Mittelwert, Median und Quartile beschreiben die Lage geordneter Daten. Sie beantworten aber unterschiedliche Fragen. Deshalb muss zuerst geklärt werden, welche Kennzahl zur Datenlage und zur Fragestellung passt.

Zentrales Ziel: Daten sicher ordnen, Mittelwert, Median und Quartile nach einer festen Methode bestimmen und die Kennzahlen verständig auswählen und deuten.

1. Von der Urliste zur geordneten Datenliste

Eine Urliste enthält die Werte in der Reihenfolge ihrer Erfassung.

Beispiel:

$$6,\ 2,\ 9,\ 4,\ 4.$$

Für Median und Quartile werden die Daten aufsteigend geordnet:

$$2,\ 4,\ 4,\ 6,\ 9.$$

Allgemein:

$$x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n.$$

Dabei ist $n$ die Anzahl aller Werte.

Wichtig: Kein Wert darf fehlen, doppelt übernommen oder verändert werden.

2. Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird meist kurz Mittelwert genannt.

$$\overline{x} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{Mittelwert} = \frac{\text{Summe aller Werte}} {\text{Anzahl aller Werte}} }$$

Beispiel:

$$\overline{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = \frac{16}{4} = 4.$$

Der Mittelwert wirkt wie ein Ausgleichspunkt.

Kontrolle über die Abweichungen

Die Abweichungen vom Mittelwert ergeben zusammen $0$:

$$(2-4)+(4-4)+(4-4)+(6-4) = -2+0+0+2 = 0.$$

3. Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle

Kommt ein Wert mehrfach vor, kann mit den absoluten Häufigkeiten gerechnet werden.

Damit:

$$\overline{x} = \frac{ 1\cdot2+2\cdot3+4\cdot1 }{ 2+3+1 } = \frac{12}{6} = 2.$$

Allgemein:

$$\overline{x} = \frac{ x_1H_1+x_2H_2+\dots+x_kH_k }{ H_1+H_2+\dots+H_k }.$$

Dabei ist $H_i$ die absolute Häufigkeit des Wertes $x_i$.

4. Median bei ungerader Anzahl

Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Daten.

Beispiel:

$$2,\ 4,\ 5,\ 8,\ 10.$$

Der dritte Wert liegt genau in der Mitte:

$$\operatorname{Median}=5.$$

Links und rechts vom Median liegen gleich viele Werte.

5. Median bei gerader Anzahl

Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei mittlere Werte.

Beispiel:

$$2,\ 4,\ 6,\ 10.$$

Die beiden mittleren Werte sind $4$ und $6$. Daher:

$$\operatorname{Median} = \frac{4+6}{2} = 5.$$

Wichtig: Der Median muss nicht selbst als Wert in der Datenliste vorkommen.

6. Mittelwert und Median bei Ausreißern

Vergleiche:

Datensatz A:

$$3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$$

Datensatz B:

$$3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 30.$$

Für A:

$$\overline{x}_A = \frac{3+4+4+5+5+6}{6} = 4{,}5$$

und:

$$\operatorname{Median}_A=4{,}5.$$

Für B:

$$\overline{x}_B = \frac{3+4+4+5+5+30}{6} = 8{,}5$$

und:

$$\operatorname{Median}_B=4{,}5.$$

Der Ausreißer $30$ zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt unverändert.

7. Welche Lagekennzahl ist geeigneter?

Merksatz: Der Mittelwert verwendet jeden Wert. Der Median verwendet vor allem die Positionen in der geordneten Datenliste.

8. Quartile teilen die Daten in vier Bereiche

Quartile teilen die geordneten Daten in vier Bereiche.

• Unterhalb von $Q_1$ liegen ungefähr $25\,\%$ der Daten.
• Unterhalb des Medians liegen ungefähr $50\,\%$ der Daten.
• Unterhalb von $Q_3$ liegen ungefähr der Daten.

Es gilt:

$$Q_1\leq\operatorname{Median}\leq Q_3.$$

9. Feste Quartilsmethode im Lerncoach

Wir verwenden in WS 1.3 und WS 1.4 dieselbe Methode:

1. Daten aufsteigend ordnen.
2. Median bestimmen.
3. Bei ungerader Anzahl wird der Median nicht in die beiden Hälften aufgenommen.
4. $Q_1$ ist der Median der unteren Hälfte.
5. $Q_3$ ist der Median der oberen Hälfte.

Wichtig: Verschiedene Lehrbücher können unterschiedliche Quartilsmethoden verwenden. Innerhalb einer Aufgabe darf die Methode nicht gewechselt werden.

10. Quartile bei ungerader Datenanzahl

Gegeben:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14,\ 16,\ 18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24.$$

Der Median ist:

$$\operatorname{Median}=16.$$

Der Median wird nicht in die beiden Hälften aufgenommen.

Untere Hälfte:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14 \qquad\Rightarrow\qquad Q_1=12.$$

Obere Hälfte:

$$18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24 \qquad\Rightarrow\qquad Q_3=20.$$

Damit:

$$Q_1=12, \qquad \operatorname{Median}=16, \qquad Q_3=20.$$

11. Quartile bei gerader Datenanzahl

Gegeben:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8.$$

Median:

$$\operatorname{Median} = \frac{4+5}{2} = 4{,}5.$$

Untere Hälfte:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4 \qquad\Rightarrow\qquad Q_1 = \frac{2+3}{2} = 2{,}5.$$

Obere Hälfte:

$$5,\ 6,\ 7,\ 8 \qquad\Rightarrow\qquad Q_3 = \frac{6+7}{2} = 6{,}5.$$

12. Interquartilsabstand

Der Interquartilsabstand beschreibt die Breite der mittleren $50\,\%$ der Daten.

$$IQR=Q_3-Q_1.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{Interquartilsabstand} = \text{oberes Quartil} - \text{unteres Quartil} }$$

Für das Beispiel mit $Q_1=12$ und $Q_3=20$ gilt:

$$IQR=20-12=8.$$

Ein kleiner $IQR$ bedeutet, dass die mittlere Hälfte eng beisammenliegt. Ein großer $IQR$ bedeutet eine stärkere Streuung der mittleren Hälfte.

13. Boxplot erstellen

Ein Boxplot wird aus fünf Kennwerten aufgebaut:

• Minimum,
• erstes Quartil $Q_1$,
• Median,
• drittes Quartil $Q_3$,
• Maximum.

Die Box reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ und enthält die mittleren $50\,\%$ der Daten.

Die Antennen reichen im Lerncoach vom Minimum bis zum Maximum.

14. Boxplots vergleichen

Beim Vergleich zweier Boxplots werden mehrere Merkmale betrachtet:

• Welcher Median ist größer?
• Welche Box liegt weiter rechts?
• Welcher Interquartilsabstand ist größer?
• Welche Spannweite ist größer?
• Liegt der Median mittig in der Box?
• Sind die beiden Hälften ähnlich lang?

Wichtig: Aus einem Boxplot können die ursprünglichen Einzelwerte nicht eindeutig rekonstruiert werden.

15. Kennzahlen bei Verschiebung und Streckung

Zu jedem Wert dieselbe Zahl addieren

Wird zu jedem Wert $c$ addiert, dann erhöhen sich:

• Mittelwert um $c$,
• Median um $c$,
• $Q_1$ um $c$,
• $Q_3$ um ,

Der Interquartilsabstand bleibt gleich:

$$(Q_3+c)-(Q_1+c)=Q_3-Q_1.$$

Jeden Wert mit einer positiven Zahl multiplizieren

Werden alle Werte mit $a>0$ multipliziert, dann werden Mittelwert, Median, Quartile und $IQR$ ebenfalls mit $a$ multipliziert.

16. Fehlende Werte bestimmen

Fehlender Wert bei bekanntem Mittelwert

Fünf Werte besitzen den Mittelwert $12$. Vier Werte sind:

$$8,\ 10,\ 13,\ 14.$$

Die Gesamtsumme muss sein:

$$5\cdot12=60.$$

Die bekannten Werte ergeben:

$$8+10+13+14=45.$$

Der fehlende Wert ist:

$$60-45=15.$$

Fehlendes Quartil bei bekanntem $IQR$

Sind

$$Q_1=12 \qquad\text{und}\qquad IQR=8,$$

dann gilt:

$$Q_3-12=8 \qquad\Rightarrow\qquad Q_3=20.$$

17. Typische Fehler

Daten nicht vollständig geordnet

Median und Quartile hängen von den Positionen in der geordneten Liste ab.

Bei gerader Anzahl nur einen mittleren Wert gewählt

Der Median ist der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Median bei der Quartilsbildung doppelt verwendet

Bei ungerader Anzahl wird der Median in unserer Methode nicht in die Hälften aufgenommen.

Unterschiedliche Quartilsmethoden vermischt

Innerhalb einer Aufgabe muss dieselbe Methode verwendet werden.

$Q_1$ und $Q_3$ vertauscht

Es muss gelten:

$$Q_1\leq\operatorname{Median}\leq Q_3.$$

Interquartilsabstand mit Spannweite verwechselt

$$IQR=Q_3-Q_1$$

verwendet die mittlere Hälfte. Die Spannweite verwendet Maximum und Minimum.

Ausreißerwirkung übersehen

Starke Ausreißer beeinflussen den Mittelwert meist deutlich stärker als den Median.

18. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Für Median und Quartile müssen die Daten geordnet werden.
• Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.
• Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Daten.
• Bei gerader Anzahl wird aus den beiden mittleren Werten der Mittelwert gebildet.
• Der Mittelwert reagiert stärker auf Ausreißer als der Median.
• $Q_1$, Median und $Q_3$ teilen die Daten in vier Bereiche.
• Im Lerncoach wird bei ungerader Anzahl der Median nicht in die Hälften aufgenommen.
• Der Interquartilsabstand lautet $$.