Bestimmte Integrale im Kontext

Kompetenzcode: AN 4.3
Bereich: Analysis

Leitidee: Ein bestimmtes Integral beschreibt einen orientierten Gesamtbeitrag. Seine Bedeutung ergibt sich aus dem Kontext, den Einheiten und dem Vorzeichen.

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1. Kurze theoretische Übersicht

Für eine Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;b]$ beschreibt

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

den orientierten Gesamtbeitrag zwischen $a$ und $b$.

Dabei gilt:

• Bereiche oberhalb der $x$-Achse zählen positiv,
• Bereiche unterhalb der $x$-Achse zählen negativ,
• positive und negative Beiträge können sich teilweise oder vollständig aufheben.

Mit einer Stammfunktion $F$ berechnet man:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

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2. Bestimmtes Integral und geometrischer Flächeninhalt

Das bestimmte Integral und der geometrische Flächeninhalt sind nicht immer dasselbe.

Beispielidee

Für

$$f(x)=x^2-1$$

gibt es auf $[-2;1]$ einen positiven und einen negativen Flächenanteil.

Die beiden orientierten Beiträge heben sich auf:

$$\int_{-2}^{1}(x^2-1)\,dx=0.$$

Trotzdem ist zwischen Graph und $x$-Achse deutlich Fläche vorhanden:

$$A=\frac83.$$

Wichtig: Ein Integralwert von $0$ bedeutet nicht automatisch, dass keine Fläche oder keine Bewegung vorhanden war.

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3. Interaktiv: Die obere Grenze verschieben

Im Webtheorieteil kannst du bei

$$f(x)=x^2-1$$

die obere Grenze $b$ mit einem Regler verschieben. Die untere Grenze bleibt bei $a=-2$.

Im ersten Kästchen steht das bestimmte Integral:

$$I(b)=\int_{-2}^{b}(x^2-1)\,dx.$$

Im zweiten Kästchen steht der geometrische Flächeninhalt:

$$A(b)=\int_{-2}^{b}|x^2-1|\,dx.$$

Achte besonders auf $b=1$:

• Das bestimmte Integral ist $0$.
• Der geometrische Flächeninhalt ist $\frac83$.
• Positive und negative Beiträge sind gleich groß und heben sich nur beim orientierten Integral auf.

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4. Fläche bei Vorzeichenwechsel richtig berechnen

Wechselt die Funktion im Intervall das Vorzeichen, muss der geometrische Flächeninhalt an den Nullstellen zerlegt werden.

Für $f(x)=x^2-1$ liegen die Nullstellen bei

$$x=-1 \qquad\text{und}\qquad x=1.$$

Auf $[-2;-1]$ liegt der Graph oberhalb der $x$-Achse. Auf $[-1;1]$ liegt er darunter.

Deshalb gilt für den Flächeninhalt auf $[-2;1]$:

$$A = \left|\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx\right| + \left|\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,dx\right|.$$

Die beiden Teilflächen haben jeweils den Inhalt $\frac43$:

$$A=\frac43+\frac43=\frac83.$$

Merke: Für einen geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge der Teilintegrale addiert.

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5. Integral einer Rate als Änderung

In Anwendungen ist der Integrand häufig eine Änderungsrate.

Ist $r(t)$ eine Änderungsrate eines Bestands $B(t)$, dann gilt:

$$B(b)-B(a)=\int_a^b r(t)\,dt.$$

Der Integralwert ist also die Bestandsänderung.

Ist zusätzlich der Anfangsbestand $B(a)$ bekannt, erhält man:

$$B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,dt.$$

Wichtig unterscheiden

• Integralwert: Änderung des Bestands
• Anfangsbestand: bereits vorhandene Menge
• Endbestand: Anfangsbestand plus Änderung

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6. Kontext Geschwindigkeit: Ortsänderung und Strecke

Ist $v(t)$ eine Geschwindigkeit, dann beschreibt

$$\int_a^b v(t)\,dt$$

die Ortsänderung.

Positive Geschwindigkeit zählt in die positive Bewegungsrichtung, negative Geschwindigkeit in die Gegenrichtung.

Die gesamte zurückgelegte Strecke erhält man dagegen mit

$$\int_a^b |v(t)|\,dt.$$

Beispiel

Für

$$v(t)=t-2 \quad\text{auf}\quad [0;4]$$

gilt:

$$\int_0^4(t-2)\,dt=0.$$

Das Objekt kehrt also zum Ausgangsort zurück.

Die gesamte Strecke ist aber

$$\int_0^4|t-2|\,dt=4.$$

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7. Weitere wichtige Kontexte

Beispiele

Ein Zufluss

$$q(t)=3t+2$$

wirkt von $t=0$ bis $t=4$ Minuten:

$$\int_0^4(3t+2)\,dt=32.$$

Es fließen $32$ Liter zu.

Eine konstante Leistung von $5\,\mathrm{kW}$ wirkt $6\,\mathrm h$:

$$\int_0^6 5\,dt=30.$$

Die erzeugte oder verbrauchte Energie beträgt $30\,\mathrm{kWh}$.

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8. Die Einheitenregel

Die Einheit des Integrals entsteht durch Multiplikation:

$$\text{Einheit des Integranden} \cdot \text{Einheit der Integrationsvariable}.$$

Beispiele:

$$\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\cdot\mathrm s=\mathrm m,$$ $$\frac{\mathrm{Liter}}{\mathrm{min}}\cdot\mathrm{min}=\mathrm{Liter},$$ $$\mathrm{kW}\cdot\mathrm h=\mathrm{kWh}.$$

Kontrollfrage: Passt die Einheit des Ergebnisses wirklich zur gesuchten Gesamtgröße?

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9. Sachverhalte durch Integrale beschreiben

Nicht jede Aufgabe verlangt eine Berechnung. Häufig soll ein Sachverhalt nur durch ein Integral beschrieben werden.

Produktionsmenge

Ist $p(t)$ die Produktionsrate, dann lautet die produzierte Menge von $0$ bis $T$:

$$\int_0^T p(t)\,dt.$$

Bestandsänderung

Ist $r(t)$ die Änderungsrate eines Bestands, dann lautet die Änderung von $a$ bis $b$:

$$\int_a^b r(t)\,dt.$$

Endbestand

$$B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,dt.$$

Kostenänderung

Ist $K'(x)$ die Grenzkostenfunktion, dann gilt:

$$K(b)-K(a)=\int_a^b K'(x)\,dx.$$

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10. Sichere Vorgehensweise

1. Kläre, welche Größe der Integrand beschreibt.
2. Bestimme die Bedeutung und Einheit der Grenzen.
3. Prüfe, ob das Integral eine Änderung, eine orientierte Fläche oder einen geometrischen Flächeninhalt beschreiben soll.
4. Untersuche den Vorzeichenverlauf.
5. Zerlege bei einem Flächeninhalt an den Nullstellen.
6. Berechne gegebenenfalls mit einer Stammfunktion.
7. Bestimme die Ergebniseinheit.
8. Formuliere einen vollständigen Antwortsatz im Kontext.

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11. Typische Fehler

• Integral immer als positive Fläche gedeutet: Beiträge unterhalb der Achse zählen beim bestimmten Integral negativ.
• Integralwert $0$ als „nichts passiert“ gedeutet: Positive und negative Änderungen können sich aufheben.
• Ortsänderung und Strecke verwechselt: Für die Strecke wird der Betrag der Geschwindigkeit integriert.
• Bestandsänderung und Endbestand verwechselt: Der Anfangsbestand muss zum Integralwert addiert werden.
• Fläche nicht an Nullstellen zerlegt: Bei Vorzeichenwechsel werden die Beträge der Teilintegrale addiert.
• Einheit vergessen: Integranden- und Variableneinheit werden multipliziert.
• Keine Kontextdeutung angegeben: Eine Zahl allein beantwortet eine Sachaufgabe nicht vollständig.

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12. Zusammenfassung

• Das bestimmte Integral ist ein orientierter Gesamtbeitrag.
• Oberhalb der $x$-Achse zählen Beiträge positiv, unterhalb negativ.
• Der geometrische Flächeninhalt addiert alle Teilflächen positiv.
• Ein Integralwert von $0$ kann trotz vorhandener Fläche oder Bewegung auftreten.
• Das Integral einer Rate beschreibt eine Änderung.
• Endbestand bedeutet Anfangsbestand plus Integralwert.
• Die Einheit entsteht aus Integranden-Einheit mal Variablen-Einheit.
• Im Kontext braucht jedes Ergebnis eine sachliche Deutung.