Eine Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Treffer in einer festen Zahl gleichartiger, unabhängiger Versuche. Der wichtigste Schritt ist nicht das Einsetzen, sondern das Verstehen der Formelbestandteile.

Zentraler Gedanke: Die Binomialverteilung beschreibt nicht nur einzelne Trefferwahrscheinlichkeiten. Aus $n$ und $p$ lassen sich auch die langfristige Lage und die Streuung der Trefferanzahl unmittelbar bestimmen.

1. Wann liegt ein Binomialmodell vor?

Eine Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind:

1. Das Experiment wird genau $n$-mal durchgeführt.
2. Jeder Versuch besitzt genau zwei relevante Ergebnisse: Treffer oder kein Treffer.
3. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt in jedem Versuch gleich.
4. Die Versuche beeinflussen einander nicht.

Dann schreibt man:

$$X\sim B(n,p).$$

Dabei zählt $X$ die Anzahl der Treffer.

2. Bedeutung von $n$, $p$, $k$ und $n-k$

Beispiel: Eine Maschine produziert fünf Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ fehlerhaft. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

$$n=5, \qquad p=0{,}2.$$

Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für genau zwei fehlerhafte Teile:

$$k=2, \qquad n-k=5-2=3.$$

3. Die Binomialformel als Gesamtbild

$$P(X=k) = \underbrace{\binom{n}{k}}_{\text{Anzahl der Anordnungen}} \cdot \underbrace{p^k}_{\text{Wahrscheinlichkeit der Treffer}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{\text{Wahrscheinlichkeit der Nichttreffer}}.$$

Die Formel besteht aus drei Faktoren. Jeder Faktor beantwortet eine eigene Frage:

4. Linke Seite: $P(X=k)$

$$P(X=k)$$

bedeutet:

Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer.

Beispiel:

$$P(X=2)$$

ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer. Nicht gemeint sind höchstens zwei oder mindestens zwei Treffer.

5. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$

$$\binom{n}{k}$$

zählt, auf wie viele Arten die $k$ Treffer auf die $n$ Versuche verteilt werden können.

Bei fünf Versuchen und genau zwei Treffern sind beispielsweise möglich:

$$TTNNN, \quad TNTNN, \quad TNNTN, \quad TNNNT, \quad NTTNN$$

und weitere Anordnungen.

Insgesamt gilt:

$$\binom{5}{2}=10.$$

Am Taschenrechner:

5  nCr  2  =

6. Der Faktor $p^k$

$$p^k$$

beschreibt die Wahrscheinlichkeit der $k$ Treffer.

Bei:

$$p=0{,}2, \qquad k=2$$

gilt:

$$p^k = 0{,}2^2 = 0{,}2\cdot0{,}2.$$

7. Der Faktor $(1-p)^{n-k}$

$$1-p$$

ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

Bei $p=0{,}2$ gilt:

$$1-p=0{,}8.$$

Bei fünf Versuchen und genau zwei Treffern bleiben:

$$n-k=5-2=3$$

Nichttreffer. Daher:

$$(1-p)^{n-k} = 0{,}8^3 = 0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8.$$

8. Wahrscheinlichkeit einer festen Trefferfolge

Betrachte zunächst nur die feste Reihenfolge:

$$TTNNN.$$

Ihre Wahrscheinlichkeit beträgt:

$$0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8.$$

Zusammengefasst:

$$0{,}2^2\cdot0{,}8^3.$$

Diese Rechnung beschreibt nur eine bestimmte Anordnung der Treffer.

9. Warum alle drei Faktoren multipliziert werden

Die feste Folge $TTNNN$ ist nur eine der möglichen Anordnungen. Insgesamt gibt es:

$$\binom{5}{2}=10$$

Anordnungen mit genau zwei Treffern.

Daher:

$$P(X=2) = \underbrace{\binom{5}{2}}_{10\text{ Anordnungen}} \cdot \underbrace{0{,}2^2}_{2\text{ Treffer}} \cdot \underbrace{0{,}8^3}_{3\text{ Nichttreffer}}.$$

In Worten:

Wahrscheinlichkeit einer festen Folge mal Anzahl aller passenden Anordnungen.

10. Vollständiges Beispiel

Eine Maschine produziert fünf Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ fehlerhaft. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

Gesucht:

$$P(X=2).$$

Zuordnung:

$$n=5, \qquad p=0{,}2, \qquad k=2, \qquad n-k=3.$$

Ansatz:

$$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^3.$$

Berechnung:

$$P(X=2) = 10\cdot0{,}04\cdot0{,}512 = 0{,}2048.$$

In Prozent:

$$P(X=2)=20{,}48\,\%.$$

Deutung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der fünf Teile fehlerhaft sind, beträgt $20{,}48\,\%$.

11. Faktor-für-Faktor-Kontrolle

Vor dem Rechnen wird geprüft:

12. Typischer Fehler: $p$ und $1-p$ vertauschen

Ist „Treffer“ als fehlerhaftes Teil definiert und gilt:

$$p=0{,}2,$$

dann ist:

$$1-p=0{,}8$$

die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Teil.

Vor jeder Rechnung wird notiert:

$$\text{Treffer: fehlerhaft}$$ $$\text{kein Treffer: fehlerfrei}.$$

13. Typischer Fehler: Exponenten vertauschen

Für genau $k$ Treffer gilt:

$$p^k.$$

Für die verbleibenden $n-k$ Nichttreffer gilt:

$$(1-p)^{n-k}.$$

Die Exponenten müssen gemeinsam wieder $n$ ergeben:

$$k+(n-k)=n.$$

14. Randfälle

Kein Treffer

Für $k=0$ gilt:

$$P(X=0) = \binom{n}{0}\cdot p^0\cdot(1-p)^n.$$

Da $\binom{n}{0}=1$ und $p^0=1$, folgt:

$$P(X=0)=(1-p)^n.$$

Nur Treffer

Für $k=n$ gilt:

$$P(X=n)=p^n.$$

15. Taschenrechner: Einzelwahrscheinlichkeit

Je nach Modell heißt die direkte Funktion beispielsweise:

binompdf

oder:

Binomial PD

Die Eingabereihenfolge ist meist:

n, p, k

Beispiel:

binompdf(5, 0.2, 2)

Ergebnis:

$$0{,}2048.$$

Die genaue Tastenfolge hängt vom Taschenrechnermodell ab. Ansatz und Bedeutung der Größen werden trotzdem immer notiert.

16. Genau, höchstens und mindestens

Genau $k$

$$P(X=k).$$

Wertemenge:

$$\{k\}.$$

Höchstens $k$

„Höchstens $k$“ bedeutet:

$$X\leq k.$$

Wertemenge:

$$\{0,1,2,\dots,k\}.$$

Daher:

$$P(X\leq k) = P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=k).$$

Mindestens $k$

„Mindestens $k$“ bedeutet:

$$X\geq k.$$

Wertemenge:

$$\{k,k+1,\dots,n\}.$$

17. Mehr als und weniger als

Mehr als $k$

$$X>k.$$

Wertemenge:

$$\{k+1,k+2,\dots,n\}.$$

Weniger als $k$

$$X<k.$$

Wertemenge:

$$\{0,1,2,\dots,k-1\}.$$

Die sprachliche Bedingung wird immer gemeinsam mit der vollständigen Wertemenge angegeben.

18. Gegenwahrscheinlichkeit

„Mindestens ein Treffer“ bedeutet:

$$\{X\geq1\} = \{1,2,\dots,n\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\{X=0\} = \{0\}.$$

Daher:

$$P(X\geq1) = 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n.$$

19. Intervallwahrscheinlichkeit

„Mindestens $a$, aber höchstens $b$“ bedeutet:

$$a\leq X\leq b.$$

Wertemenge:

$$\{a,a+1,\dots,b\}.$$

Dann:

$$P(a\leq X\leq b) = P(X=a)+P(X=a+1)+\dots+P(X=b).$$

20. Säulendiagramm lesen

Ein Säulendiagramm der Binomialverteilung zeigt:

• waagerecht die Trefferanzahl $k$,
• senkrecht die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$.

Eine Säule beantwortet eine Frage der Form:

$$P(X=k).$$

Ein Bereich wie $P(X\leq2)$ umfasst mehrere Säulen.

21. Erwartungswert der Binomialverteilung

Für

$$X\sim B(n,p)$$

gilt:

$$E(X)=n\cdot p.$$

Der Erwartungswert gibt die langfristig durchschnittliche Trefferanzahl an.

Beispiel: Bei $n=50$ unabhängigen Versuchen mit $p=0{,}2$ gilt

$$E(X)=50\cdot0{,}2=10.$$

Passende Deutung:

Bei sehr vielen gleichartigen Wiederholungen sind durchschnittlich etwa $10$ Treffer pro Serie mit $50$ Versuchen zu erwarten.

Der Erwartungswert ist keine Garantie für eine einzelne Serie. Außerdem muss $E(X)$ keine ganze Zahl sein, obwohl $X$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

Beispiel:

$$X\sim B(12,0{,}3)$$

liefert

$$E(X)=12\cdot0{,}3=3{,}6.$$

Das bedeutet nicht, dass $3{,}6$ Treffer auftreten können. Es ist der langfristige Durchschnitt.

22. Varianz der Binomialverteilung

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt:

$$\operatorname{Var}(X) = n\cdot p\cdot(1-p).$$

Die Varianz beschreibt die Streuung der Trefferanzahl um den Erwartungswert.

Die drei Faktoren haben eine klare Bedeutung:

$$\underbrace{n}_{\text{Versuchszahl}} \cdot \underbrace{p}_{\text{Trefferwahrscheinlichkeit}} \cdot \underbrace{(1-p)}_{\text{Nichttrefferwahrscheinlichkeit}}.$$

Für $p=0$ oder $p=1$ ist die Trefferanzahl sicher festgelegt. Dann gilt:

$$\operatorname{Var}(X)=0.$$

Bei festem $n$ ist die Varianz für $p=0{,}5$ am größten. Je näher $p$ bei $0$ oder $1$ liegt, desto kleiner wird die Streuung.

23. Standardabweichung der Binomialverteilung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

$$\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}.$$

Sie beschreibt die typische Streuung der Trefferanzahl um den Erwartungswert und besitzt dieselbe Einheit wie $X$.

Da $X$ eine Trefferanzahl ist, wird $\sigma(X)$ ebenfalls in Treffern angegeben. Die Varianz besitzt entsprechend die Einheit $\text{Treffer}^2$.

Wichtig: Die Standardabweichung ist nicht $n\cdot p\cdot(1-p)$, sondern die Quadratwurzel dieses Ausdrucks.

24. Vollständiges Beispiel zu Lage und Streuung

Eine Maschine produziert Teile. Jedes Teil ist mit Wahrscheinlichkeit $p=0{,}04$ fehlerhaft. Es werden $n=200$ Teile unabhängig betrachtet. $X$ zählt die fehlerhaften Teile.

Damit:

$$X\sim B(200,0{,}04).$$

Erwartungswert:

$$E(X) = 200\cdot0{,}04 = 8.$$

Varianz:

$$\operatorname{Var}(X) = 200\cdot0{,}04\cdot0{,}96 = 7{,}68.$$

Standardabweichung:

$$\sigma(X) = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}77.$$

Sachgerechte Deutung:

Langfristig sind durchschnittlich $8$ fehlerhafte Teile pro Gruppe von $200$ Teilen zu erwarten. Die Trefferanzahl streut typischerweise um ungefähr $2{,}77$ fehlerhafte Teile um diesen Erwartungswert.

Die Standardabweichung liefert keine Garantie, dass jede beobachtete Trefferanzahl höchstens $2{,}77$ vom Erwartungswert entfernt ist.

25. Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung

Zwei Binomialverteilungen können denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Varianzen und Standardabweichungen besitzen.

Verteilung $A$:

$$X_A\sim B(20,0{,}5)$$ $$E(X_A)=10, \qquad \operatorname{Var}(X_A)=5, \qquad \sigma(X_A)\approx2{,}24.$$

Verteilung $B$:

$$X_B\sim B(40,0{,}25)$$ $$E(X_B)=10, \qquad \operatorname{Var}(X_B)=7{,}5, \qquad \sigma(X_B)\approx2{,}74.$$

Beide Verteilungen besitzen dieselbe langfristig durchschnittliche Trefferanzahl. Die Trefferanzahlen von $X_B$ streuen jedoch stärker um $10$.

Merksatz: $E(X)$ beschreibt die Lage. $\operatorname{Var}(X)$ und $\sigma(X)$ beschreiben die Streuung.

26. Plausibilitätskontrollen

• $0\leq P(X=k)\leq1$
• $0\leq k\leq n$
• $$

27. Arbeitsablauf

Zusammenfassung

• $P(X=k)$ bedeutet genau $k$ Treffer.
• $\binom{n}{k}$ zählt die möglichen Trefferanordnungen.