Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse des Grundraums gleich wahrscheinlich. Dann kann eine Wahrscheinlichkeit durch Zählen bestimmt werden.

Zentrales Ziel: Zuerst die Gleichwahrscheinlichkeit prüfen, danach passende und alle Ergebnisse zählen und schließlich die richtige Rechenregel anwenden.

1. Anschluss an Grundraum und relative Häufigkeit

Aus den vorigen Themen werden verwendet:

• der Grundraum $\Omega$,
• ein Ereignis $A\subseteq\Omega$,
• das Gegenereignis $\overline A$,
• die Vereinigung $A\cup B$,

In diesem Thema werden theoretische Wahrscheinlichkeiten für gleich wahrscheinliche Ergebnisse berechnet.

2. Laplace-Experiment

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse des Grundraums gleich wahrscheinlich sind.

Beispiele:

• ein fairer Würfel,
• eine faire Münze,
• ein Glücksrad mit gleich großen Sektoren,
• eine zufällig gezogene Karte aus einem gut gemischten Kartensatz.

Kein Laplace-Experiment liegt vor, wenn einzelne Ergebnisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen.

Prüffrage: Sind wirklich alle Ergebnisse aus $\Omega$ gleich wahrscheinlich?

3. Passend durch Alle

Für ein Ereignis $A$ gilt bei einem Laplace-Experiment:

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.$$

Dabei bedeutet:

• $|A|$: Anzahl der passenden Ergebnisse,
• $|\Omega|$: Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Ergebnisse.

Der Fachbegriff für passende Ergebnisse lautet günstige Ergebnisse.

$$\boxed{ P(A) = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}} }$$

Merksatz: Erst Gleichwahrscheinlichkeit prüfen, dann „Passend durch Alle“ rechnen.

4. Grundbeispiel: fairer Würfel

Beim fairen Würfel gilt:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sei:

$$A=\text{„Zahl größer als 4“}=\{5,6\}.$$

Dann:

$$|A|=2$$

und:

$$|\Omega|=6.$$

Somit:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

5. Sicheres und unmögliches Ereignis

Das sichere Ereignis ist der gesamte Grundraum:

$$P(\Omega)=1.$$

Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis:

$$P(\varnothing)=0.$$

Für jede Wahrscheinlichkeit gilt:

$$0\leq P(A)\leq1.$$

Eine Wahrscheinlichkeit kann auch als Prozentwert angegeben werden:

$$0\leq P(A)\leq100\,\%.$$

6. Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Dieselben Wahrscheinlichkeiten können unterschiedlich dargestellt werden:

$$\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%.$$

Bei einem periodischen Wert wird erst am Ende gerundet:

$$\frac{1}{3} = 0{,}333\dots \approx 0{,}333 \approx 33{,}3\,\%.$$

7. Gleichwahrscheinlichkeit richtig beurteilen

Fairer Würfel

Alle sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich.

Die Laplace-Formel ist anwendbar.

Glücksrad mit gleich großen Sektoren

Jeder Sektor ist gleich wahrscheinlich.

Die Laplace-Formel ist anwendbar, wenn die einzelnen Sektoren als Ergebnisse betrachtet werden.

Glücksrad mit unterschiedlich großen Sektoren

Die Sektoren sind nicht gleich wahrscheinlich.

Bloßes Zählen der Beschriftungen reicht nicht.

Gezinkter Würfel

Die Augenzahlen sind nicht gleich wahrscheinlich.

Die Laplace-Formel ist nicht anwendbar.

8. Gegenereignisregel

Das Gegenereignis $\overline A$ enthält alle Ergebnisse aus $\Omega$, die nicht zu $A$ gehören.

$$P(\overline A)=1-P(A).$$

Kurzes Beispiel

Beim fairen Würfel gilt:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sei:

$$A=\{1,2\}.$$

Dann:

$$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\overline A=\{3,4,5,6\}.$$

Somit:

$$P(\overline A) = 1-P(A) = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$

Kontrolle:

$$P(A)+P(\overline A) = \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1.$$

Ebenso gilt allgemein:

$$P(A)=1-P(\overline A).$$

9. Sprachliche Verneinung mit Menge

Beim Würfeln gilt:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sei:

$$A=\text{„Zahl größer als 2“}=\{3,4,5,6\}.$$

Das Gegenereignis lautet vollständig:

$$\overline A = \text{„Zahl nicht größer als 2“} = \text{„Zahl höchstens 2“} = \{1,2\}.$$

Dann:

$$P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

und:

$$P(\overline A) = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.$$

Falsch wäre:

$$\text{„Zahl kleiner als 2“}=\{1\}.$$

Dabei würde die $2$ fehlen.

10. Wann hilft das Gegenereignis?

Die Gegenereignisregel ist praktisch, wenn das Gegenereignis leichter zu beschreiben oder zu zählen ist.

Beispiel mit Karten $1$ bis $10$:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.$$

Sei:

$$A=\text{„nicht durch 5 teilbar“} = \{1,2,3,4,6,7,8,9\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\overline A = \text{„durch 5 teilbar“} = \{5,10\}.$$

Dann:

$$P(A) = 1-P(\overline A) = 1-\frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.$$

11. Vereinigung: „A oder B“

Das Ereignis

$$A\cup B$$

tritt ein, wenn $A$, $B$ oder beide Ereignisse eintreten.

Beim mathematischen „oder“ ist der gemeinsame Fall eingeschlossen.

12. Allgemeine Additionsregel

Für zwei Ereignisse gilt:

$$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Der Schnitt wird abgezogen, weil die gemeinsamen Ergebnisse in

$$P(A)+P(B)$$

zweimal enthalten sind.

13. Beispiel mit Überschneidung

Beim Würfeln sei:

$$A=\text{„gerade Zahl“}=\{2,4,6\}$$

und:

$$B=\text{„Zahl größer als 3“}=\{4,5,6\}.$$

Der Schnitt lautet:

$$A\cap B = \text{„gerade und größer als 3“} = \{4,6\}.$$

Die Vereinigung lautet:

$$A\cup B = \text{„gerade oder größer als 3“} = \{2,4,5,6\}.$$

Direkt durch Zählen:

$$P(A\cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Mit der Additionsregel:

$$P(A\cup B) = \frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

14. Typischer Fehler: Schnitt vergessen

Falsch:

$$P(A\cup B) = P(A)+P(B) = \frac{3}{6}+\frac{3}{6} = 1.$$

Die Ergebnisse $4$ und $6$ wurden doppelt gezählt.

Richtig:

$$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

15. Disjunkte Ereignisse

Zwei Ereignisse sind disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Ergebnis besitzen:

$$A\cap B=\varnothing.$$

Dann vereinfacht sich die Additionsregel zu:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

Beispiel beim Würfeln:

$$A=\{1,2\}$$

und:

$$B=\{5,6\}.$$

Da:

$$A\cap B=\varnothing,$$

gilt:

$$P(A\cup B) = \frac{2}{6}+\frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Merksatz: Einfach addieren darf man nur, wenn kein Ergebnis in beiden Ereignissen liegt.

16. Direkte Kontrolle durch Aufzählen

Bei einem kleinen Grundraum kann die Rechenregel direkt kontrolliert werden.

Beispiel:

$$A\cup B=\{2,4,5,6\}.$$

Direktes Zählen:

$$P(A\cup B)=\frac{4}{6}.$$

Additionsregel:

$$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{4}{6}.$$

Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.

17. Vorgehensweise

18. Typische Fehler

Gleichwahrscheinlichkeit nicht geprüft

Die Laplace-Formel darf nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwendet werden.

Grundraum unvollständig

Fehlende Ergebnisse verändern den Nenner.

Passend und Alle vertauscht

Richtig:

$$P(A) = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}}.$$

Ereignis nicht als Menge angegeben

Ohne Menge werden passende Ergebnisse leicht übersehen.

Gegenereignis falsch formuliert

Zu:

$$A=\text{„größer als 2“}=\{3,4,5,6\}$$

gehört:

$$\overline A = \text{„höchstens 2“} = \{1,2\}.$$

Überschneidung doppelt gezählt

Bei $A\cup B$ muss der Schnitt $A\cap B$ abgezogen werden.

Wahrscheinlichkeit außerhalb des Wertebereichs

Ein Ergebnis kleiner als $0$ oder größer als $1$ zeigt einen Fehler.

Zu früh gerundet

Brüche möglichst zuerst exakt berechnen und erst am Ende runden.

19. Kontrollfragen

1. Ist das Experiment ein Laplace-Experiment?
2. Ist $\Omega$ vollständig?
3. Wurde das Ereignis als Menge angegeben?
4. Wurden passende und alle Ergebnisse richtig gezählt?
5. Liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$?
6. Ergänzen sich Ereignis und Gegenereignis zu $1$?
7. Wurde bei „oder“ eine Überschneidung berücksichtigt?
8. Stimmen direkte Zählung und Rechenregel überein?

Zusammenfassung

• Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
• Es gilt: $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Passend}}{\text{Alle}}.$$

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Ergänzung: Baumdiagramme und mehrstufige Zufallsversuche

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch wird ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durchgeführt.

Ein Baumdiagramm zeigt

• die möglichen Ergebnisse jeder Stufe,
• die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen,
• alle vollständigen Ergebnisfolgen als Pfade.

Leitidee: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Verschiedene günstige Pfade werden addiert.

20. Aufbau eines Baumdiagramms

Jede Versuchsstufe bildet eine neue Verzweigung.

An jedem Knoten müssen sich die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste zu $1$ ergänzen.

Beispiel:

$$P(R)+P(B)=1.$$

Ein vollständiger Pfad beschreibt eine vollständige Ergebnisfolge, zum Beispiel

$$RR,\quad RB,\quad BR,\quad BB.$$

21. Erste Pfadregel: Entlang eines Pfades multiplizieren

Die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades erhält man durch Multiplikation der Astwahrscheinlichkeiten.

$$\boxed{ P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast}) \cdot P(\text{2. Ast}) \cdot \dots }$$

Beispiel:

$$\begin{aligned} P(RB) &= P(R)\cdot P(B\text{ nach }R). \end{aligned}$$

22. Zweite Pfadregel: Günstige Pfade addieren

Kann ein Ereignis über mehrere verschiedene Pfade eintreten, werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.

$$\boxed{ P(E) = P(\text{Pfad 1}) + P(\text{Pfad 2}) + \dots }$$

Das Ereignis „genau einmal rot“ besteht bei zwei Ziehungen aus den Pfaden

$$RB$$

und

$$BR.$$

Daher:

$$P(\text{genau einmal rot}) = P(RB)+P(BR).$$

23. Ziehen mit Zurücklegen

Eine Urne enthält $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Es wird zweimal gezogen. Nach der ersten Ziehung wird die Kugel zurückgelegt.

Dadurch bleibt die Zusammensetzung der Urne unverändert.

In jeder Stufe gilt:

$$P(R)=\frac35$$

und

$$P(B)=\frac25.$$

Für zweimal rot:

$$\begin{aligned} P(RR) &= \frac35\cdot\frac35\\ &= \frac9{25}. \end{aligned}$$

Für genau einmal rot:

$$\begin{aligned} P(\text{genau einmal rot}) &= P(RB)+P(BR)\\ &= \frac35\cdot\frac25 + \frac25\cdot\frac35\\ &= \frac6{25}+\frac6{25}\\ &= \frac{12}{25}. \end{aligned}$$

24. Ziehen ohne Zurücklegen

Nun wird die zuerst gezogene Kugel nicht zurückgelegt.

Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch $4$ Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe ändern sich.

Nach einer roten Kugel gilt:

$$P(R\text{ in der 2. Stufe}\mid R\text{ in der 1. Stufe}) = \frac24.$$

Nach einer blauen Kugel gilt:

$$P(R\text{ in der 2. Stufe}\mid B\text{ in der 1. Stufe}) = \frac34.$$

Die Schreibweise beschreibt hier nur den jeweiligen Ast im Baumdiagramm. Die formale bedingte Wahrscheinlichkeit wird in diesem Thema noch nicht systematisch behandelt.

Für zweimal rot:

$$\begin{aligned} P(RR) &= \frac35\cdot\frac24\\ &= \frac6{20}\\ &= \frac3{10}. \end{aligned}$$

Für genau einmal rot:

$$\begin{aligned} P(\text{genau einmal rot}) &= P(RB)+P(BR)\\ &= \frac35\cdot\frac24 + \frac25\cdot\frac34\\ &= \frac6{20}+\frac6{20}\\ &= \frac{12}{20}\\ &= \frac35. \end{aligned}$$

25. Mit und ohne Zurücklegen vergleichen

Kontrollfrage: Wurde nach der ersten Ziehung die Kugel zurückgelegt?

26. Mindestens einmal mit dem Gegenereignis

Das Ereignis „mindestens einmal rot“ besitzt mehrere günstige Pfade.

Oft ist das Gegenereignis einfacher:

$$\overline E = \text{„keinmal rot“}.$$

Daher:

$$\boxed{ P(\text{mindestens einmal rot}) = 1-P(\text{keinmal rot}) }$$

Beim Ziehen mit Zurücklegen:

$$\begin{aligned} P(\text{mindestens einmal rot}) &= 1-P(BB)\\ &= 1-\frac25\cdot\frac25\\ &= 1-\frac4{25}\\ &= \frac{21}{25}. \end{aligned}$$

27. Baumdiagramm vollständig kontrollieren

Ein korrektes Baumdiagramm erfüllt mehrere Bedingungen:

1. Alle möglichen Ergebnisse jeder Stufe sind eingetragen.
2. Die ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten an jedem Knoten ergeben $1$.
3. Jeder vollständige Pfad beschreibt genau eine Ergebnisfolge.
4. Entlang eines Pfades wird multipliziert.
5. Verschiedene günstige Pfade werden addiert.
6. Mit und ohne Zurücklegen werden nicht verwechselt.
7. Die Summe aller vollständigen Pfadwahrscheinlichkeiten beträgt $1$.

28. Typische Fehler bei Baumdiagrammen

• Eine mögliche Verzweigung fehlt.
• Die Astwahrscheinlichkeiten an einem Knoten ergeben nicht $1$.
• Entlang eines Pfades wird addiert statt multipliziert.
• Verschiedene Pfade werden multipliziert statt addiert.
• $RB$ und $BR$ werden als derselbe Pfad behandelt.
• Ohne Zurücklegen bleibt der Nenner fälschlich unverändert.
• „Mindestens einmal“ wird mit „genau einmal“ verwechselt.
• Das Gegenereignis wird nicht vollständig formuliert.
• Die Wahrscheinlichkeit wird größer als $1$.
• Ein nicht gleich wahrscheinlicher Baum wird fälschlich mit „Passend durch Alle“ berechnet.

Erweiterte Zusammenfassung

Für mehrstufige Zufallsversuche gilt:

$$\boxed{ P(\text{Pfad}) = \text{Astwahrscheinlichkeiten multiplizieren} }$$ $$\boxed{ P(\text{Ereignis}) = \text{günstige Pfadwahrscheinlichkeiten addieren} }$$

Mit Zurücklegen bleiben die Astwahrscheinlichkeiten gleich. Ohne Zurücklegen ändern sie sich nach der ersten Ziehung.

Merksatz: Im Baum wird längs multipliziert und quer addiert.