Funktionseigenschaften mit Ableitungen beschreiben

Kompetenzcode: AN 3.3
Bereich: Analysis

Leitidee: Mit $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ kann man verschiedene Eigenschaften derselben Funktion beschreiben.

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1. Worum geht es in AN 3.3?

In diesem Thema untersuchen wir mit Ableitungen:

• Monotonie,
• lokale Extremstellen und Extrempunkte,
• Links- und Rechtskrümmung,
• Wendestellen und Wendepunkte.

Für Ableitungen verwenden wir ausschließlich die Strichschreibweise:

$$f'(x),\qquad f''(x),\qquad f'''(x).$$

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2. Dieselbe Funktion aus drei Blickwinkeln

Zu einer Funktion kann man verschiedene Eigenschaften festhalten. Dabei haben $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ unterschiedliche Bedeutungen.

Wichtig: Bei $f'(x)=0$ und $f''(x)=0$ muss zusätzlich geprüft werden, ob wirklich ein Vorzeichenwechsel oder Krümmungswechsel vorliegt.

Stelle und Punkt unterscheiden

Eine Extremstelle ist eine $x$-Koordinate:

$$x_E.$$

Der zugehörige Extrempunkt enthält beide Koordinaten:

$$E=(x_E\mid f(x_E)).$$

Entsprechend unterscheiden wir die Wendestelle $x_W$ und den Wendepunkt

$$W=(x_W\mid f(x_W)).$$

Interaktiv im Webtheorieteil

Im Webtheorieteil gibt es unterhalb dieses Abschnitts einen kleinen Regler. Dort verschiebst du den aktuellen $x$-Wert einer Funktion. Daneben siehst du in drei Kästchen, ob gerade

• $f(x)$ positiv, negativ oder null ist,
• $f'(x)$ positiv, negativ oder null ist,
• $f''(x)$ positiv, negativ oder null ist.

So erkennt man direkt, wie Funktionswert, Steigung und Krümmung zusammenhängen.

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3. Monotonie mit $f'$

Die erste Ableitung beschreibt die Steigung des Graphen.

Wichtig: Monotonie wird auf Intervallen angegeben. Ein einzelner Wert $f'(x_0)$ beschreibt nur die Steigung an einer Stelle.

Beispiel

Für

$$f(x)=x^3-3x$$

gilt

$$f'(x)=3x^2-3.$$

Nun wollen wir herausfinden, in welchen Intervallen $f$ steigt oder fällt. Dafür brauchen wir das Vorzeichen von $f'$. Dieses Vorzeichen kann sich nur an einer Nullstelle von $f'$ ändern. Deshalb bestimmen wir zuerst die Nullstellen von $f'$.

Für eine quadratische Gleichung

$$ax^2+bx+c=0$$

verwenden wir die abc-Lösungsformel:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Bei

$$3x^2-3=0$$

gilt

$$a=3,\qquad b=0,\qquad c=-3.$$

Einsetzen ergibt:

$$\begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3}\\ &=\frac{\pm\sqrt{36}}{6} =\frac{\pm6}{6}. \end{aligned}$$

Damit sind die Nullstellen von $f'$:

$$x_1=-1,\qquad x_2=1.$$

Diese beiden Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle. In jedem Intervall setzen wir einen einfachen Testwert in $f'$ ein:

Also ist $f$

• steigend auf $(-\infty;-1)$,
• fallend auf $(-1;1)$,
• steigend auf $(1;\infty)$.

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4. Lokale Extremstellen

Zuerst bestimmst du die Kandidaten:

$$f'(x_E)=0.$$

Eine Nullstelle von $f'$ ist aber noch kein sicherer Extrempunkt.

Vorzeichenwechselkriterium

• $f'$ wechselt von $+$ nach $-$: lokales Maximum,
• $f'$ wechselt von nach : lokales Minimum,

Kriterium mit der zweiten Ableitung

Gilt bereits $f'(x_E)=0$, dann gilt:

$$f''(x_E)>0 \quad\Rightarrow\quad \text{lokales Minimum},$$ $$f''(x_E)<0 \quad\Rightarrow\quad \text{lokales Maximum}.$$

Bei

$$f''(x_E)=0$$

ist dieses Kriterium nicht entscheidend. Dann musst du das Vorzeichen von $f'$ untersuchen.

Beispiel: Extremstelle und Extrempunkt

Für

$$f(x)=x^2-4x+1$$

gilt

$$f'(x)=2x-4.$$

Aus $f'(x)=0$ folgt $x_E=2$. Wegen $$ liegt ein Minimum vor.

Die Extremstelle ist

$$x_E=2.$$

Der Tiefpunkt ist

$$T=(2\mid -3).$$

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5. Krümmung mit $f''$

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung verändert.

Eine Funktion kann dabei gleichzeitig fallen und linksgekrümmt sein.

Beispiel:

$$f'(x)<0,\qquad f''(x)>0.$$

Dann fällt $f$, aber die Steigung wird größer und nähert sich möglicherweise $0$. Der Graph fällt also immer flacher.

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6. Wendestellen

Zuerst bestimmst du Kandidaten:

$$f''(x_W)=0.$$

Für eine Wendestelle muss sich die Krümmung tatsächlich ändern. Deshalb prüfst du, ob $f''$ das Vorzeichen wechselt.

• $f''$ wechselt von $-$ nach $+$: rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt,
• $f''$ wechselt von nach : linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt.

Bei geeigneten Funktionen kann auch dieses hinreichende Kriterium verwendet werden:

$$f''(x_W)=0,\qquad f'''(x_W)\neq 0.$$

Beispiel: Wendepunkt mit waagrechter Tangente

Für

$$f(x)=x^3$$

gilt

$$f'(x)=3x^2,\qquad f''(x)=6x.$$

Bei $x=0$ wechselt $f''$ von negativ zu positiv. Daher liegt die Wendestelle

$$x_W=0$$

vor. Der Wendepunkt ist

$$W=(0\mid 0).$$

Da zusätzlich $f'(0)=0$ gilt, besitzt der Wendepunkt eine waagrechte Tangente.

Gegenbeispiel

Für

$$f(x)=x^4$$

gilt

$$f''(x)=12x^2.$$

Zwar ist $f''(0)=0$, aber $f''$ wechselt nicht das Vorzeichen. Daher liegt bei $x=0$ keine Wendestelle vor.

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7. Die NEW-Regel als Treppe

NEW bedeutet:

• Nullstelle,
• Extremstelle,
• Wendestelle.

Die Merkregel wird treppenförmig aufgeschrieben:

f(x)       N   E   W
f'(x)          N   E   W
f''(x)             N   E   W

Spaltenweise lesen

• Die Extremstelle von $f$ steht in derselben Spalte wie die Nullstelle von $f'$.
• Die Wendestelle von $f$ steht in derselben Spalte wie die Extremstelle von $f'$ und die Nullstelle von .

Achtung: Die NEW-Treppe ist eine Merk- und Kontrollhilfe. Vorzeichenwechsel und Krümmungswechsel müssen trotzdem geprüft werden.

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8. Vollständiges Beispiel

Gegeben ist

$$f(x)=x^3-3x.$$

1. Ableitungen

$$f'(x)=3x^2-3,$$ $$f''(x)=6x.$$

2. Monotonie und Extrema

Wir bestimmen zuerst die Nullstellen von $f'$, weil sich das Vorzeichen von $f'$ nur dort ändern kann. Die Gleichung

$$3x^2-3=0$$

lösen wir mit der abc-Lösungsformel. Es gilt

$$a=3,\qquad b=0,\qquad c=-3,$$

also

$$\begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3}\\ &=\frac{\pm6}{6}. \end{aligned}$$

Damit erhalten wir

$$x_1=-1,\qquad x_2=1.$$

Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Intervalle. Wir wählen je einen Testwert:

• Für $x<-1$: $f'(-2)=9>0$, also steigt $f$.

Somit ist $f$

• steigend auf $(-\infty;-1)$,
• fallend auf $(-1;1)$,
• steigend auf $(1;\infty)$.

Bei $x=-1$ wechselt $f'$ von positiv zu negativ. Dort liegt ein Hochpunkt. Bei $x=1$ wechselt $f'$ von negativ zu positiv. Dort liegt ein Tiefpunkt.

Daher gilt:

$$H=(-1\mid 2),$$ $$T=(1\mid -2).$$

3. Krümmung und Wendepunkt

Aus

$$f''(x)=0$$

folgt $x=0$.

Für $x<0$ ist $f''(x)<0$, für $x>0$ ist .

Damit ist $f$

• rechtsgekrümmt auf $(-\infty;0)$,
• linksgekrümmt auf $(0;\infty)$.

Der Wendepunkt lautet:

$$W=(0\mid 0).$$

4. NEW-Kontrolle

• Die Extremstellen von $f$ sind Nullstellen von $f'$.
• Die Wendestelle von $f$ ist eine Extremstelle von $f'$ und eine Nullstelle von .

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9. Sichere Vorgehensweise

1. Definitionsbereich beachten.
2. $f'(x)$ und $f''(x)$ bestimmen.
3. Nullstellen von $f'$ berechnen.

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10. Typische Fehler

• Nullstelle von $f'$ sofort als Extremstelle gewertet: Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung prüfen.
• $f''(x_E)=0$ als Gegenbeweis verwendet: Das Kriterium ist dann nur nicht entscheidend.

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11. Zusammenfassung

• $f(x)$ beschreibt den Funktionswert.
• $f'(x)$ beschreibt die Steigung.
• $f''(x)$ beschreibt die Krümmung.