Messwerte und Fehlerrechnung

Kompetenzcode: MG 3.5

Messungen sind in der Realität fast nie vollkommen exakt.

Ein Lineal hat nur eine bestimmte Teilung.

Ein Thermometer besitzt nur eine bestimmte Genauigkeit.

Auch gerundete oder näherungsweise berechnete Werte können von einem genaueren Referenzwert abweichen.

Deshalb ist es wichtig, nicht nur einen Messwert anzugeben, sondern auch beurteilen zu können, wie groß seine Abweichung ist.

In diesem Kapitel lernst du,

• was ein Referenzwert und ein Messwert sind,
• wie du den absoluten Fehler berechnest,
• wie du den absoluten Fehler im Sachzusammenhang deutest,
• wie du den relativen Fehler berechnest,
• wie du einen relativen Fehler als Prozentwert interpretierst,
• warum derselbe absolute Fehler je nach Größenordnung unterschiedlich bedeutsam sein kann.

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1. Messwert und Referenzwert

Wir unterscheiden zwei Werte.

Der Referenzwert ist der Wert, mit dem verglichen wird.

Wir bezeichnen ihn zum Beispiel mit

$$x_{\mathrm{ref}}.$$

Der Messwert oder Näherungswert ist der beobachtete beziehungsweise ermittelte Wert.

Wir schreiben zum Beispiel

$$x_{\mathrm{m}}.$$

Angenommen, eine Länge beträgt tatsächlich beziehungsweise laut genauer Referenzmessung

$$x_{\mathrm{ref}}=50{,}0\,\mathrm{cm}.$$

Mit einem anderen Messgerät erhält man

$$x_{\mathrm{m}}=49{,}6\,\mathrm{cm}.$$

Die beiden Werte unterscheiden sich um

$$0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Diese Abweichung ist der absolute Fehler.

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2. Der absolute Fehler

Der absolute Fehler beschreibt, wie weit Messwert und Referenzwert voneinander entfernt sind.

Wir schreiben:

$$\boxed{ \Delta x = \left| x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}} \right| }$$

Die Betragsstriche sorgen dafür, dass der Fehler nicht negativ wird.

Ein Fehler ist hier eine Größe der Abweichung.

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3. Absoluten Fehler berechnen

Gegeben sind

$$x_{\mathrm{ref}}=50{,}0\,\mathrm{cm}$$

und

$$x_{\mathrm{m}}=49{,}6\,\mathrm{cm}.$$

Wir setzen ein:

$$\Delta x = |49{,}6-50{,}0|\,\mathrm{cm}.$$

Zuerst die Differenz:

$$49{,}6-50{,}0=-0{,}4.$$

Dann der Betrag:

$$|-0{,}4|=0{,}4.$$

Damit:

$$\boxed{ \Delta x=0{,}4\,\mathrm{cm} }$$

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4. Warum verwenden wir einen Betrag?

Betrachten wir zwei Messungen.

Messung A

$$x_{\mathrm{m}}=49{,}6\,\mathrm{cm}$$

bei

$$x_{\mathrm{ref}}=50{,}0\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}} = -0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Messung B

$$x_{\mathrm{m}}=50{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}} = 0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Beide Messungen liegen gleich weit vom Referenzwert entfernt.

Darum ist in beiden Fällen der absolute Fehler

$$\Delta x=0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Merke:
Der absolute Fehler beschreibt die Größe der Abweichung, nicht ihre Richtung.

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5. Die Einheit des absoluten Fehlers

Der absolute Fehler besitzt dieselbe Einheit wie die gemessene Größe.

Wird eine Länge in Metern angegeben, hat auch der absolute Fehler die Einheit Meter.

Beispiel:

$$x_{\mathrm{ref}}=12{,}0\,\mathrm{m}, \qquad x_{\mathrm{m}}=11{,}7\,\mathrm{m}.$$

Dann:

$$\Delta x = |11{,}7-12{,}0|\,\mathrm{m} = 0{,}3\,\mathrm{m}.$$

Bei einer Masse könnte der Fehler beispielsweise

$$0{,}2\,\mathrm{kg}$$

betragen.

Bei einer Zeit könnte er

$$0{,}4\,\mathrm{s}$$

betragen.

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6. Absoluten Fehler richtig interpretieren

Ein Ergebnis wie

$$\Delta x=0{,}3\,\mathrm{m}$$

soll nicht nur berechnet werden.

Es muss auch inhaltlich verstanden werden.

Eine passende Aussage lautet:

Der Messwert weicht um $0{,}3\,\mathrm{m}$ vom Referenzwert ab.

Oder:

Der Abstand zwischen Messwert und Referenzwert beträgt $0{,}3\,\mathrm{m}$.

Nicht sinnvoll wäre:

Der Fehler beträgt $0{,}3\%$.

Das wäre ein relativer Fehler beziehungsweise ein Prozentfehler, nicht ein absoluter Fehler.

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7. Beispiel: Temperaturmessung

Ein Referenzthermometer zeigt

$$22{,}4^\circ\mathrm{C}.$$

Ein zweites Thermometer zeigt

$$23{,}1^\circ\mathrm{C}.$$

Der absolute Fehler ist:

$$\begin{aligned} \Delta T &= |23{,}1-22{,}4|\\ &= 0{,}7^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}$$

Interpretation:

Die zweite Messung weicht um $0{,}7^\circ\mathrm{C}$ vom Referenzwert ab.

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8. Reicht der absolute Fehler immer aus?

Nein.

Betrachten wir zwei Situationen.

Situation A

Eine Länge von

$$10\,\mathrm{cm}$$

wird mit einem Fehler von

$$1\,\mathrm{cm}$$

gemessen.

Situation B

Eine Länge von

$$1000\,\mathrm{cm}$$

wird ebenfalls mit einem Fehler von

$$1\,\mathrm{cm}$$

gemessen.

Der absolute Fehler ist in beiden Fällen gleich:

$$1\,\mathrm{cm}.$$

Trotzdem ist der Fehler im ersten Fall viel bedeutsamer.

Bei $10\,\mathrm{cm}$ ist $1\,\mathrm{cm}$ ein großer Anteil.

Bei $1000\,\mathrm{cm}$ ist $1\,\mathrm{cm}$ nur ein sehr kleiner Anteil.

Genau dafür benötigen wir den relativen Fehler.

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9. Der relative Fehler

Der relative Fehler vergleicht den absoluten Fehler mit der Größe des Referenzwertes.

Wir schreiben:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_{\mathrm{ref}}|} }$$

Dabei ist

$$\Delta x$$

der absolute Fehler.

Der relative Fehler besitzt keine Einheit.

Er ist ein Verhältnis.

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10. Relativen Fehler berechnen

Wir verwenden wieder:

$$x_{\mathrm{ref}}=50{,}0\,\mathrm{cm},$$ $$x_{\mathrm{m}}=49{,}6\,\mathrm{cm}.$$

Zuerst berechnen wir den absoluten Fehler:

$$\Delta x = |49{,}6-50{,}0| = 0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Nun teilen wir durch den Betrag des Referenzwertes:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{0{,}4}{50{,}0}.$$

Damit:

$$f_{\mathrm{rel}} = 0{,}008.$$

Der relative Fehler beträgt also

$$\boxed{ 0{,}008 }$$

als Dezimalzahl.

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11. Relativen Fehler als Prozentwert angeben

Ein relativer Fehler wird häufig als Prozentwert angegeben.

Dazu multiplizieren wir mit $100\%$:

$$0{,}008\cdot100\% = 0{,}8\%.$$

Damit gilt:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}}=0{,}8\% }$$

Interpretation:

Die Abweichung entspricht $0{,}8\%$ des Referenzwertes.

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12. Direktformel für den relativen Fehler

Da

$$\Delta x = |x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}|,$$

kann man auch direkt schreiben:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{|x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}|} {|x_{\mathrm{ref}}|} }$$

Für die Prozentangabe:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%} = \frac{|x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}|} {|x_{\mathrm{ref}}|} \cdot100\% }$$

Für Anfänger ist es trotzdem oft übersichtlicher, zuerst den absoluten Fehler und erst danach den relativen Fehler zu berechnen.

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13. Beispiel: Masse

Eine Referenzmasse beträgt

$$m_{\mathrm{ref}}=2{,}00\,\mathrm{kg}.$$

Eine Waage zeigt

$$m_{\mathrm{m}}=1{,}96\,\mathrm{kg}.$$

Schritt 1: absoluter Fehler

$$\begin{aligned} \Delta m &= |1{,}96-2{,}00|\\ &= 0{,}04\,\mathrm{kg}. \end{aligned}$$

Schritt 2: relativer Fehler

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{0{,}04}{2{,}00} = 0{,}02.$$

Schritt 3: Prozentangabe

$$0{,}02\cdot100\% = 2\%.$$

Also:

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}}=2\% }$$

Interpretation:

Die Messabweichung beträgt $0{,}04\,\mathrm{kg}$. Bezogen auf die Referenzmasse entspricht das $2\%$.

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14. Gleicher absoluter Fehler – andere Bedeutung

Vergleichen wir zwei Messungen.

Messung A

Referenzwert:

$$10\,\mathrm{cm}$$

absoluter Fehler:

$$1\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{1}{10} = 0{,}1 = 10\%.$$

Messung B

Referenzwert:

$$1000\,\mathrm{cm}$$

absoluter Fehler:

$$1\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\%.$$

Obwohl der absolute Fehler gleich ist, unterscheiden sich die relativen Fehler stark:

$$10\% \qquad\text{und}\qquad 0{,}1\%.$$

Merke:
Mit dem relativen Fehler kann man Fehler bei unterschiedlich großen Referenzwerten besser vergleichen.

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15. Gleicher relativer Fehler – andere absolute Abweichung

Auch der umgekehrte Fall ist möglich.

Wert A

Referenzwert:

$$100\,\mathrm{g}.$$

Ein relativer Fehler von

$$2\%$$

entspricht

$$2\,\mathrm{g}.$$

Wert B

Referenzwert:

$$10\,\mathrm{kg}.$$

Ein relativer Fehler von

$$2\%$$

entspricht

$$0{,}2\,\mathrm{kg} = 200\,\mathrm{g}.$$

Der prozentuelle Fehler ist gleich.

Die absoluten Abweichungen sind jedoch sehr unterschiedlich.

Deshalb beantworten absoluter und relativer Fehler zwei verschiedene Fragen.

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16. Absoluter und relativer Fehler im Vergleich

Absoluter Fehler

Er beantwortet:

Wie groß ist der Abstand zwischen Messwert und Referenzwert?

Formel:

$$\Delta x = |x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}|.$$

Er besitzt dieselbe Einheit wie die Messgröße.

Beispiele:

$$0{,}4\,\mathrm{cm}, \qquad 2\,\mathrm{kg}, \qquad 0{,}3\,\mathrm{s}.$$

Relativer Fehler

Er beantwortet:

Wie groß ist die Abweichung im Verhältnis zum Referenzwert?

Formel:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_{\mathrm{ref}}|}.$$

Er besitzt keine Einheit und wird oft in Prozent angegeben.

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17. Welche Größe ist der Referenzwert?

Das muss aus dem Sachkontext hervorgehen.

Typische Referenzwerte können sein:

• ein genauerer Messwert,
• ein Sollwert,
• ein vorgegebener theoretischer Wert,
• ein als richtig angenommener Vergleichswert.

Die Wahl des Referenzwertes darf nicht willkürlich erfolgen.

Wenn in einer Aufgabe ein Sollwert gegeben ist, wird normalerweise dieser Wert als Referenz verwendet.

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18. Vorgehensplan

Bei einer typischen Fehlerrechnung kannst du immer gleich vorgehen.

Schritt 1: Werte zuordnen

Notiere:

$$x_{\mathrm{ref}}=\ldots$$

und

$$x_{\mathrm{m}}=\ldots$$

Schritt 2: absoluten Fehler berechnen

$$\Delta x = |x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}|.$$

Schritt 3: Einheit angeben

Der absolute Fehler erhält dieselbe Einheit wie die Messgröße.

Schritt 4: relativen Fehler berechnen

Falls gefragt:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_{\mathrm{ref}}|}.$$

Schritt 5: in Prozent umrechnen

Falls eine Prozentangabe gewünscht ist:

$$f_{\mathrm{rel}}\cdot100\%.$$

Schritt 6: Antwortsatz formulieren

Gib an,

• wie groß die absolute Abweichung ist,
• und wie groß sie im Verhältnis zum Referenzwert ist.

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19. Typische Fehler

Fehler 1: Differenz ohne Betrag verwenden

Falsch:

$$\Delta x = 49{,}6-50 = -0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Richtig:

$$\Delta x = |49{,}6-50| = 0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

Der absolute Fehler ist nicht negativ.

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Fehler 2: Einheit beim absoluten Fehler vergessen

Ein absoluter Längenfehler von

$$0{,}4$$

ist unvollständig.

Richtig wäre zum Beispiel:

$$0{,}4\,\mathrm{cm}.$$

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Fehler 3: Den relativen Fehler durch den Messwert teilen

Wenn der Referenzwert gegeben ist, beziehen wir die Abweichung auf den Referenzwert:

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_{\mathrm{ref}}|}.$$

Nicht automatisch auf den gemessenen Wert.

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Fehler 4: Dezimalzahl und Prozent verwechseln

$$0{,}02$$

entspricht

$$2\%,$$

nicht

$$0{,}02\%.$$

Für die Umrechnung in Prozent wird mit $100\%$ multipliziert.

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Fehler 5: Absoluten und relativen Fehler verwechseln

$$0{,}4\,\mathrm{cm}$$

ist eine absolute Abweichung.

$$0{,}8\%$$

ist eine relative Abweichung.

Die beiden Angaben beschreiben denselben Messfehler aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

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20. Vollständiges Beispiel

Bei einer technischen Messung beträgt der Referenzwert

$$L_{\mathrm{ref}}=250\,\mathrm{mm}.$$

Gemessen werden

$$L_{\mathrm{m}}=247\,\mathrm{mm}.$$

Absoluter Fehler

$$\begin{aligned} \Delta L &= |247-250|\\ &= 3\,\mathrm{mm}. \end{aligned}$$

Relativer Fehler

$$f_{\mathrm{rel}} = \frac{3}{250} = 0{,}012.$$

Prozentwert

$$0{,}012\cdot100\% = 1{,}2\%.$$

Damit:

$$\boxed{ \Delta L=3\,\mathrm{mm} }$$

und

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}}=1{,}2\% }$$

Interpretation:

Der Messwert liegt $3\,\mathrm{mm}$ vom Referenzwert entfernt. Diese Abweichung entspricht $1{,}2\%$ des Referenzwertes.

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21. Zusammenfassung

Absoluter Fehler

$$\boxed{ \Delta x = |x_{\mathrm{m}}-x_{\mathrm{ref}}| }$$

• beschreibt den Abstand zum Referenzwert,
• besitzt dieselbe Einheit wie die Messgröße.

Relativer Fehler

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel}} = \frac{\Delta x}{|x_{\mathrm{ref}}|} }$$

• setzt die Abweichung zur Größe des Referenzwertes ins Verhältnis,
• besitzt keine Einheit.

Prozentangabe

$$\boxed{ f_{\mathrm{rel},\%} = f_{\mathrm{rel}}\cdot100\% }$$

Merke:
Absoluter Fehler: Wie viel daneben?
Relativer Fehler: Wie viel im Verhältnis zur Größe?