Änderungsraten in verschiedenen Kontexten

Kompetenzcode: AN 1.3
Bereich: Analysis

Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte damit beschreiben können.

Leitidee: Eine Änderungsrate ist erst dann vollständig gedeutet, wenn klar ist, welche Größe, in welchem Bezug, mit welchem Vorzeichen und in welcher Einheit beschrieben wird.

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1. Worum geht es in AN 1.3?

In AN 1.2 hast du den Unterschied zwischen Differenzenquotient und Differenzialquotient kennengelernt. In AN 1.3 steht nun die Deutung im Sachzusammenhang im Mittelpunkt.

Merksatz: Beim Differenzenquotienten wird ein ganzes Intervall beschrieben. Beim Differenzialquotienten wird eine einzelne Stelle beschrieben.

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2. Differenzenquotient: die Musterantwort

Die Formelsammlung gibt für die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[a;b]$ an:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \qquad\text{für }a\neq b$$

Für eine vollständige Musterantwort sollen drei Wörter sichtbar sein:

• im Intervall
• durchschnittlich
• pro

Mustersatz: Im Intervall $[a;b]$ nimmt die betrachtete Größe durchschnittlich um $r$ Einheiten pro Einheit der unabhängigen Größe zu beziehungsweise ab.

Beispiel: Weg und Zeit

Es gilt

$$s(1)=40\,\mathrm{km}, \qquad s(3)=180\,\mathrm{km}.$$

Dann ist

$$\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = \frac{180-40}{2} = 70\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}.$$

Musterantwort: Im Intervall $[1;3]$ nimmt der zurückgelegte Weg durchschnittlich um $70$ Kilometer pro Stunde zu.

Die Zahl $70$ bedeutet nicht, dass das Fahrzeug zu jedem Zeitpunkt genau $70\,\mathrm{km/h}$ fährt. Sie beschreibt den Durchschnitt über das gesamte Intervall.

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3. Positive, negative und verschwindende Raten

Das Vorzeichen gehört zur Deutung:

Beispiel: Temperaturabnahme

Eine Temperatur sinkt im Intervall $[2;5]$ von $18^\circ\mathrm C$ auf $12^\circ\mathrm C$.

$$\frac{12-18}{5-2} = -2\,\frac{^\circ\mathrm C}{\mathrm h}.$$

Musterantwort: Im Intervall $[2;5]$ sinkt die Temperatur durchschnittlich um $2^\circ\mathrm C$ pro Stunde.

Bei einer Abnahme kann man entweder das negative Vorzeichen nennen oder sprachlich „sinkt“ beziehungsweise „nimmt ab“ verwenden. Beides zusammen macht die Aussage besonders klar.

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4. Differenzialquotient: die Musterantwort

Der Differenzialquotient

$$f'(x)$$

beschreibt die momentane Änderungsrate an einer einzelnen Stelle. Eine passende Musterantwort enthält:

• an der Stelle oder zum Zeitpunkt
• momentan
• pro

Mustersatz: An der Stelle $x$ nimmt die betrachtete Größe momentan um $r$ Einheiten pro Einheit der unabhängigen Größe zu beziehungsweise ab.

Beispiel: momentane Temperaturänderung

$$T'(5) = -0{,}8\,\frac{^\circ\mathrm C}{\mathrm{min}}$$

Musterantwort: Zum Zeitpunkt $t=5$ Minuten sinkt die Temperatur momentan um $0{,}8^\circ\mathrm C$ pro Minute.

Achtung: Beim Differenzialquotienten gehören die Wörter „durchschnittlich“ und „im Intervall“ nicht in die Deutung. Diese Wörter kennzeichnen den Differenzenquotienten.

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5. Die Einheit richtig bilden

Die Einheit einer Änderungsrate entsteht immer aus

$$\frac{\text{Einheit der abhängigen Größe}} {\text{Einheit der unabhängigen Größe}}.$$

Das Wort pro liest den Bruchstrich: Kilometer pro Stunde, Euro pro Stück oder Liter pro Minute.

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6. Von der Mathematik zum Antwortsatz

Gehe bei einer Deutung in dieser Reihenfolge vor:

1. Größen klären: Was beschreibt die Funktion? Was beschreibt die Variable?
2. Bezug erkennen: Intervall oder einzelne Stelle?
3. Vorzeichen deuten: Zunahme, Abnahme oder momentan keine Änderung?
4. Einheit bilden: Einheit oben pro Einheit unten.
5. Mustersatz verwenden: vollständig und im Kontext formulieren.

Differenzenquotient

$$\frac{K(140)-K(100)}{140-100} = 18\,\frac{\mathrm{€}}{\mathrm{Stück}}$$

Deutung: Im Intervall $[100;140]$ steigen die Kosten durchschnittlich um $18$ Euro pro zusätzlich produziertem Stück.

Differenzialquotient

$$K'(100) = 21\,\frac{\mathrm{€}}{\mathrm{Stück}}$$

Deutung: Bei einer Produktionsmenge von $100$ Stück steigen die Kosten momentan um ungefähr $21$ Euro pro zusätzlich produziertem Stück.

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7. Vom Antwortsatz zur Mathematik

Auch die umgekehrte Richtung ist wichtig.

Mittlere Änderungsrate

Im Intervall $[4;9]$ sinkt der Wasserstand durchschnittlich um $1{,}5$ Zentimeter pro Minute.

Dazu passt:

$$\frac{H(9)-H(4)}{9-4} = -1{,}5\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}}.$$

Momentane Änderungsrate

Nach vier Jahren wächst die Bevölkerung momentan um $120$ Personen pro Jahr.

Dazu passt:

$$N'(4) = 120\,\frac{\text{Personen}}{\text{Jahr}}.$$

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8. Mittelwert bedeutet nicht konstant

Ein Differenzenquotient beschreibt einen Durchschnitt über das gesamte Intervall. Daraus darfst du nicht schließen, dass die Änderungsrate an jeder Stelle gleich groß war.

Ein Auto kann im Intervall $[1;3]$ durchschnittlich $70\,\mathrm{km/h}$ fahren und trotzdem zwischendurch schneller oder langsamer sein.

Ebenso kann gelten:

$$\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = 70\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}, \qquad s'(3) = 95\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}.$$

Die erste Zahl gehört zum ganzen Intervall. Die zweite Zahl gehört nur zum Zeitpunkt $t=3$.

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9. Technologie sinnvoll verwenden

Elektronische Hilfsmittel dürfen Differenzenquotienten und Ableitungswerte auch für kompliziertere Funktionen berechnen. Die Technik ersetzt aber nicht die Deutung.

Nach einer technischen Berechnung musst du weiterhin beantworten:

• Gehört das Ergebnis zu einem Intervall oder zu einer Stelle?
• Welche Einheit hat es?
• Bedeutet das Vorzeichen Zu- oder Abnahme?
• Wie lautet ein vollständiger Antwortsatz?

Merke: Eine bloße Zahl ist noch keine vollständige Lösung. Die mathematische Bedeutung entsteht erst durch Bezug, Einheit und verständliche Sprache.

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10. Typische Fehler

• Intervall fehlt: „Die Geschwindigkeit beträgt durchschnittlich $70\,\mathrm{km/h}$.“
  Besser: Im Intervall $[1;3]$ nimmt der Weg durchschnittlich um $70$ Kilometer pro Stunde zu.
• Das Wort durchschnittlich fehlt: Dann wird nicht klar, dass es sich um eine mittlere Rate handelt.
• Das Wort pro fehlt: Dann wird die Quotienteneinheit nicht sprachlich erklärt.
• Momentan und durchschnittlich werden verwechselt: „momentan“ gehört zur Stelle, „durchschnittlich“ zum Intervall.
• Negatives Vorzeichen wird ignoriert: Eine negative Rate beschreibt eine Abnahme.
• Einheit fehlt: Die Zahl allein sagt nicht, welche Größen verglichen werden.

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11. Zusammenfassung

Differenzenquotient

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

• bezieht sich auf das Intervall $[a;b]$,
• beschreibt eine durchschnittliche Änderung,
• wird mit einer Einheit „pro“ einer anderen Einheit angegeben.

Musterantwort: Im Intervall $[a;b]$ nimmt die Größe durchschnittlich um $r$ Einheiten pro Einheit zu beziehungsweise ab.

Differenzialquotient

$$f'(x)$$

• bezieht sich auf eine Stelle $x$,
• beschreibt eine momentane Änderung,
• besitzt ebenfalls eine Einheit „pro“ einer anderen Einheit.

Musterantwort: An der Stelle $x$ nimmt die Größe momentan um $r$ Einheiten pro Einheit zu beziehungsweise ab.

Kern der Kompetenz AN 1.3: Änderungsraten nicht nur berechnen, sondern mit Bezug, Vorzeichen, Einheit und einem vollständigen Antwortsatz im jeweiligen Kontext deuten.