Relative Häufigkeiten entstehen aus beobachteten Daten. Sie zeigen, welcher Anteil der Versuche zu einem bestimmten Ereignis gehört. Bei vielen Wiederholungen können sie als Schätzwert für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit verwendet werden.

Zentrales Ziel: Absolute und relative Häufigkeit sicher unterscheiden, einen Schätzwert aus Daten berechnen und seine Aussagekraft vorsichtig beurteilen.

1. Wiederholtes Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment wird unter möglichst gleichen Bedingungen mehrfach durchgeführt.

Beispiele:

• eine Münze mehrmals werfen,
• einen Würfel mehrmals werfen,
• ein Glücksrad wiederholt drehen,
• zufällig ausgewählte Produkte kontrollieren.

Für ein Ereignis $A$ wird gezählt, wie oft es eintritt.

2. Anzahl der Versuche

Die Gesamtzahl aller durchgeführten Versuche wird mit

$$n$$

bezeichnet.

Beispiel:

Eine Münze wird $100$-mal geworfen.

$$n=100.$$

3. Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft das Ereignis $A$ in $n$ Versuchen eingetreten ist.

$$H_n(A)=\text{Anzahl der Treffer von }A.$$

Beispiel:

Bei $100$ Münzwürfen tritt Kopf $56$-mal auf.

$$H_{100}(A)=56.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{absolute Häufigkeit} = \text{Anzahl der Treffer} }$$

4. Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Treffer an allen Versuchen.

$$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}.$$

Schülernah:

$$\boxed{ \text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{Treffer}}{\text{alle Versuche}} }$$

Beispiel:

$$h_{100}(A) = \frac{56}{100} = 0{,}56 = 56\,\%.$$

5. Absolute und relative Häufigkeit unterscheiden

Merksatz: Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. Die relative Häufigkeit ist ein Anteil.

Es muss gelten:

$$0\leq H_n(A)\leq n$$

und:

$$0\leq h_n(A)\leq1.$$

6. Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Eine relative Häufigkeit kann in verschiedenen Formen angegeben werden.

$$\frac{23}{100} = 0{,}23 = 23\,\%.$$

Auch bei einem anderen Nenner beschreiben alle drei Formen denselben Anteil:

$$\frac{18}{80} = 0{,}225 = 22{,}5\,\%.$$

Achtung: $0{,}23=23\,\%$, nicht $0{,}23\,\%$.

7. Wahrscheinlichkeit aus Daten schätzen

Ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unbekannt, wird die beobachtete relative Häufigkeit als Schätzwert verwendet.

$$\widehat p=h_n(A).$$

Beispiel:

Bei $400$ Versuchen tritt $A$ insgesamt $92$-mal ein.

$$\widehat p = h_{400}(A) = \frac{92}{400} = 0{,}23.$$

Deutung:

Auf Grundlage dieser $400$ Versuche wird die Wahrscheinlichkeit von $A$ auf ungefähr $0{,}23$ beziehungsweise $23\,\%$ geschätzt.

8. Schätzwert statt exaktem Wert

Die relative Häufigkeit stammt aus einer konkreten Versuchsreihe. Eine andere Versuchsreihe kann einen anderen Wert liefern.

Deshalb wird vorsichtig formuliert:

• „Die Wahrscheinlichkeit wird auf ungefähr $0{,}23$ geschätzt.“
• „Die Versuchsreihe liefert den Schätzwert $0{,}23$.“
• „In diesen Daten liegt die relative Häufigkeit bei $23\,\%$.“

Nicht passend wäre:

• „Die Wahrscheinlichkeit ist exakt $0{,}23$.“
• „Die Versuchsreihe beweist den wahren Wert.“

9. Zufällige Schwankungen

Wird dasselbe Experiment mehrmals durchgeführt, entstehen meist unterschiedliche relative Häufigkeiten.

Fünf Serien mit jeweils $20$ Versuchen können beispielsweise liefern:

$$0{,}40,\quad 0{,}55,\quad 0{,}45,\quad 0{,}65,\quad 0{,}50.$$

Die Unterschiede entstehen durch zufällige Schwankungen.

Wichtig: Unterschiedliche relative Häufigkeiten bedeuten nicht automatisch, dass sich die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit verändert hat.

10. Einfluss der Versuchszahl

Bei wenigen Versuchen verändert ein zusätzlicher Treffer die relative Häufigkeit stark.

Bei $n=10$:

$$\frac{1}{10}=0{,}10.$$

Ein zusätzlicher Treffer verändert den Anteil um $10$ Prozentpunkte.

Bei $n=1000$:

$$\frac{1}{1000}=0{,}001.$$

Ein zusätzlicher Treffer verändert den Anteil nur um $0{,}1$ Prozentpunkte.

Daher gilt:

Bei größeren Versuchszahlen ist die Schätzung in der Regel stabiler.

Das bedeutet nicht:

• dass die relative Häufigkeit von Schritt zu Schritt immer in dieselbe Richtung läuft,
• dass Schwankungen vollständig verschwinden,
• dass eine große Versuchszahl automatisch den exakten Wert liefert.

11. Verlauf einer relativen Häufigkeit

In einer Verlaufsgrafik steht:

• auf der waagerechten Achse die bisherige Anzahl der Versuche,
• auf der senkrechten Achse die bisherige relative Häufigkeit.

Typisch ist:

• am Anfang große Sprünge,
• später meist kleinere Änderungen,
• weiterhin ein Auf und Ab,
• ein zunehmend stabilerer Bereich.

Eine echte Verlaufskurve ist nicht glatt und nicht zwingend monoton.

12. Interaktives Würfelexperiment

Im interaktiven Feld wird das Ereignis

$$A=\text{„Es fällt eine 6“}$$

beobachtet.

Mit dem Schieberegler wird die Zahl der ausgewerteten Würfe $n$ verändert. Angezeigt werden:

• die absolute Häufigkeit $H_n(A)$,
• die relative Häufigkeit $h_n(A)$,
• der Verlauf des bisherigen Schätzwerts,
• der zuletzt ausgewertete Würfelwurf.

Mit „Neue Versuchsreihe“ kann eine neue Folge von Würfen erzeugt werden.

Beobachtungsauftrag:

1. Vergleiche kleine und große Werte von $n$.
2. Achte auf die frühen Sprünge.
3. Beobachte, dass die Kurve weiterhin steigen und fallen kann.
4. Formuliere den jeweils angezeigten Wert als Schätzung, nicht als exakte Wahrscheinlichkeit.

13. Versuchsreihen vergleichen

Versuchsreihe A:

$$n=50, \qquad H_{50}(A)=31, \qquad h_{50}(A)=0{,}62.$$

Versuchsreihe B:

$$n=500, \qquad H_{500}(A)=287, \qquad h_{500}(A)=0{,}574.$$

Beide Werte sind gültige Beobachtungen.

Die zweite Schätzung beruht auf deutlich mehr Versuchen und ist deshalb in der Regel stabiler.

Achtung: Ohne den tatsächlichen Wert zu kennen, darf nicht behauptet werden, welcher beobachtete Wert sicher näher daran liegt.

14. Tabellen lesen

Beim Lesen der Tabelle:

1. Größen korrekt zuordnen.
2. Fehlende Werte berechnen.
3. Schwankungen erkennen.
4. Größere Versuchsreihen vorsichtig als stabiler beschreiben.
5. Keine exakte Wahrscheinlichkeit behaupten.

15. Fehlende absolute Häufigkeit

Aus

$$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$$

folgt:

$$H_n(A)=n\cdot h_n(A).$$

Beispiel:

$$n=200, \qquad h_n(A)=0{,}35.$$ $$H_n(A) = 200\cdot0{,}35 = 70.$$

Es wurden $70$ Treffer beobachtet.

16. Fehlende Versuchszahl

Aus

$$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$$

folgt:

$$n=\frac{H_n(A)}{h_n(A)}.$$

Beispiel:

$$H_n(A)=45, \qquad h_n(A)=0{,}30.$$ $$n = \frac{45}{0{,}30} = 150.$$

Die Versuchsreihe bestand aus $150$ Versuchen.

17. Ungefähre Trefferzahl aus einem Schätzwert

Ein Schätzwert kann auf eine neue Versuchszahl übertragen werden.

Beispiel:

$$\widehat p=0{,}23$$

und geplant sind $1000$ weitere Versuche.

$$1000\cdot0{,}23=230.$$

Deutung:

Bei vergleichbaren Bedingungen wären ungefähr $230$ Treffer zu erwarten.

Das ist keine Garantie. Die tatsächliche Trefferzahl kann davon abweichen.

18. Typische Fehler

Absolute und relative Häufigkeit verwechselt

Falsch:

$$H_{100}(A)=0{,}56.$$

Richtig:

$$H_{100}(A)=56, \qquad h_{100}(A)=0{,}56.$$

Falsche Reihenfolge im Bruch

Falsch:

$$h_n(A)=\frac{n}{H_n(A)}.$$

Richtig:

$$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}.$$

Schülernah:

$$\frac{\text{Treffer}}{\text{alle Versuche}}.$$

Prozent und Dezimalzahl verwechselt

$$0{,}23=23\,\%.$$

Unmöglichen Wert akzeptiert

Eine relative Häufigkeit von $1{,}08$ ist unmöglich, da sie zwischen $0$ und $1$ liegen muss.

Schätzwert als exakt bezeichnet

Eine relative Häufigkeit ist ein datenbasierter Schätzwert.

Kleine Versuchsreihe überbewertet

Ein auffälliger Anteil aus wenigen Versuchen kann stark vom nächsten Versuch abhängen.

Stabilisierung als monotone Annäherung verstanden

Auch bei vielen Versuchen kann die Verlaufskurve weiterhin steigen und fallen.

19. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• $n$ ist die Anzahl aller Versuche.
• $H_n(A)$ ist die absolute Häufigkeit: die Anzahl der Treffer.
• $h_n(A)$ ist die relative Häufigkeit: