Statistische Kennzahlen fassen viele Einzelwerte in wenigen aussagekräftigen Zahlen zusammen. Eine Kennzahl beantwortet aber immer nur eine bestimmte Frage. Deshalb müssen Lage und Streuung gemeinsam betrachtet werden.

Zentrales Ziel: Daten ordnen, passende Lage- und Streuungsmaße berechnen und die Kennzahlen gemeinsam im Kontext interpretieren.

1. Daten zuerst ordnen

Für Median, Quartile und Boxplot müssen die Daten aufsteigend geordnet sein:

$$x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n.$$

Beispiel:

$$6,\ 2,\ 4,\ 4$$

wird geordnet zu:

$$2,\ 4,\ 4,\ 6.$$

Dabei ist $n$ die Anzahl aller Werte. Im Beispiel gilt:

$$n=4.$$

2. Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird meist kurz Mittelwert genannt.

$$\overline{x} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{Mittelwert} = \frac{\text{Summe aller Werte}} {\text{Anzahl aller Werte}} }$$

Beispiel:

$$\overline{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = \frac{16}{4} = 4.$$

Der Mittelwert wirkt wie ein Ausgleichspunkt der Daten.

Kontrolle über die Abweichungen

Die Abweichungen vom Mittelwert ergeben zusammen $0$:

$$(2-4)+(4-4)+(4-4)+(6-4) = -2+0+0+2 = 0.$$

3. Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle

Kommt ein Wert mehrfach vor, kann mit den absoluten Häufigkeiten gerechnet werden.

Damit:

$$\overline{x} = \frac{ 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 4\cdot 1 }{ 2+3+1 } = \frac{12}{6} = 2.$$

Allgemein:

$$\overline{x} = \frac{ x_1H_1+x_2H_2+\dots+x_kH_k }{ H_1+H_2+\dots+H_k }.$$

Dabei ist $H_i$ die absolute Häufigkeit des Wertes $x_i$.

4. Median

Der Median teilt die geordneten Daten in eine untere und eine obere Hälfte.

Ungerade Anzahl von Werten

$$2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10$$

Der mittlere Wert ist:

$$\operatorname{Median}=5.$$

Gerade Anzahl von Werten

$$2,\ 4,\ 6,\ 10$$

Es gibt zwei mittlere Werte. Daher:

$$\operatorname{Median} = \frac{4+6}{2} = 5.$$

Merksatz: Vor der Bestimmung des Medians müssen die Daten immer geordnet werden.

5. Modalwert

Der Modalwert ist der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit.

Beispiel:

$$2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5$$

Daher:

$$\operatorname{Modalwert}=3.$$

Es kann auch mehrere Modalwerte geben:

$$2,\ 2,\ 4,\ 4,\ 7.$$

Hier sind $2$ und $4$ gleich häufig. Es gibt zwei Modalwerte.

Sind alle Werte gleich häufig, gibt es keinen eindeutigen Modalwert.

6. Mittelwert, Median und Ausreißer

Vergleiche:

Datensatz A:

$$3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$$

Datensatz B:

$$3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 30.$$

Für A gilt:

$$\overline{x}_A = \frac{3+4+4+5+5+6}{6} = 4{,}5$$

und:

$$\operatorname{Median}_A=4{,}5.$$

Für B gilt:

$$\overline{x}_B = \frac{3+4+4+5+5+30}{6} = 8{,}5$$

und:

$$\operatorname{Median}_B=4{,}5.$$

Der Ausreißer $30$ zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt unverändert.

Folgerung: Bei starken Ausreißern ist der Median häufig aussagekräftiger als der Mittelwert.

7. Minimum, Maximum und Spannweite

Das Minimum ist der kleinste, das Maximum der größte Wert.

Die Spannweite lautet:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{Spannweite} = \text{größter Wert} - \text{kleinster Wert} }$$

Beispiel:

$$2,\ 4,\ 4,\ 6,\ 9$$

Damit:

$$R=9-2=7.$$

Die Spannweite verwendet nur zwei Werte und reagiert daher stark auf Ausreißer.

8. Quartile

Quartile teilen geordnete Daten in vier Bereiche.

Wir verwenden im Lerncoach folgende Methode:

1. Daten aufsteigend ordnen.
2. Median bestimmen.
3. Bei ungerader Anzahl wird der Median nicht in die beiden Hälften aufgenommen.
4. $Q_1$ ist der Median der unteren Hälfte.
5. $Q_3$ ist der Median der oberen Hälfte.

Beispiel:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14,\ 16,\ 18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24.$$

Der Median ist:

$$\operatorname{Median}=16.$$

Untere Hälfte:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14 \qquad\Rightarrow\qquad Q_1=12.$$

Obere Hälfte:

$$18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24 \qquad\Rightarrow\qquad Q_3=20.$$

9. Interquartilsabstand

Der Interquartilsabstand beschreibt die Breite der mittleren $50\,\%$ der Daten.

$$IQR=Q_3-Q_1.$$

Im Beispiel:

$$IQR=20-12=8.$$

Der Interquartilsabstand reagiert weniger stark auf extreme Werte als die Spannweite.

10. Boxplot

Ein Boxplot zeigt:

• Minimum,
• erstes Quartil $Q_1$,
• Median,
• drittes Quartil $Q_3$,
• Maximum.

Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ und enthält die mittleren $50\,\%$ der Daten.

Die Antennen reichen in diesem Lerncoach vom Minimum bis zum Maximum.

11. Empirische Varianz mit Divisor $n$

Die Varianz beschreibt die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert.

Im Lerncoach verwenden wir die empirische Varianz mit dem Divisor $n$:

$$s^2 = \frac{ (x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2 }{n}.$$

Die Abweichungen werden quadriert, damit:

• negative und positive Abweichungen sich nicht aufheben,
• größere Abweichungen stärker berücksichtigt werden.

Beispiel

Gegeben:

$$2,\ 4,\ 4,\ 6.$$

Mittelwert:

$$\overline{x}=4.$$

Abweichungen:

$$2-4=-2, \qquad 4-4=0, \qquad 4-4=0, \qquad 6-4=2.$$

Quadrate der Abweichungen:

$$(-2)^2=4, \qquad 0^2=0, \qquad 0^2=0, \qquad 2^2=4.$$

Varianz:

$$s^2 = \frac{4+0+0+4}{4} = 2.$$

Die Einheit der Varianz ist die quadrierte Einheit der Daten.

12. Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz:

$$s=\sqrt{s^2}.$$

Vollständig ausgeschrieben:

$$s = \sqrt{ \frac{ (x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2 }{n} }.$$

Für das Beispiel gilt:

$$s=\sqrt{2}\approx1{,}41.$$

Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.

Deutung: Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng beisammenliegen. Eine große Standardabweichung bedeutet eine stärkere Streuung.

13. Gleiche Lage, unterschiedliche Streuung

Datensatz A:

$$4,\ 5,\ 6$$

Datensatz B:

$$0,\ 5,\ 10.$$

Beide besitzen:

$$\overline{x}=5 \qquad\text{und}\qquad \operatorname{Median}=5.$$

Für A:

$$s_A = \sqrt{ \frac{(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{3} } = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx0{,}82.$$

Für B:

$$s_B = \sqrt{ \frac{(0-5)^2+(5-5)^2+(10-5)^2}{3} } = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx4{,}08.$$

Die Lage ist gleich, die Streuung aber sehr verschieden.

14. Gewogenes Mittel

Nicht alle Werte müssen gleich stark gewichtet werden.

Beispiel: Eine Note zählt doppelt, eine andere dreifach.

$$\overline{x}_{\text{gewogen}} = \frac{ x_1g_1+x_2g_2+\dots+x_kg_k }{ g_1+g_2+\dots+g_k }.$$

Beispiel:

$$\overline{x}_{\text{gewogen}} = \frac{10\cdot2+15\cdot3+20\cdot5}{2+3+5} = \frac{165}{10} = 16{,}5.$$

Gewichte dürfen nicht ignoriert werden.

15. Welche Kennzahl ist geeignet?

16. Kennzahlen gemeinsam interpretieren

Eine vollständige Interpretation verbindet Lage und Streuung.

Beispiel:

Beide Klassen erreichen im Mittel dieselbe Punktezahl. In Klasse B ist die Standardabweichung jedoch größer. Die Ergebnisse der Klasse B schwanken daher stärker um den gemeinsamen Mittelwert.

Eine gute Deutung nennt:

• die verwendete Kennzahl,
• den Wert,
• die Einheit,
• den Bezug zum Kontext,
• auffällige Ausreißer,
• bei Vergleichen Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

17. Typische Fehler

Daten vor Median und Quartilen nicht geordnet

Median und Quartile beziehen sich auf Positionen in der geordneten Liste.

Häufigkeiten beim Mittelwert nicht berücksichtigt

Bei einer Häufigkeitstabelle muss jeder Wert mit seiner absoluten Häufigkeit multipliziert werden.

Mittelwert ohne Ausreißerprüfung gedeutet

Ein einzelner extremer Wert kann den Mittelwert stark verschieben.

Spannweite als typische Abweichung gedeutet

Die Spannweite verwendet nur Minimum und Maximum.

Varianz und Standardabweichung verwechselt

Die Varianz besitzt eine quadrierte Einheit. Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die Daten.

Wurzel bei der Standardabweichung vergessen

Aus $s^2$ wird erst durch die Quadratwurzel $s$.

Lage ohne Streuung angegeben

Zwei Datensätze können denselben Mittelwert besitzen und trotzdem sehr unterschiedlich verteilt sein.

18. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.
• Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Daten.
• Der Modalwert ist der häufigste Wert.
• Die Spannweite lautet größter Wert minus kleinster Wert.
• $Q_1$ und $Q_3$ begrenzen die mittleren $50\,\%$ der Daten.