Graphischer Zusammenhang von Funktion, Ableitung und Stammfunktion

Kompetenzcode: AN 3.2
Bereich: Analysis

Leitidee: Ein Graph kann Funktionswerte oder Steigungen darstellen. Entscheidend ist immer, welche Rolle der Graph gerade spielt.

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1. Zuerst die Rollen klären

In diesem Thema kommen drei Funktionen vor:

Für Ableitungen verwenden wir ausschließlich die Strichschreibweise $f'(x)$, $F'(x)$ und $f'(x_0)$.

Wichtig: Die Höhe eines Graphen und seine Steigung sind verschiedene Informationen.

Ein Graph kann unterhalb der $x$-Achse liegen und trotzdem steigen. Dann gilt gleichzeitig $f(x)<0$ und $f'(x)>0$.

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2. Vom Graphen von $f$ zum Graphen von $f'$

Der Wert $f'(x)$ ist die Tangentensteigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x$.

Beispiel: lokales Maximum

Steigt $f$ links von $x=2$ und fällt $f$ rechts von $x=2$, dann gilt:

$$f'(x)>0 \text{ für } x<2,\qquad f'(2)=0,\qquad f'(x)<0 \text{ für } x>2.$$

Der Graph von $f'$ schneidet bei $x=2$ die $x$-Achse von oben nach unten.

Beispiel: Gerade

Ist $f$ eine Gerade mit Steigung $3$, dann ist

$$f'(x)=3.$$

Der Ableitungsgraph ist eine waagrechte Gerade bei $y=3$.

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3. Vom Graphen von $f'$ zurück zum Graphen von $f$

Ist der Graph von $f'$ gegeben, liest du aus seiner Höhe die Steigung von $f$ ab.

• Liegt $f'$ über der $x$-Achse, steigt $f$.
• Liegt $f'$ unter der -Achse, fällt .

Prüfregel: Eine Nullstelle von $f'$ ist zunächst nur eine Stelle mit waagrechter Tangente. Für ein Extremum muss das Vorzeichen von $f'$ wechseln.

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4. Von $f$ zu einer Stammfunktion $F$

Für jede Stammfunktion $F$ gilt:

$$F'(x)=f(x).$$

Damit beschreibt die Höhe von $f$ die Steigung von $F$.

Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine vertikale Verschiebung:

$$F_C(x)=F(x)+C.$$

Die Konstante $C$ verändert die Höhe des Stammfunktionsgraphen, aber nicht seine Steigungen.

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5. Die NEW-Regel

NEW steht für:

• Nullstelle,
• Extremstelle,
• Wendestelle.

Die NEW-Regel wird treppenförmig aufgeschrieben:

f(x)       N   E   W
f'(x)          N   E   W
f''(x)             N   E   W

Spaltenweise lesen

Die Einträge, die senkrecht untereinander stehen, gehören zur gleichen $x$-Stelle:

• Die Extremstelle E von $f$ steht in derselben Spalte wie die Nullstelle N von $f'$.
• Die Wendestelle W von $f$ steht in derselben Spalte wie die Extremstelle E von $f'$ und die Nullstelle von .

So sieht man ohne Pfeilregel sofort, welche besonderen Stellen zusammengehören.

Eine Stammfunktion mitdenken

Gilt $F'(x)=f(x)$, kann man gedanklich oberhalb von $f$ noch eine weitere, um eine Stelle nach links versetzte Zeile für $F$ ergänzen. Dann liest man ebenfalls spaltenweise:

• Eine Nullstelle von $f$ mit Vorzeichenwechsel gehört zu einer Extremstelle von $F$.
• Eine Extremstelle von $f$ gehört zu einer Wendestelle von $F$.

Achtung: Die NEW-Regel ist eine Merkhilfe, kein automatischer Beweis. Eine Nullstelle von $f'$ liefert nur bei einem passenden Vorzeichenwechsel eine Extremstelle von $f$. Eine Wendestelle verlangt einen tatsächlichen Krümmungswechsel. Bei den hier betrachteten glatten Funktionen wird außerdem die passende Nullstelle von $f''$ geprüft.

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6. Ausführliches Beispiel

Gegeben sei

$$f(x)=x^3-3x.$$

Dann ist

$$f'(x)=3x^2-3.$$

Schritt 1: Nullstellen von $f'$

$$3x^2-3=0$$

liefert $x=-1$ und $x=1$.

Schritt 2: Vorzeichen von $f'$

• Für $x<-1$ ist $f'(x)>0$: $f$ steigt.
• Für $$ ist : fällt.

Daher besitzt $f$ bei $x=-1$ ein lokales Maximum und bei $x=1$ ein lokales Minimum.

Schritt 3: NEW-Regel

Die Extremstellen von $f$ erscheinen als Nullstellen von $f'$. Das ist der Schritt

$$E \longrightarrow N.$$

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7. Graphen sicher zuordnen

Gehe bei Zuordnungsaufgaben immer in dieser Reihenfolge vor:

1. Rollen lesen: Welcher Graph ist $f$, $f'$ oder $F$?
2. Nullstellen markieren: Wo liegt der Graph auf der $x$-Achse?
3. Vorzeichenintervalle lesen: Wo liegt er oberhalb oder unterhalb?
4. Steigen und Fallen vergleichen: Passt das Vorzeichen zur Steigung des anderen Graphen?
5. Waagrechte Tangenten suchen: Passen sie zu Nullstellen der Steigungsfunktion?

Merksatz: Die $x$-Stellen müssen zusammenpassen. Die $y$-Höhen von $f$ und $f'$ müssen nicht gleich sein.

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8. Typische Fehler

• Höhe mit Steigung verwechselt: $f(x)>0$ bedeutet nicht, dass $f$ steigt.
• Nullstelle von $f'$ automatisch als Extremstelle gedeutet: Der Vorzeichenwechsel fehlt.
• Nur einzelne Punkte betrachtet: Entscheidend sind auch die Intervalle dazwischen.
• NEW-Regel ohne Bedingungen verwendet: N, E und W müssen tatsächlich nachgewiesen sein.

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9. Kurzcheck

1. Was bedeutet $f'(x)>0$ für den Graphen von $f$?
2. Wann wird eine Nullstelle von $f'$ zu einer Extremstelle von ?

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10. Zusammenfassung

• $f'(x)$ ist die Tangentensteigung von $f$ an der Stelle $x$.
• Das Vorzeichen von $f'$ bestimmt, ob steigt oder fällt.