Absolute und relative Änderungsmaße

Kompetenzcode: AN 1.1
Bereich: Analysis

Absolute und relative beziehungsweise prozentuelle Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können.

Leitidee: Wir vergleichen einen Anfangswert mit einem Endwert. Die absolute Änderung sagt, um wie viele Einheiten sich eine Größe verändert hat. Die relative Änderung sagt, wie groß diese Veränderung im Vergleich zum Anfangswert ist.

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1. Anfangswert und Endwert erkennen

Die beiden Werte können direkt in der Aufgabe stehen oder aus einer Funktion berechnet werden.

Direkt gegebene Werte

Ein Preis steigt von $80\,\text{€}$ auf $92\,\text{€}$.

• Anfangswert: $80\,\text{€}$
• Endwert: $92\,\text{€}$

Werte einer Funktion

Eine Funktion $f$ wird auf dem Intervall $[a;b]$ betrachtet.

• Anfangswert: $f(a)$
• Endwert: $f(b)$

Wichtig: Bei einer Funktion berechnest du zuerst $f(a)$ und $f(b)$. Danach vergleichst du diese beiden Werte genauso wie zwei direkt angegebene Zahlen.

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2. Absolute Änderung

Die absolute Änderung beantwortet die Frage:

Um wie viele Einheiten hat sich die Größe verändert?

Die Formelsammlung gibt für eine Funktion auf $[a;b]$ an:

$$f(b)-f(a)$$

Für direkt gegebene Werte bedeutet das einfach:

$$\text{Endwert}-\text{Anfangswert}$$

Die absolute Änderung hat dieselbe Einheit wie die betrachtete Größe.

Beispiel mit direkt gegebenen Werten

Ein Bestand sinkt von $240$ Stück auf $186$ Stück.

$$186-240=-54$$

Das Minuszeichen zeigt eine Abnahme. Der Bestand ist absolut um $54$ Stück gesunken.

Beispiel mit einer Funktion

Gegeben ist

$$f(x)=2x^2+3$$

auf $[1;3]$.

Zuerst berechnen wir die Werte an den Intervallgrenzen:

$$f(1)=5, \qquad f(3)=21.$$

Dann verwenden wir die Formel aus der Formelsammlung:

$$f(3)-f(1)=21-5=16.$$

Der Funktionswert steigt von $x=1$ bis $x=3$ absolut um $16$ Einheiten.

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3. Relative und prozentuelle Änderung

Die relative Änderung beantwortet die Frage:

Wie groß ist die Veränderung im Vergleich zum Anfangswert?

Die Formelsammlung gibt für eine Funktion auf $[a;b]$ an:

$$\frac{f(b)-f(a)}{f(a)} \qquad\text{für } f(a)\neq0$$

Für direkt gegebene Werte lautet dieselbe Rechnung:

$$\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}$$

Das Ergebnis der relativen Änderung besitzt keine Einheit. Für die prozentuelle Änderung wird es mit $100\,\%$ multipliziert.

Beispiel

Ein Preis steigt von $80\,\text{€}$ auf $92\,\text{€}$.

$$\frac{92-80}{80} = \frac{12}{80} = 0{,}15$$ $$0{,}15\cdot100\,\%=15\,\%$$

Der Preis ist absolut um $12\,\text{€}$ und relativ um $15\,\%$ gestiegen.

Achtung: Im Nenner steht immer der Anfangswert. Ist der Anfangswert $0$, kann keine relative Änderung berechnet werden.

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4. Zunahme, Abnahme und Änderungsfaktor

Eine positive relative Änderung bedeutet eine Zunahme, eine negative relative Änderung eine Abnahme.

Der Änderungsfaktor zeigt, mit welcher Zahl der Anfangswert multipliziert wird:

$$\text{Endwert} = \text{Anfangswert}\cdot\text{Änderungsfaktor}$$

Endwert bestimmen

Ein Wert von $640$ steigt um $12{,}5\,\%$.

Der Änderungsfaktor ist $1{,}125$.

$$640\cdot1{,}125=720$$

Der Endwert ist $720$. Die absolute Änderung beträgt $720-640=80$.

Anfangswert bestimmen

Nach einer Senkung um $15\,\%$ beträgt ein Wert $289$.

Der Änderungsfaktor ist $0{,}85$.

$$\text{Anfangswert} = \frac{289}{0{,}85} = 340$$

Merke: Eine Erhöhung um $20\,\%$ und eine anschließende Senkung um $20\,\%$ heben sich nicht auf. Die zweite Prozentangabe bezieht sich bereits auf einen veränderten Wert.

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5. Änderungsmaße bei Funktionen

Gegeben sind eine Funktion $f$ und ein Intervall $[a;b]$.

Sichere Vorgehensweise

1. Berechne den Anfangswert $f(a)$.
2. Berechne den Endwert $f(b)$.
3. Berechne die absolute Änderung mit $$f(b)-f(a).$$
4. Prüfe vor der relativen Änderung, ob gilt.

Nicht mit der mittleren Änderungsrate verwechseln

Die absolute Änderung ist

$$f(b)-f(a).$$

Die relative Änderung ist

$$\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}.$$

Der Ausdruck

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

ist die mittlere Änderungsrate. Sie gehört zum nächsten Thema AN 1.2.

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6. Vollständiges Beispiel mit direkt gegebenen Werten

Die Zahl der Abonnements steigt von $1250$ auf $1475$.

1. Absolute Änderung

$$1475-1250=225$$

Die Zahl der Abonnements steigt absolut um $225$.

2. Relative Änderung

$$\frac{1475-1250}{1250} = \frac{225}{1250} = 0{,}18$$

3. Prozentuelle Änderung

$$0{,}18\cdot100\,\%=18\,\%$$

Die Zahl der Abonnements steigt relativ um $18\,\%$.

4. Kontrolle

Der Änderungsfaktor ist $1{,}18$.

$$1250\cdot1{,}18=1475$$

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7. Vollständiges Beispiel mit einer Funktion

Gegeben ist

$$f(t)=0{,}5t^2+2t+10$$

auf $[2;6]$.

1. Anfangs- und Endwert

$$f(2)=0{,}5\cdot2^2+2\cdot2+10=16$$ $$f(6)=0{,}5\cdot6^2+2\cdot6+10=40$$

2. Absolute Änderung

$$f(6)-f(2)=40-16=24$$

3. Relative Änderung

$$\frac{f(6)-f(2)}{f(2)} = \frac{40-16}{16} = 1{,}5$$

4. Prozentuelle Änderung

$$1{,}5\cdot100\,\%=150\,\%$$

Der Funktionswert steigt von $t=2$ bis $t=6$ absolut um $24$ Einheiten. Die Zunahme entspricht $150\,\%$ des Anfangswerts. Der Endwert ist daher das $2{,}5$-Fache des Anfangswerts.

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8. Warum der Anfangswert wichtig ist

Vergleiche

$$20\rightarrow30$$

und

$$200\rightarrow210.$$

In beiden Fällen beträgt die absolute Änderung $10$.

Für die erste Veränderung gilt:

$$\frac{30-20}{20}=0{,}5=50\,\%.$$

Für die zweite Veränderung gilt:

$$\frac{210-200}{200}=0{,}05=5\,\%.$$

Merksatz: Eine absolute Änderung kann nur dann sinnvoll verglichen werden, wenn auch die Größen der Anfangswerte beachtet werden.

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9. Typische Fehler

• Endwert und Anfangswert werden vertauscht.
• Bei der relativen Änderung wird durch den Endwert geteilt.
• Das Vorzeichen wird nicht gedeutet.
• Die Einheit der absoluten Änderung fehlt.
• Das Ergebnis $0{,}15$ wird als $0{,}15\,\%$ statt als $15\,\%$ gelesen.
• Bei einer Funktion werden $f(a)$ und nicht zuerst berechnet.

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10. Zusammenfassung

Das Wichtigste: Zuerst Anfangswert und Endwert bestimmen. Dann die passende Formel wählen. Zum Schluss Vorzeichen, Einheit und Bedeutung des Ergebnisses erklären.