Ungleichungen – Grundlagen

Kompetenzcode: MG 2.8

Bei einer Gleichung sind zwei Terme gleich groß:

$$3x+1=10.$$

Bei einer Ungleichung werden dagegen zwei Größen miteinander verglichen. Zum Beispiel:

$$x<5.$$

Das bedeutet nicht, dass nur eine einzige Zahl gesucht wird. Hier sind alle Zahlen kleiner als 5 Lösungen, zum Beispiel

$$4,\quad 0,\quad -3,\quad 4{,}9.$$

Die Zahl $5$ selbst gehört bei $x<5$ nicht dazu.

Merke: Eine Gleichung beschreibt Gleichheit. Eine Ungleichung beschreibt, welche Seite kleiner oder größer ist. Deshalb kann eine Ungleichung sehr viele Lösungen besitzen.

1. Die vier Ungleichheitszeichen

Es gibt vier wichtige Vergleichszeichen:

Die Zeichen $<$ und $>$ schließen Gleichheit aus.

Die Zeichen $\le$ und $\ge$ erlauben Gleichheit.

Beispiel: Ist der Randwert dabei?

Bei

$$x<4$$

ist $4$ keine Lösung.

Bei

$$x\le4$$

ist $4$ eine Lösung.

Genau dieser Unterschied wird später auf der Zahlengeraden durch einen offenen oder geschlossenen Punkt sichtbar.

2. Wie liest man das Zeichen richtig?

Das Ungleichheitszeichen wird immer von links nach rechts gelesen.

$$2<8$$

heißt:

$$\boxed{2\text{ ist kleiner als }8}.$$

Drehen wir die beiden Zahlen um, muss auch das Zeichen anders aussehen:

$$8>2.$$

Beide Aussagen bedeuten dasselbe.

Eine hilfreiche Vorstellung ist: Die weite Seite des Zeichens zeigt zur größeren Zahl, die Spitze zur kleineren Zahl.

Zum Beispiel:

$$3<10$$

Die weite Seite zeigt zu $10$, der größeren Zahl.

Tipp: Lies die Aussage immer vollständig in Worten. Das verhindert, dass du $<$ und $>$ vertauschst.

3. Was bedeutet „eine Ungleichung lösen“?

Nehmen wir

$$x+2<7.$$

Wir suchen nicht nur einen einzigen Wert für $x$. Wir suchen alle Werte, für die die Aussage stimmt.

Einige Testwerte:

Für $x=1$:

$$1+2<7$$ $$3<7$$

Die Aussage stimmt. Also ist $1$ eine Lösung.

Für $x=6$:

$$6+2<7$$ $$8<7$$

Die Aussage ist falsch. Also ist $6$ keine Lösung.

Durch Umformen können wir alle Lösungen auf einmal finden.

4. Addition und Subtraktion

Bei einer Ungleichung darfst du auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.

Das Ungleichheitszeichen bleibt dabei gleich.

Beispiel 1

Löse

$$x+4<9.$$

Wir wollen $x$ allein haben. Deshalb ziehen wir auf beiden Seiten $4$ ab:

$$\begin{aligned} x+4&<9 &&/-4\\ x&<5. \end{aligned}$$

Die Lösung lautet:

$$\boxed{x<5}.$$

Also sind alle Zahlen kleiner als $5$ Lösungen.

Beispiel 2

Löse

$$x-7\ge2.$$

Wir addieren auf beiden Seiten $7$:

$$\begin{aligned} x-7&\ge2 &&/+7\\ x&\ge9. \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$\boxed{x\ge9}.$$

Die Zahl $9$ gehört dazu, weil das Zeichen $\ge$ lautet.

Merke: Beim Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert.

5. Warum darf man auf beiden Seiten dasselbe tun?

Stell dir zwei Zahlen vor:

$$4<9.$$

Addieren wir auf beiden Seiten $3$, erhalten wir

$$7<12.$$

Die Reihenfolge bleibt gleich: Die linke Zahl ist weiterhin kleiner.

Auch beim Subtrahieren bleibt die Reihenfolge erhalten:

$$4<9$$ $$1<6.$$

Deshalb funktionieren Addition und Subtraktion bei Ungleichungen ähnlich wie bei Gleichungen.

6. Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl

Auch eine Multiplikation oder Division ist erlaubt, wenn wir auf beiden Seiten dasselbe tun.

Ist die Zahl, mit der wir multiplizieren oder dividieren, positiv, bleibt das Ungleichheitszeichen gleich.

Beispiel 1: Division durch eine positive Zahl

Löse

$$3x\le12.$$

Wir dividieren beide Seiten durch $3$:

$$\begin{aligned} 3x&\le12 &&/:3\\ x&\le4. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{x\le4}.$$

Beispiel 2: Multiplikation mit einer positiven Zahl

Löse

$$\frac{x}{5}>-2.$$

Wir multiplizieren beide Seiten mit $5$:

$$\begin{aligned} \frac{x}{5}&>-2 &&/\cdot5\\ x&>-10. \end{aligned}$$

Damit lautet die Lösungsmenge:

$$\boxed{x>-10}.$$

Merke: Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten mit derselben positiven Zahl, bleibt das Ungleichheitszeichen gleich.

7. Die besondere Regel bei negativen Zahlen

Jetzt kommt die wichtigste Besonderheit bei Ungleichungen.

Betrachten wir zunächst eine wahre Aussage:

$$2<5.$$

Multiplizieren wir beide Zahlen mit $-1$, erhalten wir

$$-2\quad\text{und}\quad -5.$$

Auf der Zahlengeraden gilt aber

$$-2>-5.$$

Das Zeichen musste sich also umdrehen.

Warum? Durch die Multiplikation mit $-1$ werden die Zahlen an der $0$ gespiegelt. Links und rechts tauschen ihre Rollen. Deshalb wird aus „kleiner“ plötzlich „größer“.

Merke: Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen:

$$<\;\longleftrightarrow\;>$$

und

$$\le\;\longleftrightarrow\;\ge.$$

8. Beispiel mit einer negativen Zahl

Löse

$$-2x<6.$$

Wir teilen beide Seiten durch $-2$. Weil wir durch eine negative Zahl dividieren, drehen wir das Zeichen um:

$$\begin{aligned} -2x&<6 &&/:(-2)\quad\text{Zeichen umdrehen}\\ x&>-3. \end{aligned}$$

Die Lösung ist also

$$\boxed{x>-3}.$$

Kurze Probe

Nehmen wir einen Wert, der größer als $-3$ ist, zum Beispiel $x=0$:

$$-2\cdot0<6$$ $$0<6.$$

Das stimmt.

Nehmen wir einen Wert, der nicht zur Lösungsmenge gehört, zum Beispiel $x=-4$:

$$-2\cdot(-4)<6$$ $$8<6.$$

Das ist falsch.

Die Richtung $x>-3$ passt also.

9. Mehrere Umformungsschritte

Ungleichungen können wie Gleichungen mehrere Rechenschritte benötigen.

Beispiel

Löse

$$-3x+5\le14.$$

Zuerst entfernen wir $+5$:

$$\begin{aligned} -3x+5&\le14 &&/-5\\ -3x&\le9 &&/:(-3)\quad\text{Zeichen umdrehen}\\ x&\ge-3. \end{aligned}$$

Beachte die Reihenfolge:

1. Beim Subtrahieren von $5$ bleibt das Zeichen $\le$ gleich.
2. Erst beim Dividieren durch $-3$ wird aus $\le$ das Zeichen $\ge$.

Damit gilt:

$$\boxed{x\ge-3}.$$

10. Häufiger Fehler: Das Zeichen zu früh umdrehen

Betrachten wir wieder

$$-3x+5\le14.$$

Beim ersten Schritt rechnen wir $-5$. Das ist eine Subtraktion, keine Division durch eine negative Zahl.

Deshalb bleibt das Zeichen zunächst gleich:

$$\begin{aligned} -3x+5&\le14 &&/-5\\ -3x&\le9. \end{aligned}$$

Erst jetzt teilen wir durch $-3$:

$$\begin{aligned} -3x&\le9 &&/:(-3)\quad\text{Zeichen umdrehen}\\ x&\ge-3. \end{aligned}$$

Wichtig: Nicht das Minuszeichen irgendwo in der Aufgabe entscheidet. Das Zeichen wird nur dann umgedreht, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst.

11. Die Lösungsmenge auf der Zahlengeraden

Eine Ungleichung hat häufig unendlich viele Lösungen. Deshalb ist eine Zahlengerade besonders praktisch.

Beispiel: $x<3$

Gesucht sind alle Zahlen links von $3$.

Die Zahl $3$ selbst gehört nicht dazu.

Deshalb zeichnen wir bei $3$ einen offenen Punkt und markieren den Bereich nach links.

Beispiel: $x\ge-2$

Gesucht sind alle Zahlen größer als $-2$ und zusätzlich $-2$ selbst.

Deshalb zeichnen wir bei $-2$ einen geschlossenen Punkt und markieren den Bereich nach rechts.

Die Grafik am Beginn des Kapitels zeigt genau diese beiden Fälle.

12. Offener oder geschlossener Randpunkt?

Hier hilft eine einfache Regel:

Warum?

Bei

$$x<4$$

würde das Einsetzen von $x=4$ zu

$$4<4$$

führen. Das ist falsch.

Bei

$$x\le4$$

entsteht dagegen

$$4\le4.$$

Das ist richtig.

Deshalb gehört $4$ im zweiten Fall zur Lösungsmenge.

13. Welche Richtung wird markiert?

Die Ungleichung selbst sagt dir, in welche Richtung du auf der Zahlengeraden markieren musst.

Kleinere Zahlen

Bei

$$x<2$$

oder

$$x\le2$$

liegen die Lösungen links von $2$.

Größere Zahlen

Bei

$$x>2$$

oder

$$x\ge2$$

liegen die Lösungen rechts von $2$.

Tipp: Lies die Lösung vor dem Zeichnen in Worten: „x ist kleiner als 2“ bedeutet alle Zahlen links von 2. „x ist größer als 2“ bedeutet alle Zahlen rechts von 2.

14. Lösung durch einen Testwert prüfen

Bei Ungleichungen kann eine Probe sehr hilfreich sein, besonders wenn du unsicher bist, ob du das Zeichen richtig umgedreht hast.

Nehmen wir

$$x>-3.$$

Wähle einen einfachen Wert aus dem markierten Bereich, zum Beispiel $x=0$, und setze ihn in die ursprüngliche Ungleichung

$$-2x<6$$

ein:

$$-2\cdot0<6$$ $$0<6.$$

Die Aussage stimmt.

Du kannst zusätzlich einen Wert außerhalb des Bereichs testen. So erkennst du schnell, ob die gefundene Richtung plausibel ist.

15. Typische Fehler

Fehler 1: $<$ und $>$ vertauschen

Lies die Ungleichung in Worten und achte darauf, dass die weite Seite des Zeichens zur größeren Zahl zeigt.

Fehler 2: Bei Addition oder Subtraktion das Zeichen umdrehen

Aus

$$x+4<9$$

wird korrekt

$$\begin{aligned} x+4&<9 &&/-4\\ x&<5. \end{aligned}$$

Das Zeichen bleibt gleich.

Fehler 3: Bei Division durch eine negative Zahl das Zeichen nicht umdrehen

Falsch wäre:

$$-2x<6\quad\Longrightarrow\quad x<-3.$$

Richtig ist:

$$\begin{aligned} -2x&<6 &&/:(-2)\quad\text{Zeichen umdrehen}\\ x&>-3. \end{aligned}$$

Fehler 4: Den Randpunkt falsch markieren

Bei $<$ und $>$ ist der Randpunkt offen.

Bei $\le$ und $\ge$ ist der Randpunkt geschlossen.

Fehler 5: Nur einen Wert als Lösung angeben

Eine Ungleichung wie

$$x<5$$

hat nicht nur die Lösung $4$, sondern unendlich viele Lösungen. Gesucht ist der ganze Lösungsbereich.

16. Der sichere Ablauf

Wenn du eine lineare Ungleichung lösen und darstellen sollst, gehe so vor:

1. Ungleichheitszeichen lesen: Was bedeutet $<$, $>$, $\le$ oder $\ge$?
2. Variable isolieren: Addiere oder subtrahiere auf beiden Seiten dieselbe Zahl.
3. Faktor entfernen: Multipliziere oder dividiere auf beiden Seiten mit derselben von $0$ verschiedenen Zahl.
4. Negative Zahl prüfen: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Zeichen umdrehen.

17. Das Wichtigste auf einen Blick

Die vier Zeichen bedeuten:

$$<\;\text{ kleiner als},\qquad >\;\text{ größer als},$$ $$\le\;\text{ kleiner oder gleich},\qquad \ge\;\text{ größer oder gleich}.$$

Bei Addition und Subtraktion bleibt das Zeichen gleich:

$$\begin{aligned} x+6&>10 &&/-6\\ x&>4. \end{aligned}$$

Bei Multiplikation oder Division mit einer positiven Zahl bleibt es ebenfalls gleich:

$$\begin{aligned} 4x&\le20 &&/:4\\ x&\le5. \end{aligned}$$

Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird es umgedreht:

$$\begin{aligned} -4x&\le20 &&/:(-4)\quad\text{Zeichen umdrehen}\\ x&\ge-5. \end{aligned}$$

Für die Zahlengerade gilt:

$$\boxed{<\text{ oder }>\;\Rightarrow\;\text{offener Randpunkt}}$$ $$\boxed{\le\text{ oder }\ge\;\Rightarrow\;\text{geschlossener Randpunkt}}$$

Und ganz wichtig: Eine Ungleichung beschreibt meistens einen ganzen Bereich von Lösungen, nicht nur eine einzelne Zahl.