Einfache Regeln des Integrierens

Kompetenzcode: AN 4.2
Bereich: Analysis

Leitidee: Integrieren kann man als die andere Richtung zum Ableiten denken. Beim Ableiten geht man von einer Funktion $F$ zu ihrer Ableitung $f$. Beim Integrieren sucht man zu $f$ alle Funktionen $F$, deren Ableitung wieder $f$ ergibt.

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1. Ableiten und Integrieren gehören zusammen

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn

$$F'(x)=f(x)$$

für alle Stellen des betrachteten Intervalls gilt.

Beim Ableiten wird die Konstante $C$ zu $0$. Deshalb kann man aus $f$ nicht mehr erkennen, welche Konstante vorher vorhanden war.

Merke: Beim unbestimmten Integral gehört deshalb immer $+C$ zur vollständigen Stammfunktionsschar.

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2. Die Potenzregel des Integrierens aus der Ableitungsregel herleiten

Die Potenzregel des Ableitens lautet:

$$\left[x^m\right]'=m\cdot x^{m-1}.$$

Wir möchten rückwärts eine Stammfunktion zu $x^n$ finden. Damit nach dem Ableiten der Exponent $n$ entsteht, muss der Exponent der Stammfunktion um $1$ größer sein:

$$m=n+1.$$

Setzen wir das in die Ableitungsregel ein, erhalten wir:

$$\left[x^{n+1}\right]'=(n+1)\cdot x^n.$$

Noch ist der Faktor $n+1$ zu viel. Deshalb teilen wir die Stammfunktion durch $n+1$:

$$\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]'=x^n.$$

Damit folgt die Potenzregel des Integrierens:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \qquad n\neq -1.$$

Schülerregel

1. Den Exponenten um $1$ erhöhen.
2. Durch den neuen Exponenten dividieren.
3. $+C$ ergänzen.
4. Das Ergebnis durch Ableiten prüfen.

Beispiel

$$\int x^4\,dx$$

Der neue Exponent ist $5$. Daher:

$$\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+C.$$

Kontrolle:

$$\left[\frac{x^5}{5}+C\right]'=x^4.$$

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3. Faktoren verändern die Grundidee nicht

Bei

$$\int 6x^5\,dx$$

bleibt der Faktor $6$ erhalten:

$$\int 6x^5\,dx = 6\cdot\frac{x^6}{6}+C = x^6+C.$$

Allgemein gilt für eine Konstante $k$:

$$\int k\cdot f(x)\,dx = k\cdot\int f(x)\,dx.$$

Das ist die Faktorregel.

Konstante Funktionen

Eine Stammfunktion von $5$ muss beim Ableiten wieder $5$ ergeben:

$$\int 5\,dx=5x+C.$$

Denn:

$$[5x+C]'=5.$$

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4. Summenregel und Polynome

Jeder Summand wird einzeln integriert:

$$\int\left(f(x)+g(x)\right)\,dx = \int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$$

Beispiel

$$\int\left(3x^2-4x+5\right)\,dx$$

Wir integrieren Summand für Summand:

$$\int 3x^2\,dx=x^3,$$ $$\int -4x\,dx=-2x^2,$$ $$\int 5\,dx=5x.$$

Damit:

$$F(x)=x^3-2x^2+5x+C.$$

Kontrolle:

$$F'(x)=3x^2-4x+5.$$

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5. Negative und rationale Exponenten

Die Potenzregel gilt auch für viele negative und rationale Exponenten.

Negativer Exponent

$$\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1}+C = -x^{-1}+C.$$

Kontrolle:

$$[-x^{-1}+C]'=x^{-2}.$$

Wurzel als Potenz schreiben

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}.$$

Daher:

$$\int\sqrt{x}\,dx = \int x^{\frac12}\,dx = \frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C = \frac23x^{\frac32}+C.$$

Sonderfall $n=-1$

Für $n=-1$ wäre der neue Exponent $0$. Dann müsste man durch $0$ dividieren. Deshalb ist dieser Fall von der Potenzregel ausgeschlossen:

$$\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$$

auf Intervallen, die $0$ nicht enthalten.

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6. Lineare innere Skalierung rückwärts denken

Beim Ableiten von $(kx+d)^{n+1}$ entsteht durch den inneren Term zusätzlich der Faktor $k$:

$$\left[(kx+d)^{n+1}\right]' = (n+1)\cdot(kx+d)^n\cdot k.$$

Beim Integrieren müssen wir deshalb durch beide entstehenden Faktoren dividieren:

$$\int(kx+d)^n\,dx = \frac{(kx+d)^{n+1}}{k(n+1)}+C,$$

wobei $k\neq0$ und $n\neq-1$ gelten.

Beispiel

$$\int(3x+1)^2\,dx$$

Exponent erhöhen:

$$2+1=3.$$

Durch den neuen Exponenten $3$ und den inneren Faktor $3$ dividieren:

$$\int(3x+1)^2\,dx = \frac{(3x+1)^3}{9}+C.$$

Kontrolle:

$$\left[\frac{(3x+1)^3}{9}+C\right]' = (3x+1)^2.$$

Trigonometrisches Beispiel

Da

$$[\sin(4x)]'=4\cos(4x),$$

gilt rückwärts:

$$\int\cos(4x)\,dx = \frac14\sin(4x)+C.$$

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7. Bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion berechnen

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Man setzt zuerst die obere und danach die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein.

Warum erscheint kein $+C$ im Endergebnis?

Verwenden wir $F(x)+C$, dann gilt:

$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).$$

Die beiden Konstanten heben sich auf.

Beispiel

$$\int_0^2\left(3x^2+1\right)\,dx.$$

Eine Stammfunktion ist

$$F(x)=x^3+x.$$

Damit:

$$\begin{aligned} \int_0^2\left(3x^2+1\right)\,dx &=F(2)-F(0)\\ &=(2^3+2)-(0^3+0)\\ &=10. \end{aligned}$$

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8. Vollständiges Beispiel

Berechne

$$\int_0^2\left(3x^2-4x+5\right)\,dx.$$

Schritt 1: Stammfunktion bilden

$$F(x)=x^3-2x^2+5x.$$

Schritt 2: Obere Grenze einsetzen

$$F(2)=2^3-2\cdot2^2+5\cdot2=10.$$

Schritt 3: Untere Grenze einsetzen

$$F(0)=0.$$

Schritt 4: Subtrahieren

$$F(2)-F(0)=10.$$

Schritt 5: Durch Ableiten kontrollieren

$$F'(x)=3x^2-4x+5.$$

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9. Sichere Vorgehensweise

Unbestimmtes Integral

1. Integranden in Summanden zerlegen.
2. Faktoren beibehalten.
3. Bei Potenzen den Exponenten um $1$ erhöhen.
4. Durch den neuen Exponenten dividieren.
5. Bei linearer innerer Skalierung zusätzlich durch den inneren Faktor dividieren.
6. $+C$ ergänzen.
7. Das Ergebnis ableiten.

Bestimmtes Integral

1. Eine Stammfunktion $F$ bestimmen.
2. $F(b)$ berechnen.
3. $F(a)$ berechnen.
4. $F(b)-F(a)$ bilden.

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10. Typische Fehler

• Durch den alten Exponenten dividiert: Es wird durch den neuen Exponenten dividiert.
• Exponent nicht erhöht: Beim Integrieren wird der Exponent zuerst um $1$ größer.
• $+C$ vergessen: Beim unbestimmten Integral gehört die Konstante dazu.
• Bei einer Konstanten nur $+C$ geschrieben: Aus $5$ wird $5x+C$.

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11. Zusammenfassung

• Integrieren ist die andere Richtung zum Ableiten.
• $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt.
• Die Potenzregel des Integrierens folgt direkt aus der Potenzregel des Ableitens.
• Schülerregel: Exponent plus , dann durch den neuen Exponenten dividieren.