Binomialmodelle erkennen

Kompetenzcode: WS 3.3
Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit der Binomialverteilung modelliert werden kann.

Leitfrage: Zählt eine Zufallsvariable die Treffer in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit?

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1. Die Grundidee

Ein Binomialmodell beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl gleichartiger Zufallsversuche.

Dazu wird zuerst festgelegt:

• Was ist ein einzelner Versuch?
• Was gilt als Treffer?
• Was gilt als Nichttreffer?
• Wie viele Versuche werden durchgeführt?

Erst danach werden die vier Modellbedingungen geprüft.

Abgrenzung: In WS 3.3 wird entschieden und begründet, ob ein Binomialmodell passt. Das Berechnen von Binomialwahrscheinlichkeiten und Kennwerten gehört zu WS 3.2. Die Normalapproximation gehört zu WS 3.4.

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2. Treffer und Nichttreffer

Für die betrachtete Fragestellung muss jeder einzelne Versuch genau einer von zwei Kategorien zugeordnet werden können:

• Treffer
• Nichttreffer

Der ursprüngliche Versuch darf trotzdem mehr als zwei mögliche Ergebnisse haben.

Beispiel: Würfel

Ein Würfel besitzt sechs mögliche Augenzahlen. Wird gezählt, wie oft eine gerade Zahl fällt, gilt:

• Treffer: gerade Augenzahl
• Nichttreffer: ungerade Augenzahl

Damit hat der Würfel zwar sechs mögliche Ergebnisse, für die Fragestellung aber nur zwei relevante Ausgänge.

Merke: Entscheidend ist nicht die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, sondern die eindeutige Einteilung in Treffer und Nichttreffer.

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3. Die vier Bedingungen

Ein Binomialmodell ist nur dann passend, wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind.

Fehlt auch nur eine Bedingung, liegt kein exaktes Binomialmodell vor.

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4. Die Modellschreibweise

Sind alle vier Bedingungen erfüllt und zählt $X$ die Anzahl der Treffer, schreibt man:

$$X \sim B(n,p)$$

Dabei bedeutet:

• $X$: Anzahl der Treffer
• $n$: feste Anzahl der Versuche
• $p$: Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch

Die Schreibweise beschreibt das Modell. In WS 3.3 wird damit noch keine Wahrscheinlichkeit berechnet.

Beispiel

Ein fairer Würfel wird zwölfmal geworfen. $X$ zählt die Sechsen.

• ein Versuch: einmal würfeln
• Treffer: eine Sechs
• Nichttreffer: keine Sechs
• feste Versuchszahl: $n=12$
• konstante Trefferwahrscheinlichkeit: $p=\frac16$
• unabhängige Würfe

Daher kann das Modell durch

$$X \sim B\left(12,\frac16\right)$$

beschrieben werden.

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5. Konstantes $p$ und Unabhängigkeit

Diese beiden Bedingungen werden oft verwechselt.

Konstantes $p$

Die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Versuch gleich sein.

Gegenbeispiel: Zehn unterschiedlich geübte Personen werfen je einmal auf einen Basketballkorb. Ohne zusätzliche Modellannahme haben sie nicht dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit.

Unabhängigkeit

Ein Ergebnis darf die Bedingungen der folgenden Versuche nicht verändern.

Gegenbeispiel: Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert jede gezogene Kugel die Zusammensetzung der Urne. Dadurch hängen die Ziehungen voneinander ab.

Wichtig: Bei einem Binomialmodell müssen konstantes $p$ und Unabhängigkeit getrennt geprüft und begründet werden.

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6. Sichere Vorgehensweise

Prüfe jede Situation in derselben Reihenfolge.

Schritt 1: Einzelversuch bestimmen

Was wird genau einmal durchgeführt?

Schritt 2: Treffer festlegen

Was zählt als Treffer? Was ist der Nichttreffer?

Schritt 3: Versuchszahl prüfen

Ist die Anzahl $n$ von Anfang an festgelegt?

Schritt 4: Trefferwahrscheinlichkeit prüfen

Bleibt $p$ bei jedem Versuch gleich?

Schritt 5: Unabhängigkeit prüfen

Verändert ein Ergebnis die folgenden Versuche oder deren Bedingungen?

Schritt 6: Urteil formulieren

Nenne alle erfüllten Bedingungen oder die konkret verletzte Bedingung.

Passendes Modell:

Die Versuchszahl ist fest. In jedem Versuch wird zwischen Treffer und Nichttreffer unterschieden. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich, und die Versuche sind unabhängig. Daher kann die Trefferanzahl binomialverteilt modelliert werden.

Unpassendes Modell:

Die Situation kann nicht durch ein Binomialmodell beschrieben werden, weil die Bedingung „...“ nicht erfüllt ist. Das erkennt man daran, dass ...

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7. Typische Situationen

Ziehen mit Zurücklegen

In einer Urne liegen drei rote und sieben blaue Kugeln. Es wird zwanzigmal gezogen, zurückgelegt und neu gemischt. $X$ zählt die roten Kugeln.

• feste Versuchszahl
• Rot oder nicht Rot
• durch Zurücklegen gleichbleibendes $p$
• unabhängige Ziehungen

Urteil: Binomialmodell passend.

Ziehen ohne Zurücklegen

Aus derselben Urne werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

• feste Versuchszahl
• Rot oder nicht Rot
• Zusammensetzung der Urne verändert sich
• Trefferwahrscheinlichkeit verändert sich
• Ziehungen sind abhängig

Urteil: Kein exaktes Binomialmodell.

Werfen bis zum ersten Treffer

Ein Würfel wird geworfen, bis erstmals eine Sechs fällt.

• Treffer und Nichttreffer sind festgelegt
• $p$ bleibt gleich
• Würfe sind unabhängig
• Anzahl der Würfe ist nicht vorher festgelegt

Urteil: Kein Binomialmodell.

Eine andere Größe wird betrachtet

Ein Würfel wird zwanzigmal geworfen und die Summe aller Augenzahlen wird bestimmt.

Hier wird keine Trefferanzahl gezählt.

Urteil: Kein Binomialmodell für die betrachtete Zufallsvariable.

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8. Typische Fehler

Fehler 1: „Zwei Ausgänge reichen aus.“

Treffer und Nichttreffer sind nur eine von vier Bedingungen.

Fehler 2: „Ein Würfel hat sechs Ausgänge, also geht es nicht.“

Die sechs Augenzahlen können passend in Treffer und Nichttreffer eingeteilt werden.

Fehler 3: „Ohne Zurücklegen ist trotzdem unabhängig.“

Ohne Zurücklegen verändert sich die Grundgesamtheit und damit meist auch die Trefferwahrscheinlichkeit.

Fehler 4: „Die Versuche laufen bis zum Treffer, also ist $n$ bekannt.“

Bei „bis zum ersten Treffer“ steht die Zahl der Versuche gerade nicht vorher fest.

Fehler 5: „$X \sim B(n,p)$ ist schon eine Begründung.“

Die Schreibweise darf erst nach der Prüfung aller vier Bedingungen verwendet werden.

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9. Mini-Check

Entscheide jeweils, ob ein Binomialmodell passt.

1. Eine faire Münze wird fünfzehnmal geworfen. $X$ zählt Kopf.
2. Vier Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. $X$ zählt die Asse.
3. Zwanzig gleichartige Bauteile werden unabhängig geprüft. Jedes ist mit derselben Wahrscheinlichkeit fehlerhaft.
4. Ein Würfel wird geworfen, bis drei Sechsen gefallen sind.
5. Zehn verschieden schwierige Fragen werden beantwortet. $X$ zählt die richtigen Antworten.

Lösungen

1. Ja: feste Versuchszahl, zwei relevante Ausgänge, konstantes $p$, unabhängige Würfe.
2. Nein: Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten und die Ziehungen sind abhängig.
3. Ja: unter den genannten Modellannahmen sind alle vier Bedingungen erfüllt.
4. Nein: Die Versuchszahl ist nicht vorher festgelegt.
5. Im Allgemeinen nein: Bei verschieden schwierigen Fragen ist ein konstantes $p$ nicht begründet.

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10. Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Binomialmodell passt nur, wenn alle vier Fragen mit Ja beantwortet werden:

1. Ist die Anzahl der Versuche vorher festgelegt?
2. Gibt es Treffer und Nichttreffer?
3. Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit gleich?
4. Sind die Versuche unabhängig?

Merksatz: festes $n$ - Treffer/Nichttreffer - konstantes $p$ - Unabhängigkeit