Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt. Genau diese Entscheidung ist der wichtigste Schritt vor jeder Rechnung.

Zentrales Ziel: Erkennen, ob dieselbe Auswahl in anderer Reihenfolge wirklich neu ist. Nur bei einer Auswahl ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung passt der Binomialkoeffizient.

1. Die wichtigste Frage: Ist die Reihenfolge wichtig?

Bevor gerechnet wird, muss geklärt werden:

Ist dieselbe Auswahl in einer anderen Reihenfolge ein neuer Fall?

Reihenfolge unwichtig

Aus acht Personen wird eine Dreiergruppe ausgewählt.

Die Gruppe

$$\{A,B,C\}$$

ist dieselbe Gruppe wie

$$\{C,A,B\}.$$

Die Personen sind gleich, nur die Schreibreihenfolge ist anders.

Reihenfolge wichtig

Aus acht Personen werden Gold, Silber und Bronze vergeben.

$$(A,B,C)$$

bedeutet:

• A erhält Gold,
• B erhält Silber,
• C erhält Bronze.

Dagegen bedeutet

$$(C,A,B)$$

etwas anderes. Die Rollen sind anders verteilt.

Merksatz: Gruppe, Team oder Auswahl: Reihenfolge meist unwichtig. Platzierung, Sitzordnung oder verschiedene Rollen: Reihenfolge wichtig.

2. Grundidee des Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient zählt, wie viele verschiedene Auswahlen der Größe $k$ aus insgesamt $n$ verschiedenen Elementen gebildet werden können.

Dabei gilt:

• Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
• Jedes Element wird höchstens einmal ausgewählt.

Geschrieben wird:

$$\binom{n}{k}.$$

Gelesen wird:

„$n$ über $k$“

3. Bedeutung von n und k

$$n=\text{Anzahl aller verfügbaren Elemente}$$ $$k=\text{Anzahl der ausgewählten Elemente}$$

Beispiel:

Aus acht Personen werden drei Personen ausgewählt.

$$n=8, \qquad k=3.$$

Der Ansatz lautet:

$$\binom{8}{3}.$$

4. Wann passt der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient passt, wenn alle drei Fragen mit Ja beantwortet werden:

1. Werden $k$ Elemente aus insgesamt $n$ Elementen ausgewählt?
2. Spielt die Reihenfolge keine Rolle?
3. Wird kein Element mehrfach ausgewählt?

Typische passende Situationen:

• drei Personen für ein Team auswählen,
• vier Bücher aus zehn Büchern auswählen,
• sechs Zahlen aus $45$ Zahlen auswählen,
• fünf Aufgaben aus zwölf Aufgaben auswählen.

5. Wann passt er nicht?

Der Binomialkoeffizient passt nicht, wenn:

• die Reihenfolge wichtig ist,
• verschiedene Rollen vergeben werden,
• Elemente angeordnet werden,
• ein Element mehrfach ausgewählt werden darf.

Beispiele:

• Gold, Silber und Bronze vergeben,
• Vorsitz, Stellvertretung und Schriftführung besetzen,
• Bücher in eine bestimmte Reihenfolge stellen,
• einen Code bilden, bei dem Ziffern wiederholt werden dürfen.

6. Kleines Beispiel vollständig aufzählen

Aus vier Personen

$$\{A,B,C,D\}$$

werden zwei Personen ausgewählt.

Die verschiedenen Zweiergruppen sind:

$$\{A,B\},\quad \{A,C\},\quad \{A,D\},\quad \{B,C\},\quad \{B,D\},\quad \{C,D\}.$$

Es gibt also sechs Auswahlen:

$$\binom{4}{2}=6.$$

Die Reihenfolge wird nicht doppelt gezählt:

$$\{A,B\}=\{B,A\}.$$

7. Fakultät

Für die Berechnungsformel wird die Fakultät verwendet.

$$n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.$$

Beispiel:

$$5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.$$

Außerdem gilt:

$$0!=1.$$

8. Berechnungsformel

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Dabei muss der gesamte Ausdruck $n-k$ in der Fakultät stehen.

Beispiel:

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\cdot5!}.$$

Durch Kürzen:

$$\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} = 56.$$

9. Vollständiges Beispiel: Dreiergruppe aus acht Personen

Aufgabe:

Wie viele verschiedene Dreiergruppen können aus acht Personen gebildet werden?

Schritt 1: Reihenfolge prüfen

Eine Gruppe mit A, B und C bleibt dieselbe Gruppe, egal in welcher Reihenfolge die Namen notiert werden.

Die Reihenfolge ist daher unwichtig.

Schritt 2: n und k zuordnen

$$n=8, \qquad k=3.$$

Schritt 3: Ansatz

$$\binom{8}{3}.$$

Schritt 4: Berechnen

$$\binom{8}{3} = 56.$$

Schritt 5: Deuten

Aus acht Personen können $56$ verschiedene Dreiergruppen gebildet werden.

10. Am Taschenrechner: nCr

Auf dem Taschenrechner entspricht

$$\binom{n}{k}$$

der Funktion nCr.

Allgemeine Eingabe:

n  nCr  k  =

Beispiel:

8  nCr  3  =

Ergebnis:

$$56.$$

Wichtig: Zuerst $n$, dann nCr, dann $k$ eingeben.

Je nach Taschenrechner befindet sich nCr beispielsweise in einem Menü wie PROB, PRB, OPTN, CATALOG oder Kombinatorik.

11. nCr oder nPr?

nCr passt, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

nPr zählt geordnete Auswahlen. Es ist deshalb bei Gruppenaufgaben nicht passend.

Dreiergruppe aus acht Personen

8  nCr  3  = 56

Gold, Silber und Bronze aus acht Personen

Hier ist die Reihenfolge wichtig. nCr ist daher nicht passend.

Kontrollfrage: Würde eine andere Reihenfolge derselben Elemente einen neuen Fall erzeugen?

12. Warum wird durch k! geteilt?

Für drei ausgewählte Personen aus acht gibt es zunächst

$$8\cdot7\cdot6$$

geordnete Folgen.

Jede Dreiergruppe erscheint dabei in allen Reihenfolgen der drei Personen.

Für A, B und C sind das beispielsweise:

$$ABC,\quad ACB,\quad BAC,\quad BCA,\quad CAB,\quad CBA.$$

Das sind

$$3!=6$$

Reihenfolgen derselben Gruppe.

Deshalb wird durch $3!$ geteilt:

$$\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}=56.$$

13. Symmetrie

Es gilt:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$$

Beispiel:

$$\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = 56.$$

Begründung:

Drei Personen auszuwählen ist gleichbedeutend damit, fünf Personen nicht auszuwählen.

14. Randfälle

Niemand wird ausgewählt

$$\binom{n}{0}=1.$$

Es gibt genau eine Auswahl ohne Element: die leere Auswahl.

Alle werden ausgewählt

$$\binom{n}{n}=1.$$

Es gibt genau eine Möglichkeit, alle Elemente auszuwählen.

Genau eines wird ausgewählt

$$\binom{n}{1}=n.$$

15. Zulässige Werte

Für Auswahlaufgaben gilt:

$$n\in\mathbb N, \qquad k\in\mathbb N_0, \qquad 0\leq k\leq n.$$

Eine Aufgabe wie

$$\binom{5}{7}$$

ist in diesem Zusammenhang nicht möglich: Sieben verschiedene Elemente können nicht aus nur fünf Elementen ausgewählt werden.

16. Ergebnis richtig deuten

Der Binomialkoeffizient liefert eine Anzahl von Auswahlmöglichkeiten.

Beispiel:

$$\binom{10}{4}=210.$$

Passende Deutung:

Aus zehn Aufgaben können $210$ verschiedene Vierer-Auswahlen gebildet werden.

Nicht passend:

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $210$.

17. Typische Fehler

Reihenfolge nicht geprüft

Die häufigste Fehlerquelle ist, sofort eine Formel oder eine Taschenrechnerfunktion zu wählen.

n und k vertauscht

• $n$: alle verfügbaren Elemente,
• $k$: ausgewählte Elemente.

nCr und nPr verwechselt

Für ungeordnete Auswahlen wird nCr verwendet.

Binomialkoeffizient als Bruch gelesen

$$\binom{n}{k}$$

ist nicht der Bruch $\frac nk$.

Fakultätsklammer vergessen

Richtig:

$$\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Wiederholung übersehen

Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen ohne Wiederholung.

Ergebnis falsch gedeutet

Das Ergebnis ist eine Anzahl von Auswahlen.

18. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung.

• Die wichtigste Frage lautet: Erzeugt eine andere Reihenfolge einen neuen Fall?

• Es gilt:

  $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$