Normalapproximation der Binomialverteilung

Kompetenzcode: WS 3.4
Bereich: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Die Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können.

Leitidee: Eine Binomialverteilung besteht aus einzelnen Balken bei ganzzahligen Trefferzahlen. Sind die Balken hinreichend gleichmäßig und glockenförmig verteilt, kann ihre Gesamtform durch eine Normalverteilung angenähert werden.

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1. Worum es in WS 3.4 geht

Ausgangspunkt ist eine bereits bekannte Binomialverteilung

$$X\sim B(n,p).$$

In WS 3.4 wird nicht mehr geprüft, ob überhaupt ein Binomialmodell vorliegt. Das gehört zu WS 3.3. Auch die exakte Berechnung mit der Binomialverteilung gehört zu WS 3.2.

Hier wird untersucht, ob die diskrete Zufallsvariable $X$ näherungsweise durch eine stetige normalverteilte Zufallsvariable $Y$ ersetzt werden kann:

$$Y\sim N(\mu;\sigma^2).$$

Dabei übernimmt die Normalverteilung dieselbe Lage und dieselbe Streuung wie die Binomialverteilung:

$$\mu=np \qquad\text{und}\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)}.$$

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2. Wann ist die Approximation zulässig?

Die Normalapproximation funktioniert gut, wenn die Binomialverteilung nicht zu stark schief ist und genügend breit streut.

Im Lerncoach verwenden wir die Faustregel

$$\sigma\geq 3.$$

Da

$$\sigma=\sqrt{np(1-p)},$$

ist das gleichbedeutend mit

$$np(1-p)\geq 9.$$

Beispiel

Für

$$X\sim B(200;0{,}4)$$

gilt:

$$np(1-p)=200\cdot0{,}4\cdot0{,}6=48.$$

Damit ist die Faustregel erfüllt. Die Normalapproximation ist gut anwendbar.

Wichtig: Die Faustregel garantiert keine vollkommen exakte Übereinstimmung. Sie zeigt, dass eine brauchbare Näherung zu erwarten ist.

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3. Die passende Normalverteilung bestimmen

Für

$$X\sim B(n,p)$$

wird die Näherungsverteilung

$$Y\sim N\!\left(np;\,np(1-p)\right)$$

verwendet.

Dabei ist

• $\mu=np$ der Erwartungswert,
• $\sigma^2=np(1-p)$ die Varianz,
• $\sigma$ die Standardabweichung.

Beispiel

Für

$$X\sim B(200;0{,}4)$$

erhält man:

$$\mu=200\cdot0{,}4=80,$$ $$\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}4\cdot0{,}6} =\sqrt{48} \approx 6{,}93.$$

Die Näherungsverteilung lautet daher:

$$Y\sim N(80;48).$$

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4. Warum braucht man die Stetigkeitskorrektur?

Die Binomialverteilung ist diskret: $X$ kann nur ganze Trefferzahlen annehmen.

Die Normalverteilung ist stetig: $Y$ kann jeden reellen Wert annehmen.

Der einzelne Binomialwert $X=k$ wird deshalb nicht durch einen einzelnen Punkt ersetzt, sondern durch ein Intervall der Breite $1$:

$$X=k \quad\longleftrightarrow\quad k-0{,}5\leq Y\leq k+0{,}5.$$

Diese Verschiebung der Grenzen um $0{,}5$ heißt Stetigkeitskorrektur.

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5. Die wichtigsten Übersetzungen

Merksatz: Eine eingeschlossene ganze Zahl erhält nach außen eine halbe Einheit Platz.

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6. Vollständiges Beispiel: höchstens

Gegeben ist

$$X\sim B(200;0{,}4).$$

Gesucht wird

$$P(X\leq 90).$$

Schritt 1: Faustregel prüfen

$$np(1-p)=48\geq 9.$$

Die Normalapproximation ist geeignet.

Schritt 2: Parameter bestimmen

$$\mu=80, \qquad \sigma=\sqrt{48}\approx6{,}93.$$

Schritt 3: Stetigkeitskorrektur

„Höchstens $90$“ bedeutet:

$$P(X\leq90) \approx P(Y\leq90{,}5).$$

Schritt 4: Standardisieren

$$z= \frac{90{,}5-80}{\sqrt{48}} \approx1{,}52.$$

Damit:

$$P(X\leq90) \approx P(Z\leq1{,}52) \approx0{,}935.$$

Deutung

Mit der Normalapproximation beträgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens $90$ Treffer ungefähr

$$93{,}5\,\%.$$

Das Zeichen $\approx$ ist wichtig, weil nicht die exakte Binomialwahrscheinlichkeit berechnet wurde.

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7. Taschenrechner sinnvoll verwenden

Zuerst werden immer Modell, Faustregel, Parameter und korrigierte Grenze notiert.

Für das vorherige Beispiel kann ein Taschenrechnerbefehl etwa so aussehen:

normalcdf(-1E99, 90.5, 80, sqrt(48))

Das ergibt ungefähr

0.9352

Je nach Gerät kann der Befehl anders heißen. Entscheidend bleiben die mathematischen Eingaben:

• untere Grenze: praktisch $-\infty$,
• obere Grenze: $90{,}5$,
• Mittelwert: $80$,
• Standardabweichung: $\sqrt{48}$.

Der Taschenrechner ersetzt nicht die Stetigkeitskorrektur. Eine falsche Grenze liefert auch mit korrekter Bedienung ein falsches Modell.

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8. Weitere Ereignisse sicher behandeln

Genau $k$

$$P(X=k) \approx P(k-0{,}5\leq Y\leq k+0{,}5).$$

Mindestens $k$

$$P(X\geq k) \approx P(Y\geq k-0{,}5).$$

Zwischen $a$ und $b$ einschließlich

$$P(a\leq X\leq b) \approx P(a-0{,}5\leq Y\leq b+0{,}5).$$

Bei einem Intervall werden also beide Außengrenzen jeweils um $0{,}5$ erweitert.

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9. Typische Fehler

Fehler 1: Faustregel nicht prüfen

Eine Normalverteilung wird verwendet, obwohl die Binomialverteilung stark schief oder sehr schmal ist.

Abhilfe: Immer zuerst $np(1-p)\geq9$ prüfen.

Fehler 2: Standardabweichung und Varianz verwechseln

In die Normalverteilungsfunktion wird häufig $\sigma$ benötigt, nicht $\sigma^2$.

Abhilfe: Zwischen

$$\sigma^2=np(1-p)$$

und

$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$$

klar unterscheiden.

Fehler 3: Stetigkeitskorrektur vergessen

Für $P(X\leq90)$ wird fälschlich $90$ statt $90{,}5$ verwendet.

Abhilfe: Das Ereignis zuerst sprachlich lesen und danach die Grenze korrigieren.

Fehler 4: Strenge und nicht strenge Ungleichungen verwechseln

$X<k$ und $X\leq k$ führen zu unterschiedlichen Grenzen.

Fehler 5: Näherung als exaktes Ergebnis ausgeben

Abhilfe: Das Zeichen $\approx$ verwenden und das Ergebnis als Näherung bezeichnen.

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10. Sichere Vorgehensweise

1. Binomialverteilung $X\sim B(n,p)$ notieren.
2. Faustregel $np(1-p)\geq9$ prüfen.
3. $\mu=np$ und berechnen.

Kern der Kompetenz: Nicht nur eine Normalverteilung verwenden, sondern begründen, warum sie passt und welche Grenzen verwendet werden müssen.

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11. Das Wichtigste auf einen Blick

Für

$$X\sim B(n,p)$$

gilt bei erfüllter Faustregel

$$np(1-p)\geq9:$$ $$X \quad\text{wird angenähert durch}\quad Y\sim N\!\left(np;\,np(1-p)\right).$$

Dabei werden die Grenzen wegen des Übergangs von diskret zu stetig um $0{,}5$ korrigiert.

Kurzschema:

$$\text{Faustregel} \rightarrow \mu,\sigma \rightarrow \text{Stetigkeitskorrektur} \rightarrow \text{Normalwahrscheinlichkeit} \rightarrow \text{Deutung}.$$