Prozentuelle Veränderungen

Kompetenzcode: MG 3.7

Preise steigen, Mengen werden kleiner, ein Rabatt wird abgezogen oder eine Zahl wächst um einige Prozent. In all diesen Situationen verändert sich ein Ausgangswert.

Der Ausgangswert entspricht immer

$$100\%.$$

Von diesem Wert aus wird eine prozentuelle Veränderung berechnet.

Merke: Bei einer prozentuellen Veränderung brauchst du immer einen Bezugspunkt. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Ausgangswert vor der Veränderung.

1. Prozentuelle Erhöhung erkennen

Eine prozentuelle Erhöhung liegt vor, wenn ein Wert größer wird.

Typische Formulierungen sind:

• „steigt um $p\%$“
• „wird um $p\%$ erhöht“
• „wächst um $p\%$“
• „wird um $p\%$ teurer“
• „nimmt um $p\%$ zu“

Beispiel

Ein Fahrrad kostet zuerst

$$400\,€.$$

Der Preis steigt um

$$5\%.$$

Der neue Preis ist also größer als $400\,€$. Deshalb handelt es sich um eine prozentuelle Erhöhung.

Der Ausgangswert

$$400\,€$$

entspricht

$$100\%.$$

Nach einer Erhöhung um $5\%$ entspricht der neue Wert

$$100\%+5\%=105\%.$$

2. Prozentuelle Erhöhung berechnen

Wir bleiben beim Fahrrad mit dem Ausgangspreis

$$400\,€.$$

Der Preis steigt um

$$5\%.$$

Zuerst berechnen wir $5\%$ von $400\,€$:

$$400\cdot\frac{5}{100}=20.$$

Die Erhöhung beträgt also

$$20\,€.$$

Nun addieren wir die Erhöhung zum Ausgangswert:

$$400+20=420.$$

Der neue Preis ist

$$\boxed{420\,€}.$$

Die Rechnung mit dem Änderungsfaktor

Statt zuerst den Prozentwert zu berechnen und dann zu addieren, können wir direkt mit einem Änderungsfaktor rechnen.

Bei einer Erhöhung um $5\%$ beträgt der neue Wert

$$105\%=1{,}05.$$

Der Änderungsfaktor ist daher

$$1+\frac{5}{100}=1{,}05.$$

Damit:

$$400\cdot1{,}05=420.$$

Wir erhalten wieder

$$\boxed{420\,€}.$$

Merke: Bei einer Erhöhung um $p\%$ lautet der Änderungsfaktor

$$\boxed{1+\frac{p}{100}}.$$

3. Prozentuelle Verringerung erkennen

Eine prozentuelle Verringerung liegt vor, wenn ein Wert kleiner wird.

Typische Formulierungen sind:

• „sinkt um $p\%$“
• „wird um $p\%$ reduziert“
• „nimmt um $p\%$ ab“
• „wird um $p\%$ billiger“
• „es gibt $p\%$ Rabatt“

Beispiel

Eine Jacke kostet ursprünglich

$$120\,€.$$

Sie wird um

$$25\%$$

billiger.

Der neue Preis ist kleiner als $120\,€$. Deshalb handelt es sich um eine prozentuelle Verringerung.

Der Ausgangswert entspricht

$$100\%.$$

Nach einer Verringerung um $25\%$ bleiben

$$100\%-25\%=75\%.$$

4. Prozentuelle Verringerung berechnen

Die Jacke kostet ursprünglich

$$120\,€.$$

Der Preis wird um

$$25\%$$

verringert.

Zuerst berechnen wir $25\%$ von $120\,€$:

$$120\cdot\frac{25}{100}=30.$$

Die Verringerung beträgt

$$30\,€.$$

Nun ziehen wir diesen Betrag vom Ausgangswert ab:

$$120-30=90.$$

Der neue Preis ist

$$\boxed{90\,€}.$$

Wieder mit dem Änderungsfaktor

Nach einer Verringerung um $25\%$ bleiben

$$75\%=0{,}75.$$

Der Änderungsfaktor ist also

$$1-\frac{25}{100}=0{,}75.$$

Damit:

$$120\cdot0{,}75=90.$$

Merke: Bei einer Verringerung um $p\%$ lautet der Änderungsfaktor

$$\boxed{1-\frac{p}{100}}.$$

5. Den neuen Wert nach einer Prozentänderung berechnen

Für viele Aufgaben ist der Änderungsfaktor die schnellste Methode.

Erhöhung

Ein Guthaben von

$$800\,€$$

steigt um

$$6\%.$$

Der Faktor ist

$$1+\frac{6}{100}=1{,}06.$$

Also:

$$800\cdot1{,}06=848.$$

Der neue Wert beträgt

$$\boxed{848\,€}.$$

Verringerung

Eine Menge von

$$250\,\text{kg}$$

wird um

$$12\%$$

kleiner.

Der Faktor ist

$$1-\frac{12}{100}=0{,}88.$$

Also:

$$250\cdot0{,}88=220.$$

Der neue Wert beträgt

$$\boxed{220\,\text{kg}}.$$

Allgemeine Formel

Wenn $G$ der Ausgangswert und $N$ der neue Wert ist, gilt bei einer Erhöhung:

$$\boxed{N=G\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)}.$$

Bei einer Verringerung gilt:

$$\boxed{N=G\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)}.$$

6. Ausgangswert nach einer Prozentänderung bestimmen

Manchmal ist nicht der neue Wert gesucht, sondern der ursprüngliche Wert.

Dann musst du die Veränderung rückwärts rechnen.

Beispiel: Preis vor einem Rabatt

Nach einem Rabatt von

$$20\%$$

kostet ein Pullover noch

$$64\,€.$$

Nach einer Verringerung um $20\%$ bleiben

$$80\%=0{,}80.$$

Der neue Preis $64\,€$ ist also $80\%$ des ursprünglichen Preises.

Nennen wir den ursprünglichen Preis $G$. Dann gilt:

$$64=G\cdot0{,}80.$$

Wir lösen nach $G$ auf:

$$\begin{aligned} 64&=G\cdot0{,}80 &&/:0{,}80\\ 80&=G. \end{aligned}$$

Der ursprüngliche Preis war

$$\boxed{80\,€}.$$

Beispiel: Wert vor einer Erhöhung

Nach einer Erhöhung um

$$15\%$$

beträgt ein Wert

$$230.$$

Der Änderungsfaktor ist

$$1{,}15.$$

Also:

$$230=G\cdot1{,}15.$$

Nun teilen wir durch $1{,}15$:

$$\begin{aligned} 230&=G\cdot1{,}15 &&/:1{,}15\\ 200&=G. \end{aligned}$$

Der Ausgangswert war

$$\boxed{200}.$$

Tipp: Wenn der Wert nach der Veränderung gegeben ist und der Wert davor gesucht wird, darfst du nicht noch einmal mit demselben Faktor multiplizieren. Du musst durch den Änderungsfaktor dividieren.

7. Erhöhung oder Verringerung aus zwei Werten erkennen

Manchmal stehen nur der alte und der neue Wert da.

Beispiel:

$$\text{alt}=80,\qquad \text{neu}=92.$$

Da

$$92>80,$$

liegt eine Erhöhung vor.

Die absolute Erhöhung beträgt

$$92-80=12.$$

Um herauszufinden, wie viel Prozent das sind, beziehen wir die Veränderung auf den alten Wert:

$$\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%.$$

Der Wert wurde also um

$$\boxed{15\%}$$

erhöht.

Bei einer Verringerung funktioniert es genauso.

Beispiel:

$$\text{alt}=250,\qquad \text{neu}=200.$$

Die Verringerung beträgt

$$250-200=50.$$

Bezogen auf den Ausgangswert:

$$\frac{50}{250}\cdot100\%=20\%.$$

Der Wert wurde um

$$\boxed{20\%}$$

verringert.

8. Mehrere Prozentänderungen nacheinander

Wenn ein Wert mehrmals verändert wird, bezieht sich jede neue Prozentänderung auf den jeweils aktuellen Wert.

Deshalb darfst du die Prozentsätze normalerweise nicht einfach addieren oder subtrahieren.

Beispiel: zuerst $10\%$ mehr, dann $20\%$ mehr

Ausgangswert:

$$500.$$

Erste Erhöhung um $10\%$:

$$500\cdot1{,}10=550.$$

Danach Erhöhung um $20\%$:

$$550\cdot1{,}20=660.$$

Der Endwert ist

$$\boxed{660}.$$

Wir können beide Faktoren auch direkt multiplizieren:

$$500\cdot1{,}10\cdot1{,}20=660.$$

Der gesamte Änderungsfaktor ist

$$1{,}10\cdot1{,}20=1{,}32.$$

Damit liegt insgesamt eine Erhöhung um

$$32\%$$

vor.

Nicht um $30\%$.

9. Warum sich $+20\%$ und $-20\%$ nicht aufheben

Das ist ein besonders häufiger Fehler.

Beginnen wir mit

$$100.$$

Zuerst erhöhen wir um $20\%$:

$$100\cdot1{,}20=120.$$

Nun verringern wir den neuen Wert $120$ um $20\%$:

$$120\cdot0{,}80=96.$$

Am Ende erhalten wir

$$\boxed{96}.$$

Wir sind also nicht wieder bei $100$.

Warum?

Die erste Veränderung von $20\%$ wurde von $100$ berechnet:

$$20\%\text{ von }100=20.$$

Die zweite Veränderung von $20\%$ wurde aber von $120$ berechnet:

$$20\%\text{ von }120=24.$$

Die beiden Veränderungen haben also unterschiedliche Bezugswerte.

Merke: Bei mehreren Prozentänderungen arbeitest du mit Änderungsfaktoren und multiplizierst sie:

$$\boxed{G\cdot q_1\cdot q_2\cdot\ldots}$$

10. Eine vollständige Sachaufgabe

Ein Handy kostet zunächst

$$600\,€.$$

Zuerst wird der Preis um $15\%$ reduziert. Danach wird der neue Preis um $5\%$ erhöht.

Schritt 1: Faktor für die Verringerung

$$1-\frac{15}{100}=0{,}85.$$

Schritt 2: Faktor für die Erhöhung

$$1+\frac{5}{100}=1{,}05.$$

Schritt 3: Beide Veränderungen nacheinander anwenden

$$600\cdot0{,}85\cdot1{,}05=535{,}50.$$

Der Endpreis beträgt

$$\boxed{535{,}50\,€}.$$

Schritt 4: Ergebnis deuten

Der Endpreis liegt unter dem ursprünglichen Preis von $600\,€$.

Das ist sinnvoll, weil die Verringerung um $15\%$ stärker wirkt als die anschließende Erhöhung um $5\%$.

11. Typische Fehler

Fehler 1: Prozentwert und neuen Wert verwechseln

Bei einer Erhöhung von $200\,€$ um $10\%$ gilt:

$$200\cdot\frac{10}{100}=20.$$

Die $20\,€$ sind nur die Erhöhung.

Der neue Wert ist

$$200+20=220.$$

Fehler 2: Bei einer Verringerung den falschen Faktor verwenden

Eine Verringerung um $30\%$ bedeutet:

$$100\%-30\%=70\%.$$

Der Faktor ist

$$0{,}70,$$

nicht $0{,}30$.

Fehler 3: Beim Rückwärtsrechnen nochmals multiplizieren

Wenn $90\,€$ bereits der Preis nach einer Verringerung um $10\%$ sind, gilt:

$$90=G\cdot0{,}90.$$

Gesucht ist $G$. Deshalb muss durch $0{,}90$ dividiert werden.

Fehler 4: Mehrere Prozentänderungen einfach zusammenzählen

$$+20\%\quad\text{und danach}\quad-20\%$$

ergeben nicht $0\%$ Gesamtänderung.

Richtig ist:

$$1{,}20\cdot0{,}80=0{,}96.$$

Der Endwert entspricht also $96\%$ des Ausgangswerts.

12. Das Wichtigste auf einen Blick

Ausgangswert:

$$\boxed{100\%}.$$

Erhöhung um $p\%$:

$$\boxed{q=1+\frac{p}{100}}$$

und

$$\boxed{N=G\cdot q}.$$

Verringerung um $p\%$:

$$\boxed{q=1-\frac{p}{100}}$$

und ebenfalls

$$\boxed{N=G\cdot q}.$$

Ist der neue Wert gegeben und der Ausgangswert gesucht:

$$\boxed{G=\frac{N}{q}}.$$

Bei mehreren Veränderungen:

$$\boxed{N=G\cdot q_1\cdot q_2\cdot\ldots}.$$

Frage dich bei jeder Aufgabe zuerst:

1. Was ist der Ausgangswert?
2. Wird der Wert größer oder kleiner?
3. Welcher Änderungsfaktor gehört dazu?
4. Ist der neue Wert oder der ursprüngliche Wert gesucht?