0$: Der Sinusgraph steigt.
• $\cos(x)<0$: Der Sinusgraph fällt.

Im Intervall $0\leq x\leq2\pi$:

$$\sin(x)\text{ steigt auf } \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \text{ und } \left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right].$$ $$\sin(x)\text{ fällt auf } \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].$$

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8. Waagrechte Tangenten

Waagrechte Tangenten liegen dort, wo die Ableitung null ist.

Sinus

$$\cos(x)=0$$

bei

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi.$$

Dort besitzt $\sin(x)$ Hoch- oder Tiefpunkte.

Cosinus

$$-\sin(x)=0$$

bei

$$x=k\pi.$$

Dort besitzt $\cos(x)$ Hoch- oder Tiefpunkte.

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9. Konstante Vielfache ableiten

Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

$$\boxed{\left(a\sin(x)\right)'=a\cos(x)}$$ $$\boxed{\left(a\cos(x)\right)'=-a\sin(x)}.$$

Beispiel

$$f(x)=-4\cos(x)$$ $$\begin{aligned} f'(x) &=-4\cdot\left(-\sin(x)\right)\\ &=4\sin(x). \end{aligned}$$

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10. Einfache Summen ableiten

Mit der Summenregel können einfache Linearkombinationen abgeleitet werden.

Beispiel

$$f(x)=2\sin(x)-3\cos(x)$$ $$\begin{aligned} f'(x) &=2\cos(x)-3\cdot\left(-\sin(x)\right)\\ &=2\cos(x)+3\sin(x). \end{aligned}$$

Wichtig ist, das Minuszeichen der Cosinusableitung sorgfältig zu behandeln.

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11. Die zweite Ableitung

Wird erneut abgeleitet, erhält man die zweite Ableitung.

Für den Sinus:

$$\begin{aligned} f(x)&=\sin(x)\\ f'(x)&=\cos(x)\\ f''(x)&=-\sin(x). \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$\boxed{f''(x)=-f(x)}$$

für $f(x)=\sin(x)$.

Auch für $g(x)=\cos(x)$ gilt:

$$\boxed{g''(x)=-g(x)}.$$

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12. Der Ableitungszyklus

Die Ableitungen wiederholen sich nach vier Schritten:

$$\sin(x)$$ $$\cos(x)$$ $$-\sin(x)$$ $$-\cos(x)$$ $$\sin(x).$$

Daher gilt für jede ganze Zahl $n$:

Nach vier weiteren Ableitungen erhält man wieder dieselbe Funktion.

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13. Ableitungswerte bestimmen

Beispiel 1

$$f(x)=3\sin(x)$$ $$f'(x)=3\cos(x).$$

Bei $x=\frac{\pi}{3}$:

$$\begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &=3\cdot\frac12\\ &=\frac32. \end{aligned}$$

Beispiel 2

$$g(x)=2\cos(x)$$ $$g'(x)=-2\sin(x).$$

Bei $x=\frac{\pi}{2}$:

$$g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2.$$

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14. Funktions- und Ableitungsgraph zuordnen

Beim Zuordnen hilft folgende Reihenfolge:

1. Nullstellen der Ableitung suchen.
2. Dort waagrechte Tangenten des Funktionsgraphen prüfen.
3. Positive Ableitungswerte mit steigenden Abschnitten vergleichen.
4. Negative Ableitungswerte mit fallenden Abschnitten vergleichen.
5. Besonders steile Stellen mit großen Beträgen der Ableitung kontrollieren.

Ein Graphpaar muss an allen diesen Merkmalen zusammenpassen.

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15. Bogenmaß als Voraussetzung

Die Regeln

$$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)$$

und

$$\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)$$

gelten in dieser einfachen Form für Winkel im Bogenmaß.

Würde die unabhängige Variable im Gradmaß verwendet, entstünden zusätzliche Umrechnungsfaktoren.

In der Analysis wird daher standardmäßig das Bogenmaß verwendet.

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16. Ableitungen im Kontext

Betrachte eine Position

$$s(t)=2\sin(t)$$

in Metern, wobei $t$ in Sekunden gemessen wird.

Dann ist die Geschwindigkeit

$$v(t)=s'(t)=2\cos(t).$$

Bei $t=0$:

$$v(0)=2\ \frac{\mathrm m}{\mathrm s}.$$

Die Ableitung beschreibt hier die momentane Änderungsrate der Position.

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17. Einheiten von Ableitungen

Ist

$$f(x)$$

in einer Einheit $E_f$ und $x$ in einer Einheit $E_x$ angegeben, dann besitzt

$$f'(x)$$

die Einheit

$$\frac{E_f}{E_x}.$$

Beispiele:

• Position in Metern und Zeit in Sekunden: $$\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$
• Temperatur in Grad Celsius und Zeit in Stunden: $$\frac{^\circ\mathrm C}{\mathrm h}$$

Eine Ableitung ist nicht nur eine Zahl, sondern eine Änderungsrate.

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18. GeoGebra zur Kontrolle

Sinus und seine Ableitung

f(x)=sin(x)
g(x)=Ableitung(f)

Cosinus und seine Ableitung

h(x)=cos(x)
k(x)=Ableitung(h)

Kontrolle

• $g$ muss mit $\cos(x)$ übereinstimmen.
• $k$ muss mit $-\sin(x)$ übereinstimmen.
• Nullstellen der Ableitung müssen zu waagrechten Tangenten passen.

GeoGebra dient zur Kontrolle, ersetzt aber nicht die beiden Grundregeln.

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19. Arbeitsplan und typische Fehler

Arbeitsplan

1. Funktion als Sinus- oder Cosinusfunktion erkennen.
2. Konstante Faktoren markieren.
3. Grundregel auswählen.
4. Bei Cosinus das Minuszeichen notieren.
5. Konstante Faktoren übernehmen.
6. Bei Summen jeden Term einzeln ableiten.
7. Ergebnis vereinfachen.
8. Einen charakteristischen Wert kontrollieren.
9. Graphische Bedeutung prüfen.
10. Im Kontext Einheit und Bedeutung der Ableitung angeben.

Typische Fehler

• Das Minuszeichen bei $(\cos(x))'$ fehlt.
• $(\sin(x))'$ wird fälschlich als $-\cos$ angegeben.

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20. Zusammenfassung

Grundregeln:

$$\boxed{\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}$$ $$\boxed{\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}$$

Konstante Vielfache:

$$\boxed{\left(a\sin(x)\right)'=a\cos(x)}$$ $$\boxed{\left(a\cos(x)\right)'=-a\sin(x)}$$

Zweite Ableitung:

$$\boxed{f''(x)=-f(x)}$$

für Sinus- und Cosinusfunktionen.

Merksatz: Sinus wird zu Cosinus, Cosinus wird zu negativem Sinus.