Lineare Gleichungen in Sachaufgaben

Kompetenzcode: MG 2.7

Bei einer Sachaufgabe steht die Rechnung nicht fertig vor dir. Zuerst musst du aus einem Text herausfinden,

• was gesucht ist,
• welche Größe du mit einer Variablen bezeichnest,
• wie die Angaben zusammenhängen,
• welche Gleichung zum Text passt,
• und was die gefundene Zahl in der Situation bedeutet.

Das klingt zunächst nach vielen Schritten. Mit einer festen Reihenfolge wird es aber übersichtlich.

Merke: Bei einer Sachaufgabe ist nicht nur die Rechnung wichtig. Eine vollständige Lösung besteht aus Modellieren, Rechnen, Deuten und Prüfen.

1. Der sichere Fünf-Schritte-Plan

Für lineare Gleichungen in Sachaufgaben kannst du fast immer so vorgehen:

1. Unbekannte festlegen: Was soll berechnet werden? Wofür steht $x$?
2. Gleichung aufstellen: Übersetze den Sachtext in Mathematik.
3. Gleichung lösen: Forme die Gleichung schrittweise um.
4. Lösung deuten: Was bedeutet die Zahl im Text? Passt die Einheit?
5. Probe durchführen: Setze die Lösung in die ursprüngliche Situation oder Gleichung ein.

Wir sehen uns jeden Schritt genau an.

2. Die unbekannte Größe festlegen

In einer Sachaufgabe ist meistens eine Größe gesucht, die du noch nicht kennst. Diese Größe bezeichnet man mit einer Variablen, häufig mit $x$.

Wichtig ist: Schreibe immer dazu, was $x$ bedeutet.

Beispiel

Vier gleich teure Hefte und eine Mappe um $6\,€$ kosten zusammen $34\,€$. Gesucht ist der Preis eines Heftes.

Eine gute Festlegung lautet:

$$\boxed{x=\text{Preis eines Heftes in Euro}}$$

Nicht ausreichend wäre nur

$$x=?$$

Denn später soll noch klar sein, welche Größe mit $x$ gemeint war.

Die Einheit gehört zur Bedeutung

Wenn du einen Preis suchst, steht $x$ für einen Geldbetrag. Wenn du eine Länge suchst, steht $x$ für eine Länge. Wenn du eine Anzahl suchst, steht $x$ für eine Anzahl von Dingen oder Personen.

Zum Beispiel:

$$x=\text{Länge des Rechtecks in cm}$$

oder

$$x=\text{Anzahl der Fahrgäste vor dem Aussteigen}.$$

Tipp: Lies zuerst die Frage am Ende der Aufgabe. Dort steht meistens direkt, welche Größe gesucht ist.

3. Andere Größen mit der Unbekannten ausdrücken

Manchmal gibt es mehrere unbekannte Größen. Trotzdem genügt oft eine Variable, wenn die Größen miteinander verbunden sind.

Beispiel: Zwei Geldbeträge

Ben hat einen unbekannten Geldbetrag. Anna hat $12\,€$ mehr als Ben.

Wir setzen

$$x=\text{Bens Geldbetrag in Euro}.$$

Dann hat Anna

$$x+12$$

Euro.

Das Wort mehr führt hier also zu einer Addition.

Beispiel: Weniger

Ein rotes Band ist $5\,\text{cm}$ kürzer als ein blaues Band. Das blaue Band ist $x\,\text{cm}$ lang.

Dann ist das rote Band

$$x-5$$

Zentimeter lang.

Beispiel: Mehrfaches

Lena besitzt dreimal so viele Sticker wie Paul. Paul besitzt $x$ Sticker.

Dann besitzt Lena

$$3x$$

Sticker.

Achte auf den Unterschied:

• um 3 mehr bedeutet $x+3$,
• dreimal so viel bedeutet $3x$.

Das sind zwei völlig verschiedene Aussagen.

4. Wörter in mathematische Ausdrücke übersetzen

Einige Formulierungen kommen in Sachaufgaben besonders häufig vor.

Diese Tabelle ist eine Hilfe. Entscheidend ist aber immer die Bedeutung des ganzen Satzes.

Beispiel

„Das Doppelte einer Zahl, vermehrt um $7$, ergibt $25$.“

Schrittweise übersetzt:

$$\underbrace{x}_{\text{gesuchte Zahl}}$$ $$\underbrace{2x}_{\text{das Doppelte}}$$ $$\underbrace{2x+7}_{\text{um 7 vermehrt}}$$

Damit lautet die Gleichung

$$\boxed{2x+7=25}.$$

5. Eine lineare Gleichung aus einem Sachtext aufstellen

Gehen wir zurück zu den vier Heften und der Mappe.

Vier gleich teure Hefte und eine Mappe um $6\,€$ kosten zusammen $34\,€$.

Wir haben bereits festgelegt:

$$x=\text{Preis eines Heftes in Euro}.$$

Ein Heft kostet $x$ Euro.

Vier Hefte kosten daher

$$4x.$$

Dazu kommt die Mappe um $6\,€$:

$$4x+6.$$

Zusammen kostet alles $34\,€$. Deshalb gilt

$$\boxed{4x+6=34}.$$

Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Ausdrücke, die in der beschriebenen Situation denselben Wert haben.

6. Prüfen, ob die aufgestellte Gleichung zum Text passt

Bevor du rechnest, lies deine Gleichung noch einmal wie einen Satz.

Bei

$$4x+6=34$$

kannst du denken:

„Viermal der Preis eines Heftes plus $6\,€$ für die Mappe ergibt insgesamt $34\,€$.“

Das stimmt genau mit dem Text überein.

Wenn du deine Gleichung nicht sinnvoll zurück in Worte übersetzen kannst, solltest du sie noch einmal kontrollieren.

7. Die Gleichung schrittweise lösen

Nun lösen wir

$$4x+6=34.$$

Wir wollen $x$ alleine bekommen.

Zuerst entfernen wir die $+6$. Deshalb rechnen wir auf beiden Seiten $-6$:

$$\begin{aligned} 4x+6&=34 &&/-6\\ 4x&=28 &&/:4\\ x&=7 \end{aligned}$$

Die Rechenoperation steht immer in jener Zeile, auf die sie angewendet wird.

Damit haben wir die rechnerische Lösung

$$x=7.$$

Aber eine Sachaufgabe ist hier noch nicht fertig.

8. Warum darf man auf beiden Seiten dasselbe rechnen?

Eine Gleichung kannst du dir wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen.

Wenn links und rechts gleich viel liegt, bleibt die Waage im Gleichgewicht, wenn du auf beiden Seiten dasselbe machst.

Deshalb sind zum Beispiel diese Umformungen erlaubt:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren,
• auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren,
• beide Seiten mit derselben von $0$ verschiedenen Zahl multiplizieren,
• beide Seiten durch dieselbe von $0$ verschiedene Zahl dividieren.

Beispiel mit Division in der Ausgangsgleichung

$$\frac{x}{3}=8$$

Um durch $3$ geteiltes $x$ wieder zu $x$ zu machen, multiplizieren wir beide Seiten mit $3$:

$$\begin{aligned} \frac{x}{3}&=8 &&/\cdot3\\ x&=24 \end{aligned}$$

9. Die Lösung im Sachzusammenhang deuten

Wir haben bei den Heften erhalten:

$$x=7.$$

Unsere Festlegung war

$$x=\text{Preis eines Heftes in Euro}.$$

Deshalb bedeutet die Zahl $7$:

$$\boxed{\text{Ein Heft kostet }7\,€.}$$

Ein Antwortsatz ist wichtig, weil $x=7$ allein noch nicht sagt, ob $7$ Euro, Zentimeter, Jahre oder Personen gemeint sind.

Passt die Lösung überhaupt zur Situation?

Bei Sachaufgaben musst du außerdem überlegen, ob die Lösung inhaltlich möglich ist.

Beispiele:

• Eine Länge darf in einer gewöhnlichen Längenaufgabe nicht negativ sein.
• Eine Anzahl von ganzen Personen kann nicht $4{,}5$ sein.
• Ein Preis von $-3\,€$ wäre in einer normalen Einkaufsaufgabe nicht sinnvoll.

Eine Gleichung kann rechnerisch lösbar sein, aber der gefundene Wert muss zusätzlich zum Kontext passen.

10. Die Lösung durch eine Probe prüfen

Für die Probe verwenden wir am besten die ursprüngliche Gleichung.

Unsere Lösung lautet

$$x=7.$$

Die ursprüngliche Gleichung war

$$4x+6=34.$$

Wir setzen $7$ für $x$ ein:

$$\begin{aligned} 4\cdot7+6&=34\\ 28+6&=34\\ 34&=34. \end{aligned}$$

Links und rechts steht derselbe Wert. Die Gleichung stimmt also.

Nun prüfen wir zusätzlich den Sachtext:

• vier Hefte zu je $7\,€$ kosten $28\,€$,
• dazu kommen $6\,€$ für die Mappe,
• insgesamt sind das $34\,€$.

Die Lösung passt auch zur beschriebenen Situation.

Merke: Eine gute Probe überprüft nicht nur die Rechnung. Sie fragt auch: Erfüllt meine Lösung wirklich die Angaben des Textes?

11. Vollständiges Beispiel: Fahrgäste im Bus

In einem Bus befinden sich zunächst einige Fahrgäste. An einer Haltestelle steigen $8$ Personen aus. Danach sind noch $27$ Personen im Bus. Wie viele Personen waren vorher im Bus?

Schritt 1: Unbekannte festlegen

Gesucht ist die ursprüngliche Anzahl der Fahrgäste.

$$x=\text{Anzahl der Fahrgäste vor der Haltestelle}.$$

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Nach dem Aussteigen von $8$ Personen bleiben $27$ Personen übrig.

Also:

$$\boxed{x-8=27}.$$

Schritt 3: Gleichung lösen

$$\begin{aligned} x-8&=27 &&/+8\\ x&=35 \end{aligned}$$

Schritt 4: Lösung deuten

$$\boxed{\text{Vor der Haltestelle waren }35\text{ Fahrgäste im Bus.}}$$

Schritt 5: Probe

$$35-8=27.$$

Nach dem Aussteigen bleiben tatsächlich $27$ Personen übrig. Die Lösung passt.

12. Vollständiges Beispiel: Zwei miteinander verbundene Größen

Ben und Anna haben zusammen $54\,€$. Anna hat $12\,€$ mehr als Ben. Wie viel Geld hat jede Person?

Schritt 1: Unbekannte festlegen

Wir wählen Bens Geldbetrag als Unbekannte:

$$x=\text{Bens Geldbetrag in Euro}.$$

Anna hat $12\,€$ mehr. Daher hat sie

$$x+12$$

Euro.

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Zusammen besitzen beide $54\,€$:

$$x+(x+12)=54.$$

Wir vereinfachen die linke Seite:

$$2x+12=54.$$

Schritt 3: Gleichung lösen

$$\begin{aligned} 2x+12&=54 &&/-12\\ 2x&=42 &&/:2\\ x&=21 \end{aligned}$$

Ben hat also $21\,€$.

Anna besitzt $12\,€$ mehr:

$$21+12=33.$$

Schritt 4: Lösung deuten

$$\boxed{\text{Ben hat }21\,€\text{ und Anna hat }33\,€.}$$

Schritt 5: Probe

Zuerst prüfen wir den Gesamtbetrag:

$$21+33=54.$$

Dann prüfen wir den Unterschied:

$$33-21=12.$$

Beide Angaben aus dem Text stimmen.

13. Beispiel: „um“ und „mal“ nicht verwechseln

Eine Zahl ist um $5$ größer als eine andere Zahl. Das bedeutet eine Addition:

$$x+5.$$

Eine Zahl ist fünfmal so groß wie eine andere Zahl. Das bedeutet eine Multiplikation:

$$5x.$$

Vergleiche:

$$\boxed{\text{um }5\text{ größer}=x+5}$$

aber

$$\boxed{\text{fünfmal so groß}=5x}.$$

Dieser Unterschied ist bei Sachaufgaben besonders wichtig.

14. Typische Fehler

Fehler 1: Keine Bedeutung für $x$ festlegen

Nur

$$x=?$$

zu schreiben, macht die spätere Deutung unnötig schwierig.

Besser:

$$\boxed{x=\text{gesuchte Anzahl der Karten}}.$$

Fehler 2: Eine Zahl aus dem Text sofort mit $x$ gleichsetzen

Nicht jede im Text vorkommende Zahl ist die gesuchte Größe. Lies zuerst die Frage und entscheide dann, wofür $x$ stehen soll.

Fehler 3: „um 4 mehr“ und „viermal so viel“ verwechseln

$$\text{um }4\text{ mehr}: x+4$$ $$\text{viermal so viel}: 4x$$

Fehler 4: Nur eine Seite der Gleichung verändern

Aus

$$3x+5=20$$

wird nicht einfach $3x=20$.

Richtig ist:

$$\begin{aligned} 3x+5&=20 &&/-5\\ 3x&=15 &&/:3\\ x&=5. \end{aligned}$$

Fehler 5: Nach $x=\dots$ aufhören

Bei einer Sachaufgabe gehört ein Antwortsatz dazu. Die Zahl muss zur ursprünglichen Größe und Einheit zurückgeführt werden.

Fehler 6: Die Probe nur mit dem letzten Rechenschritt machen

Am aussagekräftigsten ist die Probe mit der ursprünglichen Gleichung oder direkt mit den Angaben des Sachtexts.

15. Checkliste für jede Sachaufgabe

Bevor du deine Lösung abgibst, kannst du diese fünf Fragen prüfen:

1. Habe ich eindeutig geschrieben, wofür $x$ steht?
2. Passt meine Gleichung wirklich zum Text?
3. Habe ich die Gleichung auf beiden Seiten gleich umgeformt?
4. Habe ich die Lösung mit Einheit und Antwortsatz gedeutet?
5. Habe ich mit der ursprünglichen Gleichung oder dem Sachtext eine Probe gemacht?

Wenn du alle fünf Fragen mit Ja beantworten kannst, ist deine Lösung vollständig.

16. Das Wichtigste auf einen Blick

Eine lineare Sachaufgabe löst du in einer festen Reihenfolge:

$$\boxed{ \text{Unbekannte} \;\longrightarrow\; \text{Gleichung} \;\longrightarrow\; \text{Lösen} \;\longrightarrow\; \text{Deuten} \;\longrightarrow\; \text{Probe} }$$

Die Variable muss eine klare Bedeutung haben.

Aus dem Text stellst du eine Gleichung auf, zum Beispiel

$$4x+6=34.$$

Beim Lösen steht die Äquivalenzumformung immer in der Zeile, auf die sie angewendet wird:

$$\begin{aligned} 4x+6&=34 &&/-6\\ 4x&=28 &&/:4\\ x&=7. \end{aligned}$$

Danach deutest du die Zahl im Kontext:

$$\boxed{\text{Ein Heft kostet }7\,€.}$$

Zum Schluss prüfst du die Lösung in der ursprünglichen Gleichung und in der beschriebenen Situation.