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Unter- und Obersummen werden zum Integral

Wir betrachten f(x) = x² + 1 auf [0; 2]. Die Funktion ist positiv und steigt. Deshalb liefern linke Randpunkte die Untersumme und rechte Randpunkte die Obersumme.

Anzahl der Teilintervallen = 4

Rechteckbreite

Δx = 0,5

Untersumme

U₄ = 3,75

Obersumme

O₄ = 5,75

Grenzwert

14/3 ≈ 4,666667

U₄ ≤ Integralwert ≤ O₄

3,75 ≤ 4,666667 ≤ 5,75

Abstand: O₄ - U₄ = 2

Erhöhe n. Die Rechtecke werden schmaler, die Untersumme steigt, die Obersumme fällt und beide nähern sich dem Integralwert an.

Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Produktsumme

Kompetenzcode: AN 4.1
Bereich: Analysis

Leitidee: Eine gekrümmte Fläche oder ein gesamter Beitrag wird durch viele schmale Rechtecke angenähert. Werden die Rechtecke immer schmaler, nähert sich die Produktsumme einem festen Grenzwert: dem bestimmten Integral.

1. Warum Rechtecke?

Den Flächeninhalt eines Rechtecks können wir sofort berechnen:

A=\text{Breite}\cdot\text{Höhe}.

Unter einem gekrümmten Graphen ist die Höhe nicht überall gleich. Deshalb zerlegen wir das $[a;b]$ in viele schmale Teilintervalle. In jedem Teilintervall ersetzen wir das kleine Stück unter dem Graphen durch ein Rechteck.

Ein Produkt aus Breite und Höhe

Für ein Rechteck gilt:

\text{Rechtecksfläche}=f(\xi_i)\cdot\Delta x.

Bestandteil	Bedeutung
$\Delta x$	Breite des Teilintervalls
$\xi_i$	ausgewählte Stelle im -ten Teilintervall

2. Das Intervall gleichmäßig zerlegen

Das Intervall $[a;b]$ hat die Gesamtlänge

b-a.

Teilen wir es in $n$ gleich breite Teile, dann besitzt jedes Teilintervall die Breite

\Delta x=\frac{b-a}{n}.

Beispiel

Das Intervall $[0;2]$ wird in vier gleich breite Teile zerlegt:

\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5.

Die Teilintervalle lauten:

[0;0{,}5],\quad[0{,}5;1],\quad[1;1{,}5],\quad[1{,}5;2].

Merke: Wird $n$ größer, wird $\Delta x$ kleiner. Die Rechtecke werden schmaler und können den gekrümmten Rand genauer erfassen.

3. Aus vielen Produkten wird eine Produktsumme

Die Rechtecksflächen werden addiert:

P_n= f(\xi_1)\cdot\Delta x +f(\xi_2)\cdot\Delta x +\ldots +f(\xi_n)\cdot\Delta x.

Da alle Rechtecke dieselbe Breite besitzen, kann man auch schreiben:

P_n=\Delta x\cdot \left(f(\xi_1)+f(\xi_2)+\ldots+f(\xi_n)\right).

Der Ausdruck heißt Produktsumme, weil viele Produkte aus Breite und Höhe addiert werden.

4. Unter- und Obersumme

In jedem Teilintervall kann man unterschiedliche Rechteckshöhen wählen.

Für die Untersumme wird die kleinste Funktionshöhe des Teilintervalls verwendet.
Für die Obersumme wird die größte Funktionshöhe des Teilintervalls verwendet.

Damit gilt bei einer positiven :

U_n\leq \text{tatsächliche Fläche}\leq O_n.

Unter- und Obersumme vergleichen

Vorsicht bei linken und rechten Randpunkten

Bei einer steigenden Funktion ist der linke Randpunkt im Teilintervall der kleinste und der rechte der größte . Deshalb gilt dann:

linke Randpunkte $\rightarrow$ Untersumme,
rechte Randpunkte $\rightarrow$ Obersumme.

Bei einer fallenden Funktion ist es genau umgekehrt.

Wichtig: „Links“ bedeutet nicht automatisch „Untersumme“. Allgemein entscheiden immer der kleinste und der größte Funktionswert im jeweiligen Teilintervall.

5. Ausführliches Beispiel mit $f(x)=x^2+1$

Wir betrachten die positive und steigende Funktion

f(x)=x^2+1

auf dem Intervall $[0;2]$ . Wir beginnen mit $n=4$ Rechtecken.

Schritt 1: Breite bestimmen

\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5.

Schritt 2: Untersumme

Da die Funktion steigt, verwenden wir die linken Randpunkte

0,\quad 0{,}5,\quad 1,\quad 1{,}5.

Die zugehörigen Höhen sind

f(0)=1,\quad f(0{,}5)=1{,}25,\quad f(1)=2,\quad f(1{,}5)=3{,}25.

Damit:

\begin{aligned} U_4 &=0{,}5\cdot(1+1{,}25+2+3{,}25)\\ &=3{,}75. \end{aligned}

Schritt 3: Obersumme

Für die Obersumme verwenden wir die rechten Randpunkte

0{,}5,\quad 1,\quad 1{,}5,\quad 2.

Die Höhen sind

1{,}25,\quad 2,\quad 3{,}25,\quad 5.

Damit:

\begin{aligned} O_4 &=0{,}5\cdot(1{,}25+2+3{,}25+5)\\ &=5{,}75. \end{aligned}

Der exakte Grenzwert liegt dazwischen:

3{,}75<\frac{14}{3}<5{,}75.

6. Was geschieht bei mehr Rechtecken?

Für dieselbe Funktion erhält man:

$n$	$\Delta x$	Untersumme $U_n$	Obersumme

Unter- und Obersumme nähern sich an

Man erkennt:

Die Untersummen werden größer.
Die Obersummen werden kleiner.
Der Abstand zwischen beiden wird kleiner.
Beide Folgen nähern sich demselben Wert.

Dieser gemeinsame Grenzwert ist das bestimmte Integral.

7. Das bestimmte Integral als Grenzwert

Eine allgemeine Produktsumme lautet:

P_n= f(\xi_1)\cdot\Delta x +f(\xi_2)\cdot\Delta x +\ldots +f(\xi_n)\cdot\Delta x.

Wenn die Zerlegung immer feiner wird, gilt

n\rightarrow\infty \qquad\text{und damit}\qquad \Delta x\rightarrow 0.

Nähern sich die Produktsummen dabei einem festen Wert, dann definieren wir:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\rightarrow\infty} P_n.

Zeichen	Bedeutung
$a$ und $b$	Grenzen des betrachteten Intervalls
$f(x)$	Funktion beziehungsweise Rate

Kernidee: Das Integral ist nicht ein einzelnes Rechteck und auch keine grobe Rechteckssumme. Es ist der Grenzwert, dem sich immer feinere Produktsummen annähern.

8. Beiträge unterhalb der $x$ -Achse

Liegt der Graph unterhalb der $x$ -Achse, dann ist $f(x)<0$ . Ein Produkt

f(\xi_i)\cdot\Delta x

ist dann negativ. Solche Rechtecke liefern einen negativen Beitrag zum bestimmten Integral.

Deshalb beschreibt das bestimmte Integral einen orientierten Gesamtbeitrag:

oberhalb der $x$ -Achse: positiver Beitrag,
unterhalb der $x$ -Achse: negativer Beitrag.

Der geometrische Flächeninhalt ist dagegen immer nichtnegativ. Bei einem Vorzeichenwechsel muss man die Teilflächen getrennt betrachten.

9. Bedeutung in Anwendungen und Einheiten

Die Idee „Breite mal Höhe“ tritt auch in Sachzusammenhängen auf.

Geschwindigkeit

\text{Geschwindigkeit}\cdot\text{Zeitintervall} \approx \text{Wegänderung}.

Viele kleine Wegänderungen ergeben angenähert die gesamte Wegänderung.

Zuflussrate

\frac{\text{Liter}}{\text{Minute}}\cdot\text{Minute} = \text{Liter}.

Viele kleine Zuflussmengen ergeben die gesamte zugeflossene Menge.

Einheitenregel: Einheit des Integrals = Einheit von $f$ mal Einheit der unabhängigen Größe.

10. Typische Fehler

Eine grobe Rechteckssumme als exakt bezeichnet: Sie ist zunächst nur eine Näherung.
$\Delta x$ falsch berechnet: Immer $\Delta x=(b-a)/n$ verwenden.
Links automatisch als Untersumme verwendet: Das gilt nur bei steigenden Funktionen.
Nur die Höhen addiert: Jede Höhe muss mit der Breite multipliziert werden.
Unter- und Obersumme vertauscht: Kleinsten und größten Funktionswert je Teilintervall prüfen.
Grenzwert mit einem sehr großen, aber endlichen verwechselt: Ein endliches liefert weiterhin eine Näherung.

11. Zusammenfassung

Das Intervall $[a;b]$ wird in $n$ Teilintervalle zerlegt.
Bei gleichmäßiger Zerlegung gilt $\Delta x=(b-a)/n$ .
Ein kleiner Beitrag hat die Form .

Befehl	Syntax	Verwendung	Beispiel	Ansicht	Voraussetzung
Integral	Integral(f,a,b)	bestimmtes Integral berechnen	Integral(f,0,2)	CAS/Grafik	und Grenzen
Integral	Integral(f)	Stammfunktion erzeugen

$1$	$2$	$2$	$10$	$8$
$2$	$1$	$3$	$7$	$4$
$4$	$0{,}5$	$3{,}75$	$5{,}75$	$2$
$8$	$0{,}25$	$4{,}1875$	$5{,}1875$	$1$
$16$	$0{,}125$	$4{,}421875$	$4{,}921875$	$0{,}5$

Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Produktsumme

Unter- und Obersummen werden zum Integral

Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Produktsumme

1. Warum Rechtecke?

2. Das Intervall gleichmäßig zerlegen

Beispiel

3. Aus vielen Produkten wird eine Produktsumme

4. Unter- und Obersumme

Vorsicht bei linken und rechten Randpunkten

5. Ausführliches Beispiel mit f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1

Schritt 1: Breite bestimmen

Schritt 2: Untersumme

Schritt 3: Obersumme

6. Was geschieht bei mehr Rechtecken?

7. Das bestimmte Integral als Grenzwert

8. Beiträge unterhalb der xxx-Achse

9. Bedeutung in Anwendungen und Einheiten

Geschwindigkeit

Zuflussrate

10. Typische Fehler

11. Zusammenfassung

Aufgabenart erkennen

Gegebene Größen markieren

Begriffe erklären

Voraussetzungen prüfen

Zielgröße festlegen

Passende Darstellung wählen

Start kontrollieren

GeoGebra-Übersicht: AN 4.1 – Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Produktsumme

1. Befehlsübersicht

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Ausgangsdarstellung lesen

Größen zuordnen

Kennwerte entnehmen

Zielform festlegen

Darstellung erzeugen

Zusammenhang erklären

Rückkontrolle

Modell oder Formel wählen

Werte einsetzen

Schrittweise umformen

Technische Rechnung ausführen

Zwischenergebnis prüfen

Ergebnis darstellen

Rechenweg rückprüfen

Ergebnis identifizieren

Einheit ergänzen

Bezug nennen

Vorzeichen deuten

Gültigkeitsbereich beachten

Antwortsatz schreiben

Plausibilität bewerten

Formale Probe

Darstellungsprobe

Einheitenprobe

Definitionsprobe

Grenzfall prüfen

Typischen Fehler suchen

Endfassung erstellen

2. Befehle als unveränderte Codeblöcke

Integral

Integral

Untersumme

Obersumme

3. Sinnvolle Arbeitsweise

5. Ausführliches Beispiel mit $f(x)=x^2+1$

8. Beiträge unterhalb der $x$ -Achse