Ableitungsfunktion und Stammfunktion

Kompetenzcode: AN 3.1
Bereich: Analysis

Leitidee: Die Ableitungsfunktion beschreibt die momentane Änderung einer Funktion. Eine Stammfunktion führt in die Gegenrichtung zurück.

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1. Drei Funktionen, drei verschiedene Aufgaben

In diesem Thema kommen häufig die Buchstaben $f$ und $F$ vor. Entscheidend ist, welche Rolle sie haben.

Wichtig: $f'(x)$ ist eine Funktion. $f'(2)$ ist eine Zahl.

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=x^3-2x.$$

Dann gilt

$$f'(x)=3x^2-2.$$

Die Ableitungsfunktion ist also $f'(x)=3x^2-2$. An der Stelle $x=2$ ist

$$f'(2)=3\cdot 2^2-2=10.$$

Das bedeutet: Der Graph von $f$ hat bei $x=2$ die Tangentensteigung $10$.

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2. Was ist eine Ableitungsfunktion?

Die Ableitungsfunktion $f'$ ordnet jeder Stelle $x$, an der $f$ differenzierbar ist, die momentane Steigung von $f$ zu.

$$x \longmapsto f'(x)$$

Die Ableitungsfunktion ist eindeutig: Wo die Ableitung existiert, gibt es nur einen passenden Ableitungswert.

Beispiel: Gerade

$$f(x)=4x-1$$

Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung. Daher ist

$$f'(x)=4.$$

Die Ableitungsfunktion ist die konstante Funktion $4$.

Beispiel: Parabel

$$f(x)=x^2$$

Dann gilt

$$f'(x)=2x.$$

Die Steigung hängt von der Stelle ab:

$$f'(-2)=-4,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(3)=6.$$

Links von $0$ ist die Steigung negativ, bei $0$ ist sie null und rechts von $0$ ist sie positiv.

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3. Was ist eine Stammfunktion?

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn

$$F'(x)=f(x)$$

gilt.

Man prüft eine Stammfunktion daher immer durch Ableiten.

Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=6x^2.$$

Wir vermuten

$$F(x)=2x^3.$$

Kontrolle:

$$F'(x)=6x^2=f(x).$$

Also ist $F(x)=2x^3$ eine Stammfunktion von $f$.

Merksatz: Eine Stammfunktion ist richtig, wenn ihre Ableitung wieder die Ausgangsfunktion ergibt.

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4. Warum gibt es unendlich viele Stammfunktionen?

Beim Ableiten verschwindet jede Konstante:

$$[7]'=0,\qquad [-12]'=0.$$

Deshalb haben die Funktionen

$$F_1(x)=2x^3,\qquad F_2(x)=2x^3+5,\qquad F_3(x)=2x^3-9$$

alle dieselbe Ableitung:

$$F_1'(x)=F_2'(x)=F_3'(x)=6x^2.$$

Die gesamte Stammfunktionsschar lautet daher

$$F_C(x)=2x^3+C,\qquad C\in\mathbb{R}.$$

Die Konstante $C$ verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten. Form und Steigungen bleiben gleich.

Eine Stammfunktion oder alle Stammfunktionen?

• „Gib eine Stammfunktion an.“
  Eine einzelne passende Funktion genügt, zum Beispiel $F(x)=2x^3$.

• „Gib alle Stammfunktionen an.“
  Die Konstante muss enthalten sein: $F_C(x)=2x^3+C$.

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5. In beide Richtungen denken

Von $f$ zur Ableitungsfunktion

$$f(x)=x^4-3x^2+2$$ $$f'(x)=4x^3-6x.$$

Von $f$ zu einer Stammfunktion

Gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung $f$ ergibt:

$$f(x)=6x^2-4x+3$$

Eine passende Stammfunktion ist

$$F(x)=2x^3-2x^2+3x.$$

Kontrolle:

$$F'(x)=6x^2-4x+3=f(x).$$

Alle Stammfunktionen sind

$$F_C(x)=2x^3-2x^2+3x+C.$$

Von $F$ zurück zu $f$

Gegeben ist

$$F(x)=x^3-4x.$$

Dann ist die zugehörige Funktion

$$f(x)=F'(x)=3x^2-4.$$

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6. Beispiele mit wichtigen Funktionstypen

Konstante Funktion

$$f(x)=5$$

Ableitungsfunktion:

$$f'(x)=0.$$

Eine Stammfunktion:

$$F(x)=5x.$$

Kontrolle:

$$F'(x)=5.$$

Negative Potenz

$$f(x)=x^{-2}.$$

Eine Stammfunktion ist

$$F(x)=-x^{-1},$$

denn

$$F'(x)=x^{-2}.$$

Dabei gilt $x\neq 0$.

Wurzelfunktion

Zuerst schreiben wir

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac12}.$$

Eine Stammfunktion ist

$$F(x)=\frac23x^{\frac32}.$$

Kontrolle:

$$F'(x) = \frac23\cdot\frac32x^{\frac12} = \sqrt{x}.$$

Exponentialfunktion

$$f(x)=e^x.$$

Sowohl die Ableitungsfunktion als auch eine Stammfunktion haben dieselbe Funktionsgleichung:

$$f'(x)=e^x, \qquad F(x)=e^x.$$

Sinus und Cosinus

$$[\sin(x)]'=\cos(x), \qquad [\cos(x)]'=-\sin(x).$$

Daher ist

$$F(x)=-\cos(x)$$

eine Stammfunktion von $\sin(x)$, weil

$$[-\cos(x)]'=\sin(x).$$

Und

$$F(x)=\sin(x)$$

ist eine Stammfunktion von $\cos(x)$.

Lineare innere Funktion

Gegeben ist

$$f(x)=3\cos(3x).$$

Eine Stammfunktion ist

$$F(x)=\sin(3x),$$

denn

$$F'(x)=3\cos(3x).$$

Hier liefert der innere Faktor $3$ beim Ableiten genau den benötigten Vorfaktor.

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7. Ableitungsfunktion, Ableitungswert und Stammfunktion unterscheiden

Gegeben sei

$$f(x)=x^3.$$

Dann gilt:

$$f'(x)=3x^2$$

ist die Ableitungsfunktion.

$$f'(2)=12$$

ist ein Ableitungswert.

$$F(x)=\frac14x^4$$

ist eine Stammfunktion von $f$, denn

$$F'(x)=x^3=f(x).$$ $$F_C(x)=\frac14x^4+C$$

beschreibt alle Stammfunktionen von $f$.

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8. Sichere Vorgehensweisen

Ableitungsfunktion bestimmen

1. Ausgangsfunktion sauber abschreiben.
2. Jeden Summanden passend ableiten.
3. Ergebnis als $f'(x)=\dots$ notieren.
4. Bei Bedarf einen Ableitungswert einsetzen.

Eine Stammfunktion prüfen

1. Vorgeschlagene Funktion $F$ ableiten.
2. $F'(x)$ mit $f(x)$ vergleichen.
3. Stimmen beide überein, ist $F$ eine Stammfunktion.

Alle Stammfunktionen angeben

1. Eine Stammfunktion $F$ finden.
2. Die Konstante $C$ ergänzen.
3. Durch Ableiten kontrollieren:

$$[F(x)+C]'=F'(x)=f(x).$$

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9. Typische Fehler

Fehler 1: Funktion und Funktionswert verwechseln

Falsch:

$f'(x)=10$, weil $f'(2)=10$.

Richtig:

$$f'(x)=3x^2-2 \quad\text{und}\quad f'(2)=10.$$

Fehler 2: Die Richtung vertauschen

Aus

$$F'(x)=f(x)$$

folgt: $F$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Es folgt nicht automatisch:

$$f'(x)=F(x).$$

Fehler 3: $C$ bei „allen Stammfunktionen“ vergessen

Eine einzelne Stammfunktion:

$$F(x)=x^2.$$

Alle Stammfunktionen:

$$F_C(x)=x^2+C.$$

Fehler 4: Die Kontrolle auslassen

Eine Stammfunktion sollte immer durch Ableiten geprüft werden.

Fehler 5: Die Konstante beim Ableiten stehen lassen

$$[F(x)+C]'=F'(x)+0.$$

Die Ableitung von $C$ ist null.

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10. Das Wichtigste auf einen Blick

• $f'(x)$ ist die Ableitungsfunktion und beschreibt die momentane Steigung von $f$.
• $f'(x_0)$ ist ein einzelner Ableitungswert.