Statistische Darstellungen entstehen nicht direkt aus einer ungeordneten Datenliste. Zuerst werden die Daten verstanden und geordnet. Danach werden Häufigkeiten bestimmt und erst dann wird eine passende Grafik gewählt.

Zentrales Ziel: Aus Rohdaten schrittweise eine korrekte Häufigkeitstabelle und eine passende statistische Grafik erstellen.

1. Der Weg von Rohdaten zur Darstellung

Der vollständige Weg lautet:

$$\text{Rohdaten} \longrightarrow \text{Urliste} \longrightarrow \text{Strichliste} \longrightarrow \text{Häufigkeitstabelle} \longrightarrow \text{Grafik}.$$

Dabei hat jeder Schritt eine eigene Aufgabe:

2. Beispiel: Schulweg einer Klasse

In einer Klasse wurden $25$ Personen nach ihrem Schulweg gefragt.

Die Rohdaten lauten:

Bus, Fahrrad, Bus, zu Fuß, Fahrrad,
Bus, Auto, Bus, zu Fuß, Fahrrad,
Bus, Fahrrad, Bus, Bus, zu Fuß,
Fahrrad, Auto, Bus, Fahrrad, zu Fuß,
Bus, Fahrrad, Bus, zu Fuß, Fahrrad

Das untersuchte Merkmal lautet:

$$\text{Verkehrsmittel für den Schulweg}.$$

Die vorkommenden Merkmalsausprägungen sind:

• Fahrrad,
• Bus,
• zu Fuß,
• Auto.

Wichtig: Jede Beobachtung muss genau einmal gezählt werden. Keine Beobachtung darf fehlen oder doppelt vorkommen.

3. Von der Urliste zur Strichliste

Die Urliste enthält die Werte in der Reihenfolge ihrer Erfassung. Für eine Strichliste werden gleiche Werte zusammengezählt.

Die Strichliste ist eine Zwischenstufe. Sie hilft dabei, die Daten sicher zu zählen.

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft eine bestimmte Ausprägung vorkommt.

Beispiel:

$$H_{\text{Bus}}=10.$$

4. Die Häufigkeitstabelle erstellen

Der Stichprobenumfang $n$ ist die Anzahl aller beobachteten Werte.

Hier gilt:

$$n=25.$$

Die relative Häufigkeit wird berechnet mit:

$$h_i=\frac{H_i}{n}.$$

Dabei bedeutet:

• $H_i$: absolute Häufigkeit der Ausprägung $i$, also die Anzahl der passenden Werte,
• $n$: Stichprobenumfang, also die Anzahl aller beobachteten Werte,
• $h_i$: relative Häufigkeit, also der Anteil der passenden Werte an allen Werten.

Schülernah kann man sich merken:

$$\boxed{ \text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}} }$$

Für das Fahrrad gilt:

$$h_{\text{Fahrrad}} = \frac{H_{\text{Fahrrad}}}{n} = \frac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%.$$

Die vollständige Häufigkeitstabelle lautet:

Kontrollen

Die absoluten Häufigkeiten müssen zusammen den Stichprobenumfang ergeben:

$$H_1+H_2+\dots+H_k=n.$$

Im Beispiel:

$$8+10+5+2=25.$$

Die relativen Häufigkeiten müssen zusammen $1$ beziehungsweise $100\,\%$ ergeben:

$$h_1+h_2+\dots+h_k=1=100\,\%.$$

Im Beispiel:

$$32\,\%+40\,\%+20\,\%+8\,\%=100\,\%.$$

5. Eine passende Diagrammart wählen

Nicht jede Grafik passt zu jeder Datenart.

Leitfrage: Was soll die Darstellung besonders gut sichtbar machen?

6. Säulen- und Balkendiagramme erstellen

Ein Säulendiagramm eignet sich für einzelne Kategorien.

Vorgehen:

1. Aussagekräftigen Titel formulieren.
2. Kategorien auf der waagrechten Achse eintragen.
3. Häufigkeit und Einheit auf der senkrechten Achse angeben.
4. Eine gleichmäßige Skalierung wählen.
5. Die Achse normalerweise bei $0$ beginnen lassen.
6. Säulen gleich breit zeichnen.
7. Zwischen den Säulen gleich große Abstände lassen.
8. Höhen aus der Häufigkeitstabelle übertragen.
9. Darstellung mit der Tabelle vergleichen.

Beim Balkendiagramm werden dieselben Daten waagrecht dargestellt.

7. Kreisdiagramme erstellen

Ein Kreisdiagramm stellt Anteile eines Ganzen dar.

Es gilt:

$$100\,\%\longleftrightarrow 360^\circ.$$

Für die Ausprägung $i$ wird der Sektorwinkel berechnet mit:

$$\alpha_i=360^\circ\cdot h_i.$$

Mit der schülernahen Formel:

$$\alpha_i = 360^\circ\cdot \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}}.$$

Für das Fahrrad gilt:

$$\alpha_{\text{Fahrrad}} = 360^\circ\cdot\frac{8}{25} = 115{,}2^\circ.$$

Für alle vier Kategorien:

Kontrolle:

$$115{,}2^\circ+144^\circ+72^\circ+28{,}8^\circ=360^\circ.$$

Rundungsregel: Winkel erst am Ende runden. Kleine Rundungsabweichungen müssen so ausgeglichen werden, dass der vollständige Kreis wieder $360^\circ$ ergibt.

8. Liniendiagramme erstellen

Ein Liniendiagramm eignet sich für zeitliche oder natürlich geordnete Werte.

Beispiel:

Vorgehen:

1. Zeit oder geordnete Größe auf der waagrechten Achse eintragen.
2. Messgröße und Einheit auf der senkrechten Achse angeben.
3. Gleichmäßige Skala wählen.
4. Messpunkte eintragen.
5. Punkte in der richtigen Reihenfolge verbinden.
6. Titel ergänzen.
7. Punkte nochmals mit der Tabelle vergleichen.

Wichtig: Ungeordnete Kategorien wie Lieblingsfarben dürfen nicht einfach durch eine Linie verbunden werden.

9. Histogramme erstellen

Ein Histogramm eignet sich für metrische Daten, die in Zahlenintervalle eingeteilt werden.

Beispiel für Punktzahlen:

Bei gleich breiten Klassen kann die Balkenhöhe die absolute Häufigkeit darstellen.

Wichtige Merkmale:

• Die Klassenintervalle stehen auf der waagrechten Achse.
• Die Balken grenzen ohne Lücken aneinander.
• Die Klassenbreiten sind hier gleich groß.
• Die senkrechte Achse zeigt die absolute Häufigkeit.

Unterschiedlich breite Klassen

Sind die Klassen unterschiedlich breit, darf die Balkenhöhe nicht direkt als absolute Häufigkeit verwendet werden.

Dann wird die Häufigkeitsdichte berechnet:

$$D_i=\frac{H_i}{\text{Klassenbreite}}.$$

Die Balkenfläche entspricht dann der absoluten Häufigkeit:

$$\text{Klassenbreite}\cdot D_i=H_i.$$

10. Einen Boxplot erstellen

Ein Boxplot wird aus einer geordneten Datenliste erstellt.

Beispiel:

8, 10, 12, 14, 14, 16, 18, 18, 20, 22, 24

Zuerst werden fünf Kennwerte bestimmt:

• Minimum,
• erstes Quartil $Q_1$,
• Median,
• drittes Quartil $Q_3$,
• Maximum.

Für das Beispiel gilt:

$$\text{Minimum}=8, \qquad Q_1=12, \qquad \text{Median}=16, \qquad Q_3=20, \qquad \text{Maximum}=24.$$

Vorgehen:

1. Daten aufsteigend ordnen.
2. Median bestimmen.
3. Untere Hälfte betrachten und $Q_1$ bestimmen.
4. Obere Hälfte betrachten und $Q_3$ bestimmen.
5. Zahlengerade sinnvoll skalieren.
6. Box von $Q_1$ bis zeichnen.

Die Box enthält die mittleren $50\,\%$ der Daten.

11. Punktdiagramme erstellen

Ein Punktdiagramm zeigt Wertepaare:

$$(x\mid y).$$

Vorgehen:

1. Erste Größe auf die waagrechte Achse.
2. Zweite Größe auf die senkrechte Achse.
3. Einheiten angeben.
4. Jedes Wertepaar als Punkt eintragen.
5. Keine Verbindungslinien zeichnen.
6. Titel ergänzen.

Ein Punktdiagramm eignet sich, um einen möglichen Zusammenhang zwischen zwei metrischen Größen sichtbar zu machen.

Wichtig: Ein sichtbarer Zusammenhang beweist nicht automatisch, dass eine Größe die andere verursacht.

Stängel-Blatt-Diagramme erstellen

Ein Stängel-Blatt-Diagramm eignet sich für eine überschaubare Liste geordneter Zahlen. Die ursprünglichen Werte bleiben vollständig erhalten.

Vorgehen:

1. Daten der Größe nach ordnen.
2. Stellenwert für Stängel und Blätter festlegen.
3. Stängel in aufsteigender Reihenfolge notieren.
4. Blätter passend zuordnen und innerhalb jeder Zeile sortieren.
5. Legende ergänzen, zum Beispiel $2\mid5=25$.
6. Anzahl und Randwerte mit der Urliste kontrollieren.

Prozentstreifen erstellen

Ein Prozentstreifen zeigt ein Ganzes auf einer Strecke von $0\,\%$ bis $100\,\%$.

Vorgehen:

1. Relative Häufigkeiten bestimmen.
2. Prüfen, ob ihre Summe $100\,\%$ ergibt.
3. Kumulierte Abschnittsgrenzen berechnen.
4. Einen gleichmäßig skalierten Streifen von $0\,\%$ bis $100\,\%$ zeichnen.
5. Grenzen markieren, Abschnitte beschriften und mit der Tabelle kontrollieren.

---

12. Darstellungen korrekt gestalten

Eine fertige statistische Darstellung braucht:

• einen aussagekräftigen Titel,
• beschriftete Achsen,
• Einheiten,
• eine gleichmäßige Skalierung,
• gut lesbare Kategorien oder Klassen,
• bei Bedarf eine Legende,
• eine passende Diagrammart,
• eine Kontrolle mit den Ausgangsdaten.

Unnötige dreidimensionale Effekte sollten vermieden werden. Sie können Größenverhältnisse verzerren.

13. Typische Fehler

Eine ungeeignete Diagrammart gewählt

Kategorien werden mit Säulen oder Balken, zeitliche Entwicklungen mit Linien dargestellt.

Die Achse beginnt ohne Grund nicht bei null

Dadurch können kleine Unterschiede übertrieben wirken.

Säulen sind unterschiedlich breit

Bei einem Säulendiagramm kann dadurch ein zusätzlicher Wert vorgetäuscht werden.

Im Histogramm wurden Lücken gelassen

Histogrammbalken grenzen aneinander, weil die Zahlenintervalle zusammenhängen.

Prozentwerte ergeben nicht $100\,\%$

Dann ist die Häufigkeitstabelle oder Rundung zu prüfen.

Kreiswinkel ergeben nicht $360^\circ$

Die Winkel wurden falsch berechnet oder ungünstig gerundet.

Punkte eines Liniendiagramms wurden in falscher Reihenfolge verbunden

Die Reihenfolge der Zeitpunkte oder geordneten Werte muss erhalten bleiben.

Boxplot aus ungeordneten Daten erstellt

Vor der Bestimmung von Median und Quartilen müssen die Daten geordnet werden.

14. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Statistische Grafiken entstehen schrittweise aus Rohdaten.
• Die Urliste enthält alle beobachteten Werte.
• Die Strichliste hilft beim sicheren Zählen.
• Die absolute Häufigkeit $H_i$ ist eine Anzahl.
• Der Stichprobenumfang $n$ ist die Anzahl aller beobachteten Werte.
• Die relative Häufigkeit lautet
  $h_i=H_i/n=\text{Passend}/\text{Alle}$.