Ein Zufallsexperiment kann verschiedene Ergebnisse besitzen. Der Grundraum sammelt alle möglichen Ergebnisse. Ein Ereignis enthält genau jene Ergebnisse, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Zentrales Ziel: Ein Zufallsexperiment präzise beschreiben, den vollständigen Grundraum angeben und Ereignisse sowie Gegenereignisse sprachlich und als Mengen formulieren.

1. Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang,

• der unter denselben Bedingungen wiederholt werden kann,
• dessen mögliche Ergebnisse bekannt sind,
• dessen konkretes Ergebnis vorher nicht sicher feststeht.

Beispiele:

• einen Würfel einmal werfen,
• eine Münze zweimal werfen,
• eine Karte ziehen,
• ein Glücksrad drehen.

Wichtig: Bevor ein Grundraum angegeben wird, muss klar sein, was beim Experiment beobachtet wird.

2. Ergebnis

Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments.

Ein Ergebnis wird häufig mit

$$\omega$$

bezeichnet.

Beim einmaligen Würfeln kann beispielsweise gelten:

$$\omega=4.$$

Die Zahl $4$ ist ein einzelnes Ergebnis.

3. Grundraum

Der Grundraum enthält alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments.

Er wird mit

$$\Omega$$

bezeichnet.

Beim einmaligen Würfeln:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Beim einmaligen Münzwurf:

$$\Omega=\{K,Z\}.$$

Dabei steht $K$ für Kopf und $Z$ für Zahl.

Kontrolle des Grundraums

Ein korrekter Grundraum erfüllt zwei Bedingungen:

1. Alle möglichen Ergebnisse sind enthalten.
2. Kein unmögliches Ergebnis ist enthalten.

4. Ereignis

Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

Beim Würfeln sei:

$$A=\text{„gerade Zahl“}.$$

Dann gilt:

$$A=\{2,4,6\}.$$

Mathematisch ist jedes Ereignis eine Teilmenge des Grundraums:

$$A\subseteq\Omega.$$

Das Ereignis tritt ein, wenn das beobachtete Ergebnis in der Ereignismenge liegt.

Beispiele:

• Gewürfelt wird $4$: $$4\in A.$$ Das Ereignis tritt ein.
• Gewürfelt wird $5$: $$5\notin A.$$ Das Ereignis tritt nicht ein.

5. Ergebnis und Ereignis unterscheiden

Ein einzelnes Ergebnis und ein Ereignis sind nicht dasselbe.

Beim Würfeln:

$$\omega=4$$

ist ein einzelnes Ergebnis.

Dagegen ist:

$$B=\{4\}$$

ein Ereignis, das genau ein Ergebnis enthält.

Merksatz: Ergebnisse stehen ohne Mengenklammern. Ereignisse werden als Mengen geschrieben.

6. Elementarereignis, sicheres und unmögliches Ereignis

Elementarereignis

Ein Ereignis mit genau einem Ergebnis heißt Elementarereignis.

Beispiel:

$$B=\text{„eine 6 würfeln“}=\{6\}.$$

Sicheres Ereignis

Das sichere Ereignis enthält den gesamten Grundraum:

$$S=\Omega.$$

Beim Würfeln:

$$S=\text{„eine Zahl von 1 bis 6 würfeln“} =\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Unmögliches Ereignis

Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis:

$$U=\varnothing.$$

Beim Würfeln:

$$U=\text{„eine 7 würfeln“} =\varnothing.$$

7. Gegenereignis

Das Gegenereignis zu $A$ enthält alle Ergebnisse aus $\Omega$, die nicht zu $A$ gehören.

Es wird mit

$$\overline A$$

bezeichnet.

Formal:

$$\overline A=\Omega\setminus A.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{Gegenereignis} = \text{alle Ergebnisse aus }\Omega,\text{ bei denen }A\text{ nicht eintritt} }$$

Es gilt:

$$A\cup\overline A=\Omega$$

und:

$$A\cap\overline A=\varnothing.$$

8. Zentrales Fehlerbeispiel: „größer als 2“

Beim Würfeln gilt:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sei:

$$A=\text{„Zahl größer als 2“} =\{3,4,5,6\}.$$

Das Gegenereignis ist die vollständige Verneinung:

$$\overline A = \text{„Zahl nicht größer als 2“} = \text{„Zahl höchstens 2“} = \{1,2\}.$$

Falsch wäre:

$$\text{„Zahl kleiner als 2“} = \{1\}.$$

Dabei würde die $2$ fehlen.

Merksatz: Das Gegenereignis ist nicht irgendeine gegenteilig klingende Aussage, sondern die vollständige logische Verneinung.

9. Sprachliche Verneinungen mit Mengen

Für die folgenden Beispiele gilt stets:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

10. Mehrstufiges Experiment: zweimal Münze werfen

Beim zweimaligen Münzwurf wird die Reihenfolge beachtet.

Der Grundraum lautet:

$$\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}.$$

Dabei gilt:

$$KZ\neq ZK.$$

Beispiel 1: genau einmal Kopf

$$A=\text{„genau einmal Kopf“} =\{KZ,ZK\}.$$

Das Gegenereignis lautet vollständig:

$$\overline A = \text{„nicht genau einmal Kopf“} = \{KK,ZZ\}.$$

Die Menge enthält sowohl „zweimal Kopf“ als auch „kein Kopf“.

Beispiel 2: mindestens einmal Kopf

$$B=\text{„mindestens einmal Kopf“} =\{KK,KZ,ZK\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\overline B = \text{„kein Kopf“} = \{ZZ\}.$$

11. Grundraum hängt von der Beobachtung ab

Beim zweimaligen Würfeln kann derselbe Vorgang unterschiedlich beobachtet werden.

Einzelne Würfe werden notiert

Dann besteht ein Ergebnis aus einem geordneten Paar:

$$(1,1),(1,2),\dots,(6,6).$$

Der Grundraum enthält alle $36$ geordneten Paare.

Nur die Augensumme wird notiert

Dann lautet der Grundraum:

$$\Omega_{\text{Summe}} = \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.$$

Wichtig: Der Grundraum wird nicht nur durch den Vorgang, sondern auch durch die beobachtete Größe bestimmt.

12. Vereinigung: „oder“

Die Vereinigung enthält alle Ergebnisse, die in $A$ oder in $B$ oder in beiden Ereignissen liegen.

$$A\cup B.$$

Beim Würfeln:

$$A=\text{„gerade Zahl“}=\{2,4,6\}$$

und:

$$B=\text{„Zahl größer als 4“}=\{5,6\}.$$

Dann:

$$A\cup B = \text{„gerade Zahl oder Zahl größer als 4“} = \{2,4,5,6\}.$$

Das mathematische „oder“ schließt den gemeinsamen Fall ein.

13. Schnitt: „und“

Der Schnitt enthält alle Ergebnisse, die gleichzeitig in $A$ und in $B$ liegen.

$$A\cap B.$$

Mit:

$$A=\{2,4,6\}$$

und:

$$B=\{5,6\}$$

gilt:

$$A\cap B = \text{„gerade Zahl und Zahl größer als 4“} = \{6\}.$$

14. Ereignisse sprachlich und als Menge angeben

Ein Ereignis kann auf verschiedene Arten dargestellt werden.

Sprachlich

$$A=\text{„eine Zahl höchstens 3 würfeln“}.$$

Durch Aufzählung

$$A=\{1,2,3\}.$$

Durch eine Bedingung

$$A= \{\omega\in\Omega\mid \omega\leq3\}.$$

Für den Einstieg ist die aufzählende Form besonders übersichtlich.

15. Kontrollfragen

Nach dem Aufstellen von Grundraum und Ereignis:

1. Enthält $\Omega$ alle möglichen Ergebnisse?
2. Enthält $\Omega$ kein unmögliches Ergebnis?
3. Ist jedes Element von $A$ auch in $\Omega$?
4. Wurde das Ereignis als Menge geschrieben?
5. Enthält $\overline A$ genau die Ergebnisse, die nicht in liegen?

16. Typische Fehler

Ergebnis und Ereignis verwechselt

Falsch:

$$A=6.$$

Richtig:

$$A=\{6\}.$$

Grundraum unvollständig

Beim zweimaligen Münzwurf wird beispielsweise $ZK$ vergessen.

Reihenfolge ignoriert

Bei zwei Münzwürfen sind $KZ$ und $ZK$ verschiedene Ergebnisse.

Gegenereignis zu eng formuliert

Falsch:

$$A=\text{„größer als 2“}=\{3,4,5,6\}$$

und:

$$\overline A=\text{„kleiner als 2“}=\{1\}.$$

Richtig:

$$\overline A = \text{„höchstens 2“} = \{1,2\}.$$

Gegenereignis nicht als Menge angegeben

Eine rein sprachliche Verneinung ist unvollständig, wenn die zugehörigen Ergebnisse nicht kontrolliert wurden.

„Oder“ zu eng verstanden

Das mathematische „oder“ umfasst auch Ergebnisse, die beide Bedingungen erfüllen.

17. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang.
• Der Grundraum $\Omega$ enthält alle möglichen Ergebnisse.
• Ein Ereignis ist eine Teilmenge von $\Omega$.
• Ein Elementarereignis enthält genau ein Ergebnis.
• Das sichere Ereignis ist $\Omega$.
• Das unmögliche Ereignis ist $\varnothing$.
• Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse aus $\Omega$, die nicht in $$ liegen.