Eine Zufallsvariable ordnet den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zu. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt anschließend, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder mögliche Wert auftritt.

Zentrales Ziel: Ergebnis, Zufallsvariable und Wert sicher unterscheiden, eine diskrete Verteilung erstellen und lesen sowie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnen und im Kontext deuten.

1. Ergebnis, Zufallsvariable und Wert

Ein einzelnes Ergebnis eines Zufallsexperiments wird mit

$$\omega$$

bezeichnet.

Eine Zufallsvariable $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu:

$$X:\Omega\longrightarrow\mathbb R.$$

Der zugeordnete Zahlenwert heißt:

$$X(\omega).$$

Wichtig: $\omega$ ist ein Ergebnis. $X$ ist die Zuordnung. $X(\omega)$ ist der zugeordnete Zahlenwert.

2. Beispiel: zweimal Münze werfen

Eine faire Münze wird zweimal geworfen.

$$\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}.$$

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Köpfe.

$$X(KK)=2$$ $$X(KZ)=1$$ $$X(ZK)=1$$ $$X(ZZ)=0.$$

Die Ergebnisse $KZ$ und $ZK$ sind verschieden, liefern aber denselben Wert:

$$KZ\neq ZK, \qquad X(KZ)=X(ZK)=1.$$

3. Grundraum und Wertemenge

Der Grundraum enthält die Ergebnisse:

$$\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}.$$

Die Wertemenge enthält die möglichen Werte der Zufallsvariable:

$$W_X=\{0,1,2\}.$$

Merksatz: In $\Omega$ stehen Ergebnisse. In $W_X$ stehen Zahlenwerte.

4. Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt zu jedem möglichen Wert $x$ die Wahrscheinlichkeit

$$P(X=x)$$

an.

Beim zweimaligen Werfen einer fairen Münze:

Begründung:

• $X=0$ tritt beim Ergebnis $ZZ$ ein.
• $X=1$ tritt bei $KZ$ oder $ZK$ ein.

5. Eine Verteilung kontrollieren

Jede einzelne Wahrscheinlichkeit muss zwischen $0$ und $1$ liegen:

$$0\leq P(X=x)\leq1.$$

Alle Wahrscheinlichkeiten gemeinsam müssen $1$ ergeben:

$$P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_k)=1.$$

Beim Münzbeispiel:

$$\frac14+\frac24+\frac14=1.$$

Eine negative Wahrscheinlichkeit oder eine Gesamtsumme ungleich $1$ ist nicht zulässig.

6. Vorgehen beim Erstellen einer Verteilung

1. Grundraum $\Omega$ angeben.
2. Zufallsvariable $X$ definieren.
3. Für jedes Ergebnis $X(\omega)$ bestimmen.
4. Gleiche Werte zusammenfassen.
5. Zu jedem Wert die Wahrscheinlichkeit bestimmen.
6. Kontrollieren, ob alle Wahrscheinlichkeiten gemeinsam $1$ ergeben.

7. Weiteres Beispiel: Gewinn beim Würfeln

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt den Gewinn:

• Bei einer $6$ gilt $X=5$.
• Bei allen anderen Augenzahlen gilt $X=0$.

Damit:

$$W_X=\{0,5\}.$$

Die Verteilung lautet:

Fünf verschiedene Würfelergebnisse führen zum selben Wert $0$.

8. Diskretes Säulendiagramm

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung kann mit getrennten Säulen dargestellt werden.

• Waagerechte Achse: mögliche Werte $x$
• Senkrechte Achse: $P(X=x)$
• Säulenhöhe: Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Werts

Die Säulen stehen getrennt, weil nur einzelne Werte möglich sind.

9. Einzelwahrscheinlichkeiten lesen

Steht in einer Tabelle:

$$P(X=1)=0{,}4,$$

dann bedeutet das:

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $1$ annimmt, beträgt $0{,}4$.

Falsch wäre:

Die Zufallsvariable ist $0{,}4$.

Die Zahl $0{,}4$ ist eine Wahrscheinlichkeit und kein möglicher Wert von $X$.

10. Sprachliche Bedingungen mit Wertemengen

Es sei:

$$W_X=\{0,1,2,3\}.$$

Dann werden sprachliche Bedingungen immer gemeinsam mit der zugehörigen Wertemenge angegeben.

11. Wahrscheinlichkeiten von Wertebereichen

Es sei:

Für:

$$\{X\leq1\} = \text{„höchstens 1“} = \{0,1\}$$

gilt:

$$P(X\leq1) = P(X=0)+P(X=1) = 0{,}1+0{,}3 = 0{,}4.$$

Für:

$$\{X>1\} = \text{„mehr als 1“} = \{2,3\}$$

gilt:

$$P(X>1) = P(X=2)+P(X=3) = 0{,}4+0{,}2 = 0{,}6.$$

12. Gegenereignis bei Wertebereichen

Es sei:

$$A = \{X>1\} = \text{„mehr als 1“} = \{2,3\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\overline A = \{X\leq1\} = \text{„höchstens 1“} = \{0,1\}.$$

Damit:

$$P(X\leq1)=1-P(X>1).$$

Die sprachliche Verneinung und die Wertemenge werden immer gemeinsam angegeben.

13. Fehlende Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gegeben ist:

Alle Wahrscheinlichkeiten müssen gemeinsam $1$ ergeben:

$$0{,}25+p+0{,}35=1.$$ $$p=0{,}40.$$

Kontrolle:

$$0{,}25+0{,}40+0{,}35=1.$$

14. Erwartungswert

Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnitt der möglichen Werte.

$$E(X) = x_1\cdot P(X=x_1) + x_2\cdot P(X=x_2) + \dots + x_k\cdot P(X=x_k).$$

Jeder mögliche Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.

15. Erwartungswert berechnen

Gegeben ist:

Dann:

$$E(X) = 0\cdot0{,}25 + 1\cdot0{,}50 + 2\cdot0{,}25.$$ $$E(X)=1.$$

16. Erwartungswert richtig deuten

Eine Auszahlung beträgt:

• $0$ Euro mit Wahrscheinlichkeit $0{,}8$,
• $5$ Euro mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$.

Dann:

$$E(X) = 0\cdot0{,}8 + 5\cdot0{,}2 = 1.$$

Die Auszahlung $1$ Euro ist bei einem einzelnen Versuch gar nicht möglich.

Passende Deutung:

Bei sehr vielen Wiederholungen beträgt die durchschnittliche Auszahlung langfristig ungefähr $1$ Euro pro Versuch.

Falsch wäre:

Beim nächsten Versuch erhält man sicher $1$ Euro.

17. Einheit des Erwartungswerts

Besitzt die Zufallsvariable eine Einheit, besitzt auch der Erwartungswert dieselbe Einheit.

Beispiele:

• Gewinn in Euro
• Wartezeit in Minuten
• Anzahl Treffer
• Anzahl fehlerhafter Teile

Wahrscheinlichkeiten besitzen keine Einheit.

18. Erwartungswert kontrollieren

Bei einer endlichen Verteilung liegt der Erwartungswert zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert.

Für:

$$W_X=\{0,2,5\}$$

muss gelten:

$$0\leq E(X)\leq5.$$

Ein Erwartungswert von $7$ zeigt einen Rechen- oder Zuordnungsfehler.

19. Varianz

Der Erwartungswert beschreibt die langfristige Mitte einer Verteilung. Er sagt noch nicht, wie stark die möglichen Werte um diese Mitte streuen.

Die Varianz berücksichtigt deshalb die Abstände der möglichen Werte vom Erwartungswert:

$$\operatorname{Var}(X) = \sum_i \left(x_i-E(X)\right)^2\cdot P(X=x_i).$$

Das Vorgehen besteht aus vier Schritten:

1. Erwartungswert $E(X)$ berechnen.
2. Für jeden möglichen Wert die Abweichung $x_i-E(X)$ bestimmen.
3. Die Abweichungen quadrieren.
4. Die quadrierten Abweichungen mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gewichten und addieren.

Warum werden die Abweichungen quadriert? Positive und negative Abweichungen würden sich sonst gegenseitig aufheben. Durch das Quadrieren werden alle Beiträge nichtnegativ und große Abweichungen stärker gewichtet.

Eine oft nützliche gleichwertige Formel lautet:

$$\operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2.$$

Dabei ist

$$E(X^2) = \sum_i x_i^2\cdot P(X=x_i).$$

20. Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

$$\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}.$$

Sie beschreibt, wie stark die Werte typischerweise um den Erwartungswert streuen.

• Kleine Standardabweichung: Die Werte liegen eher nahe beim Erwartungswert.
• Große Standardabweichung: Die Werte liegen weiter auseinander.
• $\sigma(X)=0$: Die Zufallsvariable nimmt mit Wahrscheinlichkeit $1$ immer denselben Wert an.

Einheiten: Die Varianz besitzt die quadrierte Einheit der Zufallsvariable. Die Standardabweichung besitzt wieder dieselbe Einheit wie $X$ und ist deshalb meist leichter im Kontext zu deuten.

Beispiele:

• Gewinn $X$ in Euro
  $\operatorname{Var}(X)$ in $\text{Euro}^2$, $\sigma(X)$ in Euro
• Wartezeit in Minuten in , in Minuten

21. Varianz und Standardabweichung berechnen

Gegeben ist:

Zuerst wird der Erwartungswert berechnet:

$$E(X) = 0\cdot0{,}25 + 1\cdot0{,}50 + 2\cdot0{,}25 = 1.$$

Anschließend werden die quadrierten Abweichungen gewichtet:

Damit:

$$\operatorname{Var}(X) = 0{,}25+0+0{,}25 = 0{,}5.$$ $$\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71.$$

Passende Deutung:

Die Werte der Zufallsvariable liegen typischerweise ungefähr $0{,}71$ Einheiten vom Erwartungswert $1$ entfernt.

Die Formulierung „typischer Abstand“ ist eine Deutungshilfe. Sie bedeutet nicht, dass jeder einzelne Wert genau diesen Abstand besitzt.

22. Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung

Zwei Zufallsvariablen können denselben Erwartungswert, aber verschiedene Standardabweichungen besitzen.

Verteilung $A$:

Es gilt:

$$E(A)=1, \qquad \operatorname{Var}(A)=1, \qquad \sigma(A)=1.$$

Verteilung $B$:

Es gilt:

$$E(B)=1, \qquad \operatorname{Var}(B)=0{,}5, \qquad \sigma(B)\approx0{,}71.$$

Beide Verteilungen besitzen dieselbe langfristige Mitte. Bei $A$ liegen die möglichen Werte aber weiter vom Erwartungswert entfernt. Deshalb ist die Standardabweichung von $A$ größer.

Merksatz: Der Erwartungswert beschreibt die Lage der Verteilung. Varianz und Standardabweichung beschreiben ihre Streuung.

23. Varianz und Standardabweichung kontrollieren

Für jede diskrete Zufallsvariable gilt:

$$\operatorname{Var}(X)\geq0$$

und

$$\sigma(X)\geq0.$$

Eine negative Varianz oder Standardabweichung ist unmöglich.

Außerdem gilt:

$$\sigma(X)=0$$

genau dann, wenn die gesamte Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen Wert liegt.

Bei einer sinnvollen Rechnung werden außerdem Größenordnung und Einheit geprüft:

• Passt die Streuung zur Breite der möglichen Werte?
• Wurde bei der Varianz die Einheit quadriert?
• Wurde für die Standardabweichung die Quadratwurzel gezogen?
• Wurden alle möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt?

24. Typische Fehler

Ergebnis und Wert verwechselt

$\omega$ ist ein Ergebnis. $X(\omega)$ ist der zugeordnete Zahlenwert.

Grundraum und Wertemenge verwechselt

$\Omega$ enthält Ergebnisse. $W_X$ enthält mögliche Werte.

Gleiche Werte nicht zusammengefasst

Verschiedene Ergebnisse können denselben Wert von $X$ liefern.

Verteilung nicht kontrolliert

Alle Wahrscheinlichkeiten müssen zwischen $0$ und $1$ liegen und gemeinsam $1$ ergeben.

Bedingung ohne Wertemenge angegeben

Zu „höchstens $1$“ gehört bei $W_X=\{0,1,2,3\}$ die Wertemenge $\{0,1\}$.

Wert und Wahrscheinlichkeit verwechselt

Aus $P(X=2)=0{,}3$ folgt nicht $X=0{,}3$.

Erwartungswert als sicheres Ergebnis gedeutet

Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Durchschnitt.

Einheit vergessen

Ein erwarteter Gewinn wird in Euro angegeben.

Abweichungen nicht quadriert

Ohne Quadrieren können sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben.

Wahrscheinlichkeiten beim Streuen vergessen

Jede quadrierte Abweichung muss mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet werden.

Varianz und Standardabweichung verwechselt

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Einheit der Varianz falsch angegeben

Die Varianz besitzt die quadrierte Einheit. Erst die Standardabweichung besitzt wieder die ursprüngliche Einheit.

Gleicher Erwartungswert mit gleicher Verteilung verwechselt

Zwei Verteilungen können denselben Erwartungswert, aber sehr unterschiedliche Streuungen besitzen.

25. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• Eine Zufallsvariable ordnet Ergebnissen Zahlen zu.
• Mehrere Ergebnisse können denselben Wert liefern.
• $\Omega$ enthält Ergebnisse, $W_X$ enthält Zahlenwerte.
• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Wert $x$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ zu.