Maßstab und maßstäbliche Darstellungen

Ein Maßstab vergleicht eine Länge in einer Zeichnung mit der entsprechenden Länge in der Wirklichkeit.

1:n

bedeutet: 1 Längeneinheit in der Zeichnung entspricht $n$ gleichen Längeneinheiten in der Wirklichkeit.

1. Maßstab 1 : 100

1\text{ cm im Plan}=100\text{ cm in Wirklichkeit}=1\text{ m}.

Beispiel

Eine Wand ist im Plan 4,5 cm lang.

\begin{aligned} \text{Wirklichkeit} &= 4{,}5\,\mathrm{cm}\cdot100 \\ &=450\,\mathrm{cm} \\ &=4{,}5\,\mathrm m \end{aligned}

2. Von der Wirklichkeit zur Zeichnung

Ein Auto ist 4,2 m lang. Modellmaßstab $1:20$ .

Zuerst Einheiten vereinheitlichen:

\begin{aligned} 4{,}2\,\mathrm m &= 420\,\mathrm{cm} \end{aligned}

Dann verkleinern:

\begin{aligned} \text{Modelllänge} &= 420\,\mathrm{cm}:20 \\ &=21\,\mathrm{cm} \end{aligned}

3. Maßstab mit Tabelle

Kartenmaßstab $1:50\,000$ . Auf der Karte werden 3,2 cm gemessen.

Karte	Wirklichkeit	Schritt
1 cm	50 000 cm	Maßstab
3,2 cm	160 000 cm	beide Seiten `/·3,2`

\begin{aligned} 160\,000\,\mathrm{cm} &= 1600\,\mathrm m \\ 1600\,\mathrm m &= 1{,}6\,\mathrm{km} \end{aligned}

Antwort: Die tatsächliche Entfernung beträgt 1,6 km.

4. Maßstab bestimmen

Eine 10 m lange Strecke ist im Plan 5 cm lang.

\begin{aligned} 10\,\mathrm m &= 1000\,\mathrm{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} 5:1000 &= 1:200 && /:5 \end{aligned}

Der Maßstab ist $1:200$ .

5. Vergrößerungsmaßstab

$5:1$ bedeutet: Die Zeichnung ist fünfmal so groß wie das Original.

Ein 8 mm langes Bauteil wird dargestellt als:

\begin{aligned} \text{Zeichnung} &= 8\,\mathrm{mm}\cdot5 \\ &=40\,\mathrm{mm} \end{aligned}

6. Flächen und Maßstab

Verdoppelt man alle Längen, wird die Fläche viermal so groß. Bei Maßstab $1:n$ ist der Flächenfaktor $1:n^2$ .

Achtung: Ein Längenmaßstab darf nicht unverändert auf Flächeninhalte angewendet werden.

7. Typische Fehler

Einheiten vor dem Verhältnis nicht vereinheitlichen.
Bei $1:n$ in die falsche Richtung rechnen.
Kartenlänge und Wirklichkeitslänge vertauschen.
Am Ende nicht in eine sinnvolle Einheit umrechnen.
Längenfaktor direkt für Flächen verwenden.

8. Zusammenfassung

Zeichnung → Wirklichkeit: bei $1:n$ mit $n$ multiplizieren.
Wirklichkeit → Zeichnung: bei $1:n$ durch $n$ dividieren.
Vorher immer dieselben Einheiten herstellen.
Ergebnis in einer sinnvollen Einheit angeben.

Eingabe	Verwendung
`4.5*100`	Planlänge in Wirklichkeitslänge umrechnen
`420/20`	Modelllänge bestimmen
`3.2*50000/100000`	Kartenstrecke in Kilometer kontrollieren

Eingabe

Verwendung

4.5*100

Planlänge in Wirklichkeitslänge umrechnen

420/20

Modelllänge bestimmen

3.2*50000/100000

Kartenstrecke in Kilometer kontrollieren

Maßstab und maßstäbliche Darstellungen

Maßstab und maßstäbliche Darstellungen

1. Maßstab 1 : 100

Beispiel

2. Von der Wirklichkeit zur Zeichnung

3. Maßstab mit Tabelle

4. Maßstab bestimmen

5. Vergrößerungsmaßstab

6. Flächen und Maßstab

7. Typische Fehler

8. Zusammenfassung

Verhältnis ablesen

Zeichnungsseite erkennen

Wirklichkeitsseite erkennen

Einheit festlegen

Bedeutung von 1:n formulieren

Vergrößerung oder Verkleinerung bestimmen

GeoGebra-Übersicht: Maßstab

Geeignete Eingaben

Vorgehen

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Beispielwert zuordnen

Planlänge notieren

Maßstabszahl notieren

Einheiten prüfen

Mit Maßstabszahl multiplizieren

Zwischenergebnis notieren

Sinnvoll umrechnen

Antwortsatz bilden

Wirklichkeitslänge notieren

In passende Einheit umrechnen

Durch Maßstabszahl dividieren

Zeichnungslänge bestimmen

Einheit prüfen

Größenordnung kontrollieren

Antwortsatz bilden

Beide Längen notieren

Einheiten vereinheitlichen

Verhältnis Zeichnung:Wirklichkeit bilden

Beide Seiten durch Zeichnungslänge dividieren

Form 1:n herstellen

Maßstab notieren

Durch Rückrechnung prüfen

Zuordnung der Seiten prüfen

Einheiten vergleichen

Rechenrichtung kontrollieren

Längen- und Flächenfaktor unterscheiden

Rechnung korrigieren

Ergebnis umrechnen

Plausibilität erklären