Binomische Formeln

Kompetenzcode: MG 2.6

Binomische Formeln sind Abkürzungen für drei besonders häufige Multiplikationen mit Klammern. Sie helfen dir, solche Terme schnell und sicher auszumultiplizieren.

Noch wichtiger ist aber: Du sollst die Struktur hinter den Formeln verstehen. Dann musst du die Formeln nicht blind auswendig verwenden.

In diesem Kapitel lernst du Schritt für Schritt,

1. die erste binomische Formel zu erkennen und anzuwenden,
2. die zweite binomische Formel zu erkennen und anzuwenden,
3. die dritte binomische Formel zu erkennen und anzuwenden,
4. binomische Formeln rückwärts zu verwenden.

1. Vorwissen: Was bedeutet eine Klammer zum Quadrat?

Betrachten wir

$$(a+b)^2.$$

Die Hochzahl $2$ bedeutet: Die gesamte Klammer wird mit sich selbst multipliziert.

$$\boxed{(a+b)^2=(a+b)(a+b)}$$

Das ist wichtig. Es gilt nicht

$$(a+b)^2=a^2+b^2.$$

Beim Multiplizieren der beiden Klammern muss jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert werden:

$$\begin{aligned} (a+b)(a+b) &=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

Genau daraus entsteht die erste binomische Formel.

2. Die drei binomischen Formeln im Überblick

Für reelle Zahlen oder Terme $a$ und $b$ gelten:

Erste binomische Formel

$$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$

Zweite binomische Formel

$$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$

Dritte binomische Formel

$$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$

Merke: Bei der ersten und zweiten Formel entstehen drei Terme. Bei der dritten Formel entstehen nur zwei Terme, weil sich die beiden mittleren Terme aufheben.

3. Erste binomische Formel erkennen

Die erste binomische Formel beginnt mit einer Summe in einer Klammer, die quadriert wird:

$$(a+b)^2.$$

Du erkennst sie also an der Form

$$\boxed{(\text{erster Term}+\text{zweiter Term})^2}.$$

Beispiele dafür sind

$$(x+4)^2,$$ $$(2a+3)^2,$$ $$(5m+n)^2.$$

In jedem Fall stehen in der Klammer zwei Terme mit einem Pluszeichen und die gesamte Klammer steht zum Quadrat.

Die ausmultiplizierte Form erkennen

Auch an

$$a^2+2ab+b^2$$

kannst du die erste binomische Formel erkennen.

Achte auf drei Merkmale:

1. Der erste Term ist ein Quadrat: $a^2$.
2. Der letzte Term ist ein Quadrat: $b^2$.
3. Der mittlere Term ist das Doppelte des Produkts aus $a$ und $b$: .

Zum Beispiel:

$$x^2+10x+25.$$

Der erste Term ist

$$x^2=(x)^2.$$

Der letzte Term ist

$$25=5^2.$$

Nun prüfen wir den mittleren Term:

$$2\cdot x\cdot5=10x.$$

Alles passt. Deshalb ist

$$\boxed{x^2+10x+25=(x+5)^2}.$$

4. Warum funktioniert die erste binomische Formel?

Die Formel lässt sich auch als Fläche verstehen.

Ein Quadrat mit Seitenlänge $a+b$ besitzt die Fläche

$$(a+b)^2.$$

Teilt man jede Seite in die Längen $a$ und $b$, entstehen vier Teilflächen:

Die vier Flächen sind

$$a^2, \qquad ab, \qquad ab, \qquad b^2.$$

Zusammen ergeben sie

$$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$$

Damit sieht man direkt:

$$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}.$$

5. Erste binomische Formel anwenden

Zum Anwenden kannst du dir immer dieselben drei Bausteine merken:

$$\boxed{ \underbrace{a^2}_{\text{erstes Quadrat}} + \underbrace{2ab}_{\text{doppeltes Produkt}} + \underbrace{b^2}_{\text{zweites Quadrat}} }$$

Beispiel 1: $(x+3)^2$

Hier ist

$$a=x \qquad\text{und}\qquad b=3.$$

Wir setzen in die Formel ein:

$$\begin{aligned} (x+3)^2 &=\underbrace{x^2}_{a^2} +\underbrace{2\cdot x\cdot3}_{2ab} +\underbrace{3^2}_{b^2}\\ &=x^2+6x+9. \end{aligned}$$

Also

$$\boxed{(x+3)^2=x^2+6x+9}.$$

Beispiel 2: $(2a+5)^2$

Jetzt ist der erste Term nicht nur $a$, sondern $2a$.

Wir setzen deshalb

$$\text{erster Term}=2a \qquad\text{und}\qquad \text{zweiter Term}=5.$$

Dann gilt

$$\begin{aligned} (2a+5)^2 &=\underbrace{(2a)^2}_{4a^2} +\underbrace{2\cdot(2a)\cdot5}_{20a} +\underbrace{5^2}_{25}\\ &=4a^2+20a+25. \end{aligned}$$

Also

$$\boxed{(2a+5)^2=4a^2+20a+25}.$$

Wichtig: Auch der Zahlenfaktor wird quadriert. Deshalb ist $(2a)^2=4a^2$, nicht $2a^2$.

6. Zweite binomische Formel erkennen

Die zweite binomische Formel beginnt mit einer Differenz in einer Klammer, die quadriert wird:

$$(a-b)^2.$$

Du erkennst sie an der Form

$$\boxed{(\text{erster Term}-\text{zweiter Term})^2}.$$

Beispiele sind

$$(x-4)^2,$$ $$(3a-2)^2,$$ $$(5m-n)^2.$$

Die ausmultiplizierte Form erkennen

Die zweite binomische Formel lautet

$$a^2-2ab+b^2.$$

Wieder gibt es drei Merkmale:

1. Der erste Term ist ein Quadrat.
2. Der letzte Term ist ein Quadrat.
3. Der mittlere Term ist das negative Doppelte des Produkts: $-2ab$.

Zum Beispiel:

$$x^2-12x+36.$$

Es gilt

$$x^2=(x)^2$$

und

$$36=6^2.$$

Der mittlere Term passt ebenfalls:

$$-2\cdot x\cdot6=-12x.$$

Daher gilt

$$\boxed{x^2-12x+36=(x-6)^2}.$$

Merke: Bei der zweiten binomischen Formel ist nur der mittlere Term negativ. Der letzte Term $b^2$ ist positiv, weil beim Quadrieren eines Minuszeichens ein Plus entsteht.

7. Warum ist der letzte Term bei der zweiten Formel positiv?

Wir multiplizieren aus:

$$\begin{aligned} (a-b)^2 &=(a-b)(a-b)\\ &=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+(-b)\cdot(-b)\\ &=a^2-ab-ab+b^2\\ &=a^2-2ab+b^2. \end{aligned}$$

Entscheidend ist

$$(-b)\cdot(-b)=+b^2.$$

Deshalb steht am Ende Plus $b^2$.

8. Zweite binomische Formel anwenden

Die drei Bausteine sind

$$\boxed{ \underbrace{a^2}_{\text{erstes Quadrat}} - \underbrace{2ab}_{\text{doppeltes Produkt}} + \underbrace{b^2}_{\text{zweites Quadrat}} }$$

Beispiel 1: $(x-7)^2$

Hier ist

$$a=x, \qquad b=7.$$

Also

$$\begin{aligned} (x-7)^2 &=\underbrace{x^2}_{a^2} -\underbrace{2\cdot x\cdot7}_{14x} +\underbrace{7^2}_{49}\\ &=x^2-14x+49. \end{aligned}$$

Damit

$$\boxed{(x-7)^2=x^2-14x+49}.$$

Beispiel 2: $(3a-2)^2$

Wir verwenden als ersten Term $3a$ und als zweiten Term $2$:

$$\begin{aligned} (3a-2)^2 &=\underbrace{(3a)^2}_{9a^2} -\underbrace{2\cdot(3a)\cdot2}_{12a} +\underbrace{2^2}_{4}\\ &=9a^2-12a+4. \end{aligned}$$

Also

$$\boxed{(3a-2)^2=9a^2-12a+4}.$$

9. Erste und zweite Formel unterscheiden

Die beiden Formeln sehen fast gleich aus:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

und

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Der entscheidende Unterschied liegt im Vorzeichen des mittleren Terms:

Der erste und der letzte Term sind in beiden Formeln Quadrate.

10. Dritte binomische Formel erkennen

Die dritte binomische Formel sieht anders aus. Hier wird keine einzelne Klammer quadriert.

Stattdessen stehen zwei fast gleiche Klammern nebeneinander:

$$(a+b)(a-b).$$

In der ersten Klammer steht ein Plus, in der zweiten an derselben Stelle ein Minus.

Du erkennst die dritte Formel also an

$$\boxed{(\text{erster Term}+\text{zweiter Term})(\text{erster Term}-\text{zweiter Term})}.$$

Beispiele:

$$(x+5)(x-5),$$ $$(3a+2)(3a-2),$$ $$(m+n)(m-n).$$

Die ausmultiplizierte Form erkennen

Die dritte binomische Formel ergibt eine Differenz zweier Quadrate:

$$\boxed{a^2-b^2}.$$

Es gibt keinen Mittelterm.

Zum Beispiel ist

$$x^2-49$$

eine Differenz zweier Quadrate, denn

$$49=7^2.$$

Daher gilt

$$\boxed{x^2-49=(x+7)(x-7)}.$$

11. Warum verschwindet bei der dritten Formel der Mittelterm?

Wir multiplizieren vollständig aus:

$$\begin{aligned} (a+b)(a-b) &=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b\\ &=a^2-ab+ab-b^2. \end{aligned}$$

Nun sind

$$-ab+ab=0.$$

Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf.

Es bleibt

$$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.$$

12. Dritte binomische Formel anwenden

Bei der dritten Formel brauchst du nur zwei Quadrate:

$$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.$$

Beispiel 1: $(x+5)(x-5)$

Hier ist

$$a=x, \qquad b=5.$$

Also

$$\begin{aligned} (x+5)(x-5) &=\underbrace{x^2}_{a^2}-\underbrace{5^2}_{b^2}\\ &=x^2-25. \end{aligned}$$

Damit

$$\boxed{(x+5)(x-5)=x^2-25}.$$

Beispiel 2: $(3a+2)(3a-2)$

Der erste Term ist $3a$, der zweite Term ist $2$:

$$\begin{aligned} (3a+2)(3a-2) &=\underbrace{(3a)^2}_{9a^2}-\underbrace{2^2}_{4}\\ &=9a^2-4. \end{aligned}$$

Also

$$\boxed{(3a+2)(3a-2)=9a^2-4}.$$

Tipp: Bei der dritten binomischen Formel müssen die beiden Klammern bis auf das Vorzeichen gleich sein.

13. Alle drei Formeln sicher unterscheiden

Wenn du unsicher bist, kannst du immer vollständig ausmultiplizieren. Die binomischen Formeln sind keine neuen Rechenregeln, sondern Abkürzungen für dieses Ausmultiplizieren.

14. Binomische Formeln rückwärts anwenden

Bisher haben wir aus Klammern einen ausmultiplizierten Term gemacht.

Zum Beispiel:

$$(x+4)^2=x^2+8x+16.$$

Rückwärts bedeutet: Wir beginnen mit

$$x^2+8x+16$$

und suchen die passende Klammerform.

Dieser Vorgang heißt auch Faktorisieren.

Erste binomische Formel rückwärts

Gegeben ist

$$x^2+8x+16.$$

Schritt 1: Ersten Term als Quadrat schreiben

$$x^2=(x)^2.$$

Schritt 2: Letzten Term als Quadrat schreiben

$$16=4^2.$$

Damit sind die beiden möglichen Bausteine

$$a=x \qquad\text{und}\qquad b=4.$$

Schritt 3: Mittelterm prüfen

$$2ab=2\cdot x\cdot4=8x.$$

Der Mittelterm stimmt und ist positiv. Deshalb gilt

$$\boxed{x^2+8x+16=(x+4)^2}.$$

Zweite binomische Formel rückwärts

Gegeben ist

$$9a^2-24a+16.$$

Die äußeren Terme sind Quadrate:

$$9a^2=(3a)^2$$

und

$$16=4^2.$$

Nun prüfen wir den Mittelterm:

$$2\cdot(3a)\cdot4=24a.$$

Im gegebenen Term steht $-24a$. Deshalb brauchen wir die zweite binomische Formel:

$$\boxed{9a^2-24a+16=(3a-4)^2}.$$

Noch ein Beispiel mit der ersten Formel

Gegeben ist

$$4x^2+12x+9.$$

Die äußeren Quadrate sind

$$4x^2=(2x)^2$$

und

$$9=3^2.$$

Der Mittelterm muss dann sein

$$2\cdot(2x)\cdot3=12x.$$

Das passt. Also

$$\boxed{4x^2+12x+9=(2x+3)^2}.$$

15. Dritte binomische Formel rückwärts

Bei der dritten Formel suchst du eine Differenz zweier Quadrate.

Beispiel 1: $x^2-49$

Es gilt

$$x^2=(x)^2$$

und

$$49=7^2.$$

Damit folgt

$$\boxed{x^2-49=(x+7)(x-7)}.$$

Beispiel 2: $25a^2-4b^2$

Wir schreiben beide Terme als Quadrate:

$$25a^2=(5a)^2$$

und

$$4b^2=(2b)^2.$$

Also

$$\boxed{25a^2-4b^2=(5a+2b)(5a-2b)}.$$

Wichtig: Die dritte binomische Formel funktioniert rückwärts bei einer Differenz zweier Quadrate. Ein Term wie $x^2+49$ hat ein Pluszeichen und passt deshalb nicht zur dritten binomischen Formel.

16. Ein sicherer Entscheidungsweg für die Rückwärtsrichtung

Wenn du einen Term faktorisieren sollst, gehe in dieser Reihenfolge vor.

Fall A: Der Term hat drei Summanden

Zum Beispiel

$$a^2+2ab+b^2$$

oder

$$a^2-2ab+b^2.$$

1. Prüfe, ob der erste Term ein Quadrat ist.
2. Prüfe, ob der letzte Term ein Quadrat ist.
3. Ziehe gedanklich die Quadratwurzeln der beiden äußeren Terme. Das sind deine Kandidaten für $a$ und $b$.
4. Berechne $2ab$.
5. Vergleiche mit dem Mittelterm.
6. Positiver Mittelterm $\Rightarrow (a+b)^2$.

Fall B: Der Term hat zwei Summanden mit Minuszeichen

Zum Beispiel

$$a^2-b^2.$$

1. Prüfe, ob beide Terme Quadrate sind.
2. Zwischen ihnen muss ein Minuszeichen stehen.
3. Dann gilt

$$\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}.$$

17. Typische Fehler

Fehler 1: Den Mittelterm vergessen

Falsch:

$$(a+b)^2=a^2+b^2.$$

Richtig:

$$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}.$$

Der Mittelterm $2ab$ entsteht aus den beiden Produkten $ab+ab$.

Fehler 2: Bei der zweiten Formel am Ende ein Minus schreiben

Falsch:

$$(a-b)^2=a^2-2ab-b^2.$$

Richtig:

$$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}.$$

Denn

$$(-b)\cdot(-b)=+b^2.$$

Fehler 3: Einen Zahlenfaktor nicht mitquadrieren

Falsch:

$$(3x)^2=3x^2.$$

Richtig:

$$\boxed{(3x)^2=9x^2}.$$

Denn

$$(3x)^2=(3x)(3x)=9x^2.$$

Fehler 4: Die dritte Formel bei einem Plus verwenden

Aus

$$x^2+25$$

kannst du nicht mithilfe der dritten binomischen Formel

$$(x+5)(x-5)$$

machen, denn

$$(x+5)(x-5)=x^2-25.$$

Das Vorzeichen muss stimmen.

Fehler 5: Rückwärts nur auf die äußeren Quadrate schauen

Der Term

$$x^2+6x+16$$

hat zwar außen die Quadrate $x^2$ und $4^2$, aber für $(x+4)^2$ müsste der Mittelterm

$$2\cdot x\cdot4=8x$$

sein. Tatsächlich steht dort $6x$.

Deshalb ist

$$\boxed{x^2+6x+16\neq(x+4)^2}.$$

18. Arbeitspläne

Erste binomische Formel erkennen

1. Suche nach einer Klammer zum Quadrat.
2. Prüfe, ob zwischen den beiden Termen ein Pluszeichen steht.
3. Bei einer ausmultiplizierten Form: Prüfe die beiden Quadrate außen.
4. Prüfe, ob der Mittelterm $+2ab$ ist.
5. Erst wenn alle Merkmale stimmen, ordne die erste binomische Formel zu.

Erste binomische Formel anwenden

1. Bestimme den ersten Term $a$.
2. Bestimme den zweiten Term $b$.
3. Berechne $a^2$.
4. Berechne $2ab$.
5. Berechne $b^2$ und schreibe die drei Ergebnisse mit Pluszeichen zusammen.

Zweite binomische Formel erkennen

1. Suche nach einer Klammer zum Quadrat.
2. Prüfe, ob zwischen den beiden Termen ein Minuszeichen steht.
3. Bei der ausmultiplizierten Form müssen die äußeren Terme Quadrate sein.
4. Der Mittelterm muss $-2ab$ sein.
5. Der letzte Quadratterm bleibt positiv.

Zweite binomische Formel anwenden

1. Bestimme den ersten Term $a$.
2. Bestimme den zweiten Term $b$ ohne das Minuszeichen.
3. Berechne $a^2$.
4. Berechne $-2ab$.
5. Berechne $+b^2$ und achte besonders auf das Plus beim letzten Term.

Dritte binomische Formel erkennen

1. Suche nach zwei Klammern.
2. Prüfe, ob beide Klammern dieselben beiden Terme enthalten.
3. In einer Klammer muss Plus und in der anderen Minus stehen.
4. Rückwärts: Suche nach zwei Quadraten mit einem Minuszeichen dazwischen.
5. Ein Mittelterm gehört nicht zur dritten binomischen Formel.

Dritte binomische Formel anwenden

1. Bestimme den gemeinsamen ersten Term $a$.
2. Bestimme den gemeinsamen zweiten Term $b$.
3. Quadriere den ersten Term vollständig.
4. Quadriere den zweiten Term vollständig.
5. Bilde die Differenz $a^2-b^2$.

Binomische Formel rückwärts anwenden

1. Zähle zuerst die Summanden.
2. Bei drei Summanden: Prüfe die beiden äußeren Quadrate.
3. Berechne mit ihren Wurzeln den erwarteten Mittelterm $2ab$.
4. Das Vorzeichen des Mittelterms entscheidet zwischen erster und zweiter Formel.
5. Bei zwei Quadraten mit Minuszeichen: Nutze die dritte Formel.
6. Multipliziere zur Kontrolle wieder aus.

19. Das Wichtigste auf einen Blick

Die drei binomischen Formeln lauten

$$\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$$ $$\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2},$$ $$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.$$

Für die erste und zweite Formel gilt:

• außen stehen zwei Quadrate,
• in der Mitte steht das doppelte Produkt,
• bei der ersten Formel ist der Mittelterm positiv,
• bei der zweiten Formel ist der Mittelterm negativ,
• der letzte Quadratterm bleibt in beiden Fällen positiv.

Für die dritte Formel gilt:

• zwei fast gleiche Klammern,
• einmal Plus und einmal Minus,
• im Ergebnis bleibt die Differenz der beiden Quadrate.

Rückwärts prüfst du immer zuerst die Struktur. Nur wenn alle Teile der Formel passen, darfst du faktorisieren.