Vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten

Kompetenzcode: AN 1.2
Bereich: Analysis

Den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient auf Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffs kennen und verbal sowie formal kontextbezogen anwenden können.

Leitidee: Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate auf einem Intervall. Der Differenzialquotient beschreibt die momentane Änderungsrate an einer einzigen Stelle.

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1. Die wichtigste Unterscheidung

Merksatz: Beim Differenzenquotienten gehören zwei Stellen zu einem Intervall. Beim Differenzialquotienten wird die Änderung an einer einzigen Stelle beschrieben.

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2. Der Differenzenquotient: mittlere Änderung auf einem Intervall

Die Formelsammlung gibt für eine Funktion $f$ auf $[a;b]$ an:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \qquad\text{für }a\neq b$$

Die gleiche Formel kann auf dem Intervall $[x;x+\Delta x]$ geschrieben werden:

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \qquad\text{für }\Delta x\neq0$$

Der Zähler beschreibt die Änderung der Funktionswerte. Der Nenner beschreibt die Länge des betrachteten Intervalls.

$$\frac{\text{Änderung der Funktionswerte}}{\text{Änderung der Stellen}}$$

Das Ergebnis besitzt die Einheit

$$\frac{\text{Einheit der Funktionswerte}}{\text{Einheit der Stellen}}.$$

Beispiel

Gegeben ist $f(x)=x^2$ auf $[1;3]$.

$$f(1)=1, \qquad f(3)=9$$ $$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4$$

Der Funktionswert steigt auf dem Intervall $[1;3]$ im Mittel um $4$ Einheiten je zusätzlicher $x$-Einheit.

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3. Die geometrische Bedeutung: Sekantensteigung

Zu den Stellen $a$ und $b$ gehören die Punkte

$$P=(a\mid f(a)) \qquad\text{und}\qquad Q=(b\mid f(b)).$$

Die Gerade durch $P$ und $Q$ heißt Sekante. Ihre Steigung ist der Differenzenquotient:

$$m_{\text{Sekante}} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Eine Sekante benötigt zwei verschiedene Punkte. Deshalb muss $a\neq b$ gelten.

Kontrolle am Graphen: Steigt die Sekante von links nach rechts, ist der Differenzenquotient positiv. Fällt sie, ist er negativ. Eine waagrechte Sekante hat die Steigung $0$.

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4. Vom Intervall zur einzelnen Stelle

Wir halten die Stelle $x$ fest und wählen daneben eine zweite Stelle $x+\Delta x$.

Solange $\Delta x\neq0$ gilt, betrachten wir das Intervall

$$[x;x+\Delta x]$$

und berechnen eine Sekantensteigung:

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

Nun wird der Abstand $\Delta x$ immer kleiner. Der zweite Punkt nähert sich dem festen Punkt. Bei einer glatten Kurve nähert sich die Sekante dabei einer Tangente.

Nutze das interaktive Element oberhalb des Theorietexts:

1. Starte mit einem größeren Abstand $\Delta x$.
2. Beobachte die Sekante durch die beiden Punkte.
3. Verkleinere $\Delta x$ mit dem Schieberegler.
4. Vergleiche die Sekantensteigung mit der Tangentensteigung.
5. Achte darauf: Während der Annäherung gilt weiterhin $\Delta x\neq0$.

Zahlenbeispiel für $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$

Die Werte nähern sich $4$. Daher ist die momentane Änderungsrate an der Stelle $2$ gleich $4$.

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5. Der Differenzialquotient: momentane Änderung an einer Stelle

Die Formelsammlung gibt unter anderem folgende Definition an:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

Eine gleichwertige Schreibweise ist:

$$f'(x) = \lim_{x_1\to x} \frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}.$$

Beide Formeln beschreiben dieselbe Idee:

• Die Stelle $x$ bleibt fest.
• Eine zweite Stelle nähert sich $x$.
• Die Sekantensteigungen nähern sich einem Grenzwert.
• Dieser Grenzwert ist die Tangentensteigung $f'(x)$.

Der Differenzialquotient wird daher einer einzigen Stelle zugeordnet:

$$f'(2),\quad f'(5),\quad f'(x).$$

Wichtig: Man setzt nicht einfach $\Delta x=0$ in den Bruch ein. Dann wäre der Nenner $0$. Stattdessen betrachtet man Werte mit $\Delta x\neq0$, die sich der Zahl $0$ annähern.

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6. Woran erkennt man eine vollständige Limesformel?

Eine vollständige Grenzwertschreibweise besitzt mindestens diese Bestandteile:

1. das Limeszeichen $\lim$,
2. darunter eine Annäherungsangabe, zum Beispiel $\Delta x\to0$,
3. rechts davon einen Ausdruck, der von der sich nähernden Größe abhängt,
4. bei einer vollständigen Aussage einen Grenzwert oder eine Bedeutung links beziehungsweise rechts vom Gleichheitszeichen.

Vollständige Limesformel

$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Hier ist alles sichtbar:

• Ergebnis: $f'(x)$
• Limeszeichen: $\lim$
• Annäherung: $\Delta x\to0$
• abhängiger Ausdruck: der Differenzenquotient mit $$

Nur eine Annäherungsaussage

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \longrightarrow f'(x) \qquad\text{für }\Delta x\to0$$

Diese Schreibweise erklärt die Idee anschaulich. Die formale Limesdefinition enthält jedoch ausdrücklich das Zeichen $\lim$ mit der Annäherungsangabe darunter.

Keine Limesformel

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Das ist nur ein Differenzenquotient. Ohne $\lim$ und ohne Annäherungsangabe wird noch kein Grenzübergang beschrieben.

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7. Differenzenquotient und Differenzialquotient berechnen

Mittlere Änderungsrate

Bei einer Aufgabe mit einem Intervall $[a;b]$:

1. Berechne $f(a)$ und $f(b)$.
2. Bilde $f(b)-f(a)$.
3. Bilde $b-a$.

Momentane Änderungsrate

Bei einer Aufgabe mit einer Stelle $x$:

1. Erkenne, dass ein Wert wie $f'(x)$ gesucht ist.
2. Verwende die gegebene Ableitungsfunktion, eine Tangentensteigung oder eine technische Berechnung.
3. Setze die betrachtete Stelle ein.
4. Deute das Ergebnis an genau dieser Stelle.

Beispiel

Gegeben sind

$$f(x)=x^2 \qquad\text{und}\qquad f'(x)=2x.$$

Mittlere Änderungsrate auf $[1;3]$:

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = 4.$$

Momentane Änderungsrate an der Stelle $x=3$:

$$f'(3)=2\cdot3=6.$$

Die Zahl $4$ gehört zum gesamten Intervall $[1;3]$. Die Zahl $6$ gehört nur zur Stelle $x=3$.

Abgrenzung: Das Herleiten einer Ableitungsfunktion durch langes Ausmultiplizieren der Limesformel ist hier nicht der Schwerpunkt. Entscheidend sind das Verständnis des Grenzübergangs, das Lesen der Formel und die Unterscheidung zwischen Intervall und Stelle.

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8. Wann existiert der Differenzialquotient?

Die Sekantensteigungen müssen sich von beiden Seiten demselben Wert nähern.

Der Differenzialquotient kann zum Beispiel fehlen, wenn der Graph an der betrachteten Stelle

• einen Sprung besitzt,
• eine Ecke oder Spitze besitzt,
• keine eindeutige Tangentensteigung besitzt.

Bei $f(x)=|x|$ an der Stelle $x=0$ nähern sich die Steigungen von links dem Wert $-1$ und von rechts dem Wert $1$. Weil die beiden Seiten nicht denselben Grenzwert besitzen, existiert nicht.

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9. Typische Fehler

• Intervall und Stelle verwechselt: $[a;b]$ gehört zum Differenzenquotienten, $x$ beziehungsweise $f'(x)$ zum Differenzialquotienten.
• Intervalllänge vergessen: Im Nenner des Differenzenquotienten steht $b-a$.

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10. Das Wichtigste auf einen Blick

Kern der Kompetenz AN 1.2: Zwei Stellen und ein Intervall führen zum Differenzenquotienten. Eine einzelne Stelle und ein Grenzübergang führen zum Differenzialquotienten.