Zum Hauptinhalt Theorie wird geladen …
Einfache Regeln des Differenzierens | Lerncoach
AN 2.1
Einfache Regeln des Differenzierens Lies die Erklärung in Ruhe durch und nutze anschließend die Schrittlisten, um das Vorgehen sicher anzuwenden.
Analysis 5 Schrittlisten PDF verfügbar
Das solltest du können
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel sowie Regeln für ( k ⋅ f ( x ) ) ′ \left(k\cdot f(x)\right)' ( k ⋅ f ( x ) ) ′ ( f ( k x ) ) ′ \left(f(kx)\right)' ( f ( k x ) ) ′
Einfache Regeln des Differenzierens
Kompetenzcode: AN 2.1Bereich: Analysis
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel sowie Regeln für ( k ⋅ f ( x ) ) ′ \left(k\cdot f(x)\right)' ( k ⋅ f ( x ) ) ′ ( f ( k x ) ) ′ \left(f(kx)\right)' ( f
AN 2.1 – Grundbegriffe und Voraussetzungen sichern Begriffe, Zeichen, Größen und Voraussetzungen der Kompetenz systematisch klären.
1 Aufgabenart erkennen Ordne die Aufgabe dem passenden mathematischen Thema zu.
2 Gegebene Größen markieren Notiere Werte, Variablen
3 Begriffe erklären Formuliere die zentralen Begriffe in eigenen Worten.
4 Voraussetzungen prüfen Kontrolliere Definitionsbereich, Modellannahmen und zulässige Werte.
5 Zielgröße festlegen Schreibe auf, was berechnet, entschieden oder interpretiert werden soll.
6 Passende Darstellung wählen Entscheide zwischen Text, Tabelle, Graph, Gleichung
7 GeoGebra-Übersicht: AN 2.1 – Einfache Regeln des Differenzierens
Diese Übersicht ist von der Tutor-Zusammenfassung getrennt. Die Befehle dienen zur Darstellung, Kontrolle und Untersuchung; die mathematische Entscheidung muss vorher nachvollzogen werden.
1. Befehlsübersicht Nächster Schritt
Festige das Thema mit passenden Aufgaben. Starte eine Aufgabensammlung, speichere deinen Fortschritt und hole dir bei Bedarf schrittweise Unterstützung.
(
k
x
)
)
′
Leitidee: Beim Differenzieren wird zuerst die Struktur des Terms erkannt. Danach wird für jeden Summanden die passende Regel angewendet.
1. Durchgehend dieselbe Schreibweise In diesem Thema verwenden wir für Ableitungen
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) Ableitungsfunktion ,f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) Ableitungswert an der Stelle x 0 x_0 x 0 . Andere Schreibweisen für Ableitungen werden in dieser Theorie und in den Musterlösungen nicht verwendet.
Beispiel: Aus f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3 f ′ ( x ) = 3 x 2 f'(x)=3x^2 f ′ ( x ) = 3 x 2 x = 2 x=2 x = 2 f ′ ( 2 ) = 12 f'(2)=12 f ′ ( 2 ) = 12
2. Welche Regel passt? Bei einem längeren Term
3. Konstantenregel und Potenzregel
Konstantenregel Für eine konstante Funktion f ( x ) = c f(x)=c f ( x ) = c
Der Graph einer konstanten Funktion ist waagrecht und hat daher überall die Steigung 0 0 0
f ( x ) = 7 ⟹ f ′ ( x ) = 0. f(x)=7
\qquad\Longrightarrow\qquad
f'(x)=0. f ( x ) = 7 ⟹ f ′ ( x ) = 0.
Potenzregel Für f ( x ) = x n f(x)=x^n f ( x ) = x n
f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 . f'(x)=n\cdot x^{n-1}. f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 . Die Regel besteht immer aus zwei Schritten:
Der Exponent wird als Faktor nach vorne geschrieben.
Der Exponent wird um 1 1 1
Beispiel 1: positive ganze Hochzahl
f ′ ( x ) = 5 x 4 . f'(x)=5x^4. f ′ ( x ) = 5 x 4 . Beispiel 2: negative Hochzahl
f ( x ) = x − 2 f(x)=x^{-2} f ( x ) = x − 2 f ′ ( x ) = − 2 x − 3 . f'(x)=-2x^{-3}. f ′ ( x ) = − 2 x − 3 . Beispiel 3: Wurzel zuerst als Potenz schreiben
f ( x ) = x = x 1 2 f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac12} f ( x ) = x = x 2 1 f ′ ( x ) = 1 2 x − 1 2 = 1 2 x . f'(x)=\frac12x^{-\frac12}
=
\frac{1}{2\sqrt{x}}. f ′ ( x ) = 2 1 x − 2 1 = 2 x 1 . Beispiel 4: Bruch zuerst als Potenz schreiben
f ( x ) = 3 x = 3 x − 1 f(x)=\frac{3}{x}=3x^{-1} f ( x ) = x 3 = 3 x − 1 f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 1 ) x − 2 = − 3 x 2 . f'(x)=3\cdot(-1)x^{-2}
=
-\frac{3}{x^2}. f ′ ( x ) = 3 ⋅ ( − 1 ) x − 2 = − x 2 3 .
Merke: Wurzeln und einfache Brüche werden vor dem Differenzieren zweckmäßig als Potenzen geschrieben.
4. Faktorregel und Summenregel
Faktorregel Ist k k k g ( x ) = k ⋅ f ( x ) g(x)=k\cdot f(x) g ( x ) = k ⋅ f ( x )
g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( x ) . g'(x)=k\cdot f'(x). g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( x ) . Der konstante Faktor bleibt erhalten.
g ( x ) = − 4 x 3 g(x)=-4x^3 g ( x ) = − 4 x 3 g ′ ( x ) = − 4 ⋅ 3 x 2 = − 12 x 2 . g'(x)=-4\cdot 3x^2=-12x^2. g ′ ( x ) = − 4 ⋅ 3 x 2 = − 12 x 2 .
Summenregel Ist h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) h(x)=f(x)+g(x) h ( x ) = f ( x ) + g ( x )
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . h'(x)=f'(x)+g'(x). h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . Auch eine Differenz wird gliedweise abgeleitet.
h ( x ) = 3 x 4 − 2 x 2 + 7. h(x)=3x^4-2x^2+7. h ( x ) = 3 x 4 − 2 x 2 + 7. Jeder Summand wird getrennt betrachtet:
( 3 x 4 ) ′ = 12 x 3 , (3x^4)'=12x^3, ( 3 x 4 ) ′ = 12 x 3 , ( − 2 x 2 ) ′ = − 4 x , (-2x^2)'=-4x, ( − 2 x 2 ) ′ = − 4 x , h ′ ( x ) = 12 x 3 − 4 x . h'(x)=12x^3-4x. h ′ ( x ) = 12 x 3 − 4 x .
Arbeitsweise: Summanden markieren, jeden Summanden ableiten, Ergebnisse wieder zusammensetzen.
5. Die Regel für f ( k x ) f(kx) f ( k x ) Ist im Inneren einer Funktion nur ein konstanter Faktor k k k
g ( x ) = f ( k x ) ⟹ g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( k x ) . g(x)=f(kx)
\qquad\Longrightarrow\qquad
g'(x)=k\cdot f'(kx). g ( x ) = f ( k x ) ⟹ g ′ ( x ) = k ⋅ f ′ ( k x ) . Der Faktor k k k
Beispiel 1: Sinus g ( x ) = sin ( 3 x ) . g(x)=\sin(3x). g ( x ) = sin ( 3 x ) . Für f ( x ) = sin ( x ) f(x)=\sin(x) f ( x ) = sin ( x ) f ′ ( x ) = cos ( x ) f'(x)=\cos(x) f ′ ( x ) = cos ( x ) k = 3 k=3 k = 3
g ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x ) . g'(x)=3\cos(3x). g ′ ( x ) = 3 cos ( 3 x ) .
Beispiel 2: Cosinus h ( x ) = cos ( 2 x ) . h(x)=\cos(2x). h ( x ) = cos ( 2 x ) . Für f ( x ) = cos ( x ) f(x)=\cos(x) f ( x ) = cos ( x ) f ′ ( x ) = − sin ( x ) f'(x)=-\sin(x) f ′ ( x ) = − sin ( x )
h ′ ( x ) = − 2 sin ( 2 x ) . h'(x)=-2\sin(2x). h ′ ( x ) = − 2 sin ( 2 x ) .
Beispiel 3: Exponentialfunktion p ( x ) = e 4 x . p(x)=e^{4x}. p ( x ) = e 4 x . Da für f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x f ′ ( x ) = e x f'(x)=e^x f ′ ( x ) = e x
p ′ ( x ) = 4 e 4 x . p'(x)=4e^{4x}. p ′ ( x ) = 4 e 4 x .
Beispiel 4: Potenz mit linearem Inneren q ( x ) = ( 5 x ) 3 . q(x)=(5x)^3. q ( x ) = ( 5 x ) 3 . Die äußere Funktion ist eine dritte Potenz, der innere Faktor ist 5 5 5
q ′ ( x ) = 5 ⋅ 3 ( 5 x ) 2 = 15 ( 5 x ) 2 = 375 x 2 . q'(x)=5\cdot 3(5x)^2
=
15(5x)^2
=
375x^2. q ′ ( x ) = 5 ⋅ 3 ( 5 x ) 2 = 15 ( 5 x ) 2 = 375 x 2 . Beispiel 5: Exponentialfunktion mit Basis 2 2 2 r ( x ) = 2 3 x . r(x)=2^{3x}. r ( x ) = 2 3 x . Für f ( x ) = 2 x f(x)=2^x f ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = ln ( 2 ) ⋅ 2 x f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x f ′ ( x ) = ln ( 2 ) ⋅ 2 x k = 3 k=3 k = 3
r ′ ( x ) = 3 ln ( 2 ) ⋅ 2 3 x . r'(x)=3\ln(2)\cdot 2^{3x}. r ′ ( x ) = 3 ln ( 2 ) ⋅ 2 3 x .
6. Außenfaktor und innerer Faktor unterscheiden
Nur ein Außenfaktor f ( x ) = 5 sin ( x ) f(x)=5\sin(x) f ( x ) = 5 sin ( x ) f ′ ( x ) = 5 cos ( x ) . f'(x)=5\cos(x). f ′ ( x ) = 5 cos ( x ) . Die Zahl 5 5 5
Nur ein innerer Faktor g ( x ) = sin ( 5 x ) g(x)=\sin(5x) g ( x ) = sin ( 5 x ) g ′ ( x ) = 5 cos ( 5 x ) . g'(x)=5\cos(5x). g ′ ( x ) = 5 cos ( 5 x ) . Die Zahl 5 5 5 5 x 5x 5 x
Außen- und innerer Faktor gemeinsam h ( x ) = 4 sin ( 2 x ) h(x)=4\sin(2x) h ( x ) = 4 sin ( 2 x ) h ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = 8 cos ( 2 x ) . h'(x)=4\cdot 2\cos(2x)
=
8\cos(2x). h ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = 8 cos ( 2 x ) .
Merke: Außenfaktor stehen lassen, inneren Faktor zusätzlich multiplizieren.
7. Mehrere Regeln gemeinsam anwenden
Beispiel 1: Polynom, Sinus und Exponentialfunktion f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x . f(x)=2x^4-3\sin(2x)+5e^x. f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x . ( 2 x 4 ) ′ = 8 x 3 , (2x^4)'=8x^3, ( 2 x 4 ) ′ = 8 x 3 , ( − 3 sin ( 2 x ) ) ′ = − 3 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = − 6 cos ( 2 x ) , (-3\sin(2x))'=-3\cdot 2\cos(2x)=-6\cos(2x), ( − 3 sin ( 2 x ) ) ′ = − 3 ⋅ 2 cos ( 2 x ) = − 6 cos ( 2 x ) , ( 5 e x ) ′ = 5 e x . (5e^x)'=5e^x. ( 5 e x ) ′ = 5 e x . f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x . f'(x)=8x^3-6\cos(2x)+5e^x. f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x .
Beispiel 2: Wurzel, Bruch und Exponentialfunktion g ( x ) = 4 x − 3 x + 2 x . g(x)=4\sqrt{x}-\frac{3}{x}+2^x. g ( x ) = 4 x − x 3 + 2 x . g ( x ) = 4 x 1 2 − 3 x − 1 + 2 x . g(x)=4x^{\frac12}-3x^{-1}+2^x. g ( x ) = 4 x 2 1 − 3 x − 1 + 2 x . g ′ ( x ) = 4 ⋅ 1 2 x − 1 2 + 3 x − 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g'(x)
=
4\cdot\frac12x^{-\frac12}
+
3x^{-2}
+
\ln(2)\cdot 2^x. g ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 1 x − 2 1 + 3 x − 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g ′ ( x ) = 2 x + 3 x 2 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x . g'(x)
=
\frac{2}{\sqrt{x}}
+
\frac{3}{x^2}
+
\ln(2)\cdot 2^x. g ′ ( x ) = x 2 + x 2 3 + ln ( 2 ) ⋅ 2 x .
Beispiel 3: Regeln mit unbekannten Funktionen h ( x ) = 3 f ( x ) − 2 g ( 4 x ) . h(x)=3f(x)-2g(4x). h ( x ) = 3 f ( x ) − 2 g ( 4 x ) . Der erste Summand verwendet die Faktorregel. Beim zweiten Summanden kommen Außenfaktor und innerer Faktor zusammen:
h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 2 ⋅ 4 g ′ ( 4 x ) . h'(x)
=
3f'(x)-2\cdot 4g'(4x). h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 2 ⋅ 4 g ′ ( 4 x ) . h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 8 g ′ ( 4 x ) . h'(x)=3f'(x)-8g'(4x). h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 8 g ′ ( 4 x ) .
8. Ableitungswerte berechnen Zuerst wird die Ableitungsfunktion bestimmt, danach wird die Stelle eingesetzt.
f ( x ) = x 3 − 3 x . f(x)=x^3-3x. f ( x ) = x 3 − 3 x . f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3. f'(x)=3x^2-3. f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3. Dann an der Stelle x = 2 x=2 x = 2
f ′ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 − 3 = 9. f'(2)=3\cdot 2^2-3=9. f ′ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 − 3 = 9. Die Tangentensteigung des Graphen von f f f x = 2 x=2 x = 2 9 9 9
Achtung: f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ′ ( 2 ) f'(2) f ′ ( 2 )
9. Typische Fehler
10. Sichere Vorgehensweise und Kontrolle
Term strukturieren: Wo sind die Summanden?Konstanten markieren: Welche Zahlen sind Außenfaktoren?Potenzen umschreiben: Wurzeln und einfache Brüche als Potenzen notieren.Inneres prüfen: Steht in einer Funktion ein Ausdruck k x kx k x Termweise ableiten: Jede Regel sichtbar anwenden.Vereinfachen: Erst nach dem Ableiten zusammenfassen.Kontrollieren: Ergebnis mit CAS oder Tangentensteigungen vergleichen.
CAS-Kontrolle f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x f(x)=2x^4-3\sin(2x)+5e^x f ( x ) = 2 x 4 − 3 sin ( 2 x ) + 5 e x kann ein CAS die Ableitungsfunktion berechnen. Die Ausgabe wird anschließend mit dem eigenen Ergebnis
f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x f'(x)=8x^3-6\cos(2x)+5e^x f ′ ( x ) = 8 x 3 − 6 cos ( 2 x ) + 5 e x
Wichtig: Das elektronische Hilfsmittel kontrolliert das Ergebnis. Die Regelwahl und die nachvollziehbaren Rechenschritte bleiben Teil der Lösung.
11. Das Wichtigste auf einen Blick
Ableitungen werden durchgehend als f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
Eine Konstante hat die Ableitung 0 0 0
Bei der Potenzregel kommt der Exponent nach vorne und wird anschließend um 1 1 1
Ein konstanter Außenfaktor bleibt erhalten.
Eine Summe wird gliedweise abgeleitet.
Bei f ( k x ) f(kx) f ( k x ) k k k
Wurzeln und einfache Brüche werden zweckmäßig als Potenzen geschrieben.
Bei längeren Termen werden mehrere Regeln nacheinander kombiniert.
Prüfe, ob alle Angaben korrekt übertragen wurden.
AN 2.1 – Darstellungen lesen und wechseln Text, Tabelle, Graph und Formel miteinander verbinden und ihre jeweilige Aussage deuten.
1 Ausgangsdarstellung lesen Beschreibe zunächst nur, was direkt gegeben ist.
2 Größen zuordnen Ordne Achsen, Spalten, Variablen
3 Kennwerte entnehmen Lies charakteristische Werte oder Beziehungen ab.
4 Zielform festlegen Bestimme, welche Darstellung hergestellt werden soll.
5 Darstellung erzeugen Übertrage die Informationen schrittweise und vollständig.
6 Zusammenhang erklären Begründe, warum beide Darstellungen dasselbe beschreiben.
7 Rückkontrolle Prüfe ausgewählte Werte in beiden Darstellungen.
AN 2.1 – Mathematisches Verfahren anwenden Ein passendes Rechen- oder Analyseverfahren auswählen, durchführen und dokumentieren.
1 Modell oder Formel wählen Nutze ein Verfahren, das besonders zu „Terme
2 Werte einsetzen Setze Zahlen und Variablen
3 Schrittweise umformen Dokumentiere äquivalente oder begründete Rechenschritte.
4 Technische Rechnung ausführen Berechne sorgfältig und vermeide vorzeitiges Runden.
5 Zwischenergebnis prüfen Kontrolliere Größenordnung, Vorzeichen und Definitionsbereich.
6 Ergebnis darstellen Gib exakte und gegebenenfalls sinnvoll gerundete Werte an.
7 Rechenweg rückprüfen Setze das Ergebnis ein oder verwende ein unabhängiges Kriterium.
AN 2.1 – Ergebnis im Kontext deuten Mathematische Ergebnisse in vollständigen Sätzen mit Einheiten, Bezugsgrößen und Gültigkeitsbereich erklären.
1 Ergebnis identifizieren Benenne, welche mathematische Größe berechnet wurde.
2 Einheit ergänzen Ordne die sachlich passende Einheit zu.
3 Bezug nennen Erkläre, auf welche Ausgangsgröße, Zeit oder Situation sich das Ergebnis bezieht.
4 Vorzeichen deuten Formuliere Zunahme, Abnahme, Richtung oder Lage.
5 Gültigkeitsbereich beachten Prüfe, für welche Werte und Bedingungen die Aussage gilt.
6 Antwortsatz schreiben Formuliere eine klare Antwort auf die Ausgangsfrage.
7 Plausibilität bewerten Vergleiche die Aussage mit Alltag, Skizze oder Datenlage.
AN 2.1 – Lösung kontrollieren und Fehler vermeiden Ergebnisse durch Probe, Gegenrechnung, Graph, Einheit und Modellkritik absichern.
1 Formale Probe Kontrolliere Gleichungen Funktionswerte
2 Darstellungsprobe Vergleiche mit Tabelle, Graph oder Skizze.
3 Einheitenprobe Prüfe, ob Einheit und Dimension zum Ergebnis passen.
4 Definitionsprobe Schließe unzulässige Werte und Scheinlösungen aus.
5 Grenzfall prüfen Teste einen einfachen oder extremen Fall.
6 Typischen Fehler suchen Vergleiche den Rechenweg mit bekannten Fehlerquellen.
7 Endfassung erstellen Gib Rechnung, Ergebnis und Deutung übersichtlich an.
4
Differenzierbare Funktion
Ableitung Ableitung(f,2) zweite Ableitung bilden Ableitung(f,2) CAS Zweimal differenzierbare Funktion
Tangente Tangente(x_0,f) Steigung geometrisch prüfen Tangente(2,f) Grafik Funktion und Stelle
2. Befehle als unveränderte Codeblöcke
Ableitung Verwendung: Ableitungsfunktion berechnen
Mathematische Voraussetzung: Differenzierbare Funktion
Ableitung Verwendung: zweite Ableitung bilden
Mathematische Voraussetzung: Zweimal differenzierbare Funktion
Tangente Verwendung: Steigung geometrisch prüfen
Benötigte Ansicht: Grafik
Mathematische Voraussetzung: Funktion und Stelle
3. Sinnvolle Arbeitsweise
Mathematische Größen und Voraussetzungen zuerst händisch bestimmen.
Eingabe exakt mit Klammern, Dezimaltrennzeichen und Variablen prüfen.
Darstellung und berechnete Werte mit dem eigenen Ergebnis vergleichen.
Abweichungen als Anlass für eine Fehleranalyse verwenden.
Wichtig: Eine grafische oder numerische Ausgabe ersetzt weder die Begründung noch die Kontextdeutung.
(
x
)
=
n ⋅
x n − 1
′
(
x
)
=
k ⋅
f ′ ( x )
h ′
(
x
)
=
f ′ ( x ) +
g ′ ( x )
(
x
)
=
k ⋅
f ′ ( k x )
=
x 1/2
)
Funktion und Wert unterscheiden
