Statistische Tabellen und Grafiken helfen dabei, viele Daten übersichtlich darzustellen. Damit eine Aussage stimmt, müssen Werte, Achsen, Skalen, Einheiten und der Kontext sorgfältig gelesen werden.

Zentrales Ziel: Daten aus Tabellen und Grafiken korrekt ablesen, Häufigkeiten berechnen, Darstellungen vergleichen und mögliche Verzerrungen erkennen.

1. Grundbegriffe

2. Häufigkeitstabellen lesen

In einer Klasse wurden $25$ Personen nach ihrem Schulweg gefragt.

Aus der Tabelle kann man direkt ablesen:

• Der Bus wird am häufigsten verwendet.
• Das Auto wird am seltensten verwendet.
• Insgesamt wurden $25$ Personen befragt.
• Fahrrad und Bus umfassen zusammen $18$ Personen.

3. Absolute und relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit wird berechnet mit:

$$h_i=\frac{H_i}{n}.$$

Dabei bedeutet:

• $H_i$: die absolute Häufigkeit der Ausprägung $i$, also die Anzahl der passenden Werte,
• $n$: der Stichprobenumfang, also die Gesamtanzahl aller beobachteten Werte.

Schülernah kann man sich dieselbe Formel so merken:

$$\boxed{ \text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}} }$$

Dabei bedeutet:

• Passend: Wie viele Werte gehören zur gesuchten Kategorie?
• Alle: Wie viele Werte wurden insgesamt beobachtet?

Für das Fahrrad gilt:

$$h_{\text{Fahrrad}} = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}} = \frac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%.$$

Kontrollen

Die absoluten Häufigkeiten müssen zusammen den Stichprobenumfang ergeben:

$$H_1+H_2+\dots+H_k=n.$$

Die relativen Häufigkeiten müssen zusammen $1$ beziehungsweise $100\,\%$ ergeben:

$$h_1+h_2+\dots+h_k=1=100\,\%.$$

Von der relativen zur absoluten Häufigkeit

Sind der Anteil und die Gesamtanzahl bekannt, gilt:

$$H_i=h_i\cdot n.$$

Beispiel:

$$H_i=0{,}20\cdot 25=5.$$

4. Achsen, Einheiten und Skalen

Vor dem Ablesen einer Grafik werden immer diese Fragen geklärt:

1. Was zeigt der Titel?
2. Welche Größe steht auf der waagrechten Achse?
3. Welche Größe steht auf der senkrechten Achse?
4. Welche Einheit wird verwendet?
5. Bei welchem Wert beginnt die Achse?
6. Wie groß ist ein Skalenschritt?
7. Sind die Abstände gleichmäßig?

Ein Wert wird aus der Anzahl der Skalenschritte und dem Wert pro Schritt bestimmt.

Beispiel: Vier Skalenschritte zu je $5$ Einheiten ergeben:

$$4\cdot 5=20.$$

5. Säulen- und Balkendiagramme

Säulen- und Balkendiagramme eignen sich besonders für Kategorien.

• Beim Säulendiagramm stehen die Säulen senkrecht.
• Beim Balkendiagramm liegen die Balken waagrecht.
• Die Höhe oder Länge stellt den Wert dar.
• Die Breite der Säulen darf keinen zusätzlichen Wert vortäuschen.

Beim Ablesen können Maximum, Minimum, Unterschied und Anteil bestimmt werden.

Beispiel:

$$10-8=2.$$

Der Bus wurde von zwei Personen mehr gewählt als das Fahrrad.

6. Liniendiagramme

Liniendiagramme eignen sich vor allem für zeitliche oder geordnete Entwicklungen.

Beim Lesen wird geprüft:

• Wo steigt die Linie?
• Wo fällt sie?
• Wo liegt das Maximum?
• Wo liegt das Minimum?
• Zwischen welchen Messpunkten ist die Veränderung am stärksten?

Wichtig: Werden ungeordnete Kategorien verbunden, kann die Linie einen Zusammenhang vortäuschen, der nicht existiert.

7. Kreisdiagramme

Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile eines Ganzen.

$$100\,\%\longleftrightarrow 360^\circ.$$

Für einen Anteil $h$ gilt:

$$\alpha=h\cdot 360^\circ.$$

Beispiel für $25\,\%$:

$$\alpha=0{,}25\cdot 360^\circ=90^\circ.$$

Alle Anteile müssen zusammen $100\,\%$ und alle Winkel zusammen $360^\circ$ ergeben.

8. Histogramm und Säulendiagramm unterscheiden

Bei unterschiedlich breiten Klassen kann die Häufigkeitsdichte verwendet werden:

$$D_i=\frac{H_i}{\text{Klassenbreite}}.$$

Dadurch bleibt die Balkenfläche proportional zur Häufigkeit.

9. Boxplots lesen

Ein Boxplot zeigt fünf wichtige Werte:

• Minimum,
• erstes Quartil $Q_1$,
• Median,
• drittes Quartil $Q_3$,
• Maximum.

Die mittleren $50\,\%$ der Daten liegen zwischen $Q_1$ und $Q_3$.

Die Spannweite lautet:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Der Interquartilsabstand lautet:

$$IQR=Q_3-Q_1.$$

10. Punktdiagramme lesen

Ein Punktdiagramm zeigt Wertepaare $(x\mid y)$.

Beim Lesen wird untersucht, ob:

• beide Größen gemeinsam steigen,
• eine Größe steigt, während die andere fällt,
• kein klarer Zusammenhang erkennbar ist,
• einzelne Punkte deutlich von den übrigen abweichen.

Ein sichtbarer Zusammenhang beweist nicht automatisch eine Ursache.

Stängel-Blatt-Diagramme lesen

Ein Stängel-Blatt-Diagramm ordnet Zahlen und lässt gleichzeitig die ursprünglichen Werte erkennen.

Die Legende

$$2\mid 5=25$$

zeigt, wie Stängel und Blatt zusammengesetzt werden. Im Beispiel sind die Stängel die Zehnerstellen und die Blätter die Einerstellen.

Beim Lesen wird geprüft:

• Welche Einheit verwendet die Legende?
• Sind die Blätter innerhalb jedes Stängels sortiert?
• Wie viele Werte enthält die Darstellung?
• Was sind Minimum, Maximum oder ein bestimmter Einzelwert?

Prozentstreifen lesen

Ein Prozentstreifen stellt ein Ganzes als Strecke von $0\,\%$ bis $100\,\%$ dar.

Die Länge jedes Abschnitts entspricht seinem Anteil. Beim Lesen werden Abschnittsgrenzen und Beschriftungen kontrolliert. Alle Anteile müssen zusammen $100\,\%$ ergeben.

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11. Werte vergleichen

Je nach Frage werden unterschiedliche Vergleiche benötigt.

Absolute Differenz

$$\text{größerer Wert}-\text{kleinerer Wert}.$$

Anteil

$$\frac{\text{Passend}}{\text{Alle}}.$$

Verhältnis

$$\frac{\text{Wert A}}{\text{Wert B}}.$$

Prozentpunkte

Steigt ein Anteil von $40\,\%$ auf $50\,\%$, beträgt die Zunahme:

$$50\,\%-40\,\%=10\text{ Prozentpunkte}.$$

Die relative Zunahme beträgt dagegen:

$$\frac{50-40}{40}=0{,}25=25\,\%.$$

Prozent und Prozentpunkte dürfen nicht verwechselt werden.

12. Irreführende Grafiken erkennen

Eine Grafik kann rechnerisch richtige Werte zeigen und trotzdem einen falschen Eindruck erzeugen.

Typische Warnzeichen sind:

• eine abgeschnittene Achse,
• ungleichmäßige Skalenschritte,
• fehlende Einheiten,
• fehlender Zeitraum,
• fehlende Quelle,
• fehlende Stichprobengröße,
• unterschiedlich breite Säulen,
• übertriebene dreidimensionale Darstellung,
• absolute Werte bei unterschiedlich großen Gruppen.

Beispiel: Die Werte $98$ und $100$ unterscheiden sich nur um:

$$100-98=2.$$

Beginnt die Achse erst bei $97$, wirkt dieser kleine Unterschied optisch sehr groß.

13. Darstellungen miteinander verbinden

Dieselben Daten können als Tabelle, Säulendiagramm, Kreisdiagramm oder Text dargestellt werden.

Eine vollständige Auswertung verbindet mindestens zwei Darstellungen:

1. Wert korrekt ablesen,
2. Rechnung nachvollziehbar angeben,
3. Ergebnis im Kontext deuten.

14. Typische Fehler

Absolute und relative Häufigkeit verwechselt

$H_i$ ist eine Anzahl. $h_i$ ist ein Anteil.

Gesamtanzahl falsch bestimmt

Alle absoluten Häufigkeiten müssen addiert werden:

$$H_1+H_2+\dots+H_k=n.$$

Skala nicht geprüft

Ein Teilstrich bedeutet nicht automatisch eine Einheit.

Prozent mit Prozentpunkten verwechselt

Von $40\,\%$ auf $50\,\%$ sind es $10$ Prozentpunkte, nicht $10\,\%$ relative Zunahme.

Liniendiagramm für ungeordnete Kategorien verwendet

Eine Verbindungslinie kann eine Reihenfolge oder Entwicklung vortäuschen.

Aus der Grafik zu viel geschlossen

Eine Grafik zeigt nur die enthaltenen Daten. Ursache, Zukunft oder nicht erhobene Gruppen dürfen nicht ohne Begründung ergänzt werden.

15. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Tabellen und Grafiken müssen mit Titel, Achsen, Skalen und Einheiten gelesen werden.
• Die absolute Häufigkeit $H_i$ ist eine Anzahl.
• Die relative Häufigkeit lautet $h_i=H_i/n$.