Zinsrechnung – Grundlagen

Kompetenzcode: MG 3.8

Wenn du Geld auf einem Konto anlegst, kann die Bank dafür Zinsen gutschreiben. Die Zinsen sind ein bestimmter Prozentsatz des angelegten Geldes.

Für die Grundaufgaben der Zinsrechnung brauchst du drei Größen:

$$\boxed{K,\quad p\%,\quad Z}$$

Dabei bedeutet:

• $K$ ... Kapital: der Geldbetrag, von dem die Zinsen berechnet werden
• $p\%$ ... Zinssatz: wie viel Prozent des Kapitals als Zinsen dazukommen
• $Z$ ... Zinsen: der Geldbetrag, der durch die Verzinsung dazukommt

In diesem Kapitel betrachten wir eine Verzinsung für ein Jahr.

1. Kapital, Zinssatz und Zinsen unterscheiden

Schauen wir uns eine typische Aussage an:

Auf einem Konto liegen $800\,€$. Der Jahreszinssatz beträgt $3\%$.

Hier ist

$$K=800\,€$$

das Kapital.

Der Zinssatz ist

$$p=3,$$

also

$$p\%=3\%.$$

Die Zinsen kennen wir noch nicht. Sie werden aus Kapital und Zinssatz berechnet.

Woran erkennst du die drei Größen?

Kapital $K$ ist der Geldbetrag, der verzinst wird.

Zinssatz $p\%$ ist eine Prozentangabe.

Zinsen $Z$ sind ein Geldbetrag. Sie haben daher dieselbe Geldeinheit wie das Kapital, zum Beispiel Euro.

Merke: Der Zinssatz ist eine Prozentangabe. Die Zinsen sind ein Geldbetrag.

Beispiel

Gegeben sind:

$$K=1\,200\,€, \qquad p=2.$$

Gesucht sind die Zinsen $Z$.

Die Aussage „$2\%$ Zinsen“ bedeutet:

$$2\%\text{ von }1\,200\,€.$$

Damit ist die Zinsrechnung eine besondere Form der Prozentrechnung.

2. Jahreszinsen berechnen

Die Jahreszinsen berechnest du mit

$$\boxed{Z=K\cdot\frac{p}{100}}.$$

Die Formel bedeutet:

Berechne $p\%$ vom Kapital $K$.

Beispiel 1

Auf einem Konto liegen

$$K=800\,€.$$

Der Jahreszinssatz beträgt

$$p=3.$$

Gesucht sind die Jahreszinsen.

Wir setzen in die Formel ein:

$$Z=800\cdot\frac{3}{100}.$$

Nun rechnen wir:

$$Z=24.$$

Damit erhältst du nach einem Jahr

$$\boxed{24\,€}$$

Zinsen.

Warum funktioniert die Formel?

$3\%$ bedeutet

$$\frac{3}{100}.$$

Deshalb sind $3\%$ von $800\,€$

$$800\cdot\frac{3}{100}=24.$$

Beispiel 2

Ein Kapital von

$$2\,500\,€$$

wird mit

$$1{,}6\%$$

pro Jahr verzinst.

Dann gilt:

$$Z=2\,500\cdot\frac{1{,}6}{100}.$$ $$Z=40.$$

Die Jahreszinsen betragen

$$\boxed{40\,€}.$$

Tipp: Prüfe die Größenordnung. Bei einem kleinen Zinssatz von wenigen Prozent müssen die Zinsen deutlich kleiner als das Kapital sein.

3. Kapital aus Zinsen und Zinssatz bestimmen

Manchmal kennst du die Zinsen und den Zinssatz, aber das ursprüngliche Kapital ist gesucht.

Ausgangspunkt ist wieder

$$Z=K\cdot\frac{p}{100}.$$

Beispiel

Ein Konto bringt in einem Jahr

$$18\,€$$

Zinsen.

Der Zinssatz beträgt

$$3\%.$$

Wie groß war das Kapital?

Wir setzen ein:

$$\begin{aligned} 18&=K\cdot\frac{3}{100} &&/\cdot100\\ 1800&=3K &&/:3\\ 600&=K \end{aligned}$$

Also war das Kapital

$$\boxed{600\,€}.$$

Die Formel für das Kapital

Allgemein können wir die Zinsformel nach $K$ umformen:

$$\begin{aligned} Z&=K\cdot\frac{p}{100} &&/\cdot100\\ 100Z&=Kp &&/:p\\ \frac{100Z}{p}&=K \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$\boxed{K=\frac{100Z}{p}}.$$

Probe

Für

$$K=600\,€, \qquad p=3$$

erhalten wir:

$$600\cdot\frac{3}{100}=18.$$

Die Probe stimmt.

4. Zinssatz bestimmen

Nun kennen wir Kapital und Zinsen. Gesucht ist der Zinssatz.

Beispiel

Ein Kapital von

$$800\,€$$

bringt in einem Jahr

$$24\,€$$

Zinsen.

Wie hoch ist der Zinssatz?

Wir starten wieder mit

$$Z=K\cdot\frac{p}{100}.$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 24&=800\cdot\frac{p}{100} &&/\cdot100\\ 2400&=800p &&/:800\\ 3&=p \end{aligned}$$

Der Zinssatz beträgt also

$$\boxed{3\%}.$$

Die Formel für den Zinssatz

Allgemein gilt:

$$\begin{aligned} Z&=K\cdot\frac{p}{100} &&/\cdot100\\ 100Z&=Kp &&/:K\\ \frac{100Z}{K}&=p \end{aligned}$$

Daher:

$$\boxed{p=\frac{100Z}{K}}.$$

Achte am Ende darauf, das Ergebnis als Prozentwert anzugeben:

$$p=3 \quad\Longrightarrow\quad p\%=3\%.$$

5. Endkapital nach einer Verzinsung berechnen

Nach einem Jahr besitzt du nicht nur die Zinsen. Das ursprüngliche Kapital ist ebenfalls noch vorhanden.

Das Endkapital besteht deshalb aus

$$\text{Kapital}+\text{Zinsen}.$$

Wir schreiben:

$$\boxed{K_{\text{Ende}}=K+Z}.$$

Beispiel

Du legst

$$1\,500\,€$$

für ein Jahr zu

$$2\%$$

an.

Zuerst berechnen wir die Zinsen:

$$Z=1\,500\cdot\frac{2}{100}.$$ $$Z=30.$$

Nun addieren wir die Zinsen zum Kapital:

$$K_{\text{Ende}}=1\,500+30.$$ $$K_{\text{Ende}}=1\,530.$$

Nach einem Jahr befinden sich

$$\boxed{1\,530\,€}$$

auf dem Konto.

Direkte Berechnung

Das Endkapital kann auch direkt berechnet werden.

Bei einer Verzinsung von $2\%$ besitzt du nach einem Jahr

$$100\%+2\%=102\%$$

des ursprünglichen Kapitals.

Der zugehörige Faktor ist

$$1+\frac{2}{100}=1{,}02.$$

Deshalb:

$$K_{\text{Ende}}=1\,500\cdot1{,}02=1\,530.$$

Allgemein gilt:

$$\boxed{ K_{\text{Ende}} = K\left(1+\frac{p}{100}\right) }.$$

6. Eine vollständige Zinsaufgabe

Auf einem Sparbuch liegen

$$2\,400\,€.$$

Der Jahreszinssatz beträgt

$$1{,}5\%.$$

Gesucht sind die Jahreszinsen und das Endkapital nach einem Jahr.

Schritt 1: Größen zuordnen

$$K=2\,400\,€, \qquad p=1{,}5.$$

Schritt 2: Zinsen berechnen

$$Z=2\,400\cdot\frac{1{,}5}{100}.$$ $$Z=36.$$

Die Zinsen betragen

$$36\,€.$$

Schritt 3: Endkapital berechnen

$$K_{\text{Ende}}=2\,400+36.$$ $$K_{\text{Ende}}=2\,436.$$

Antwort:

$$\boxed{\text{Die Jahreszinsen betragen }36\,€\text{ und das Endkapital }2\,436\,€.}$$

7. Welche Größe ist gesucht?

Bei Zinsaufgaben ist es wichtig, zuerst zu erkennen, welche Größe fehlt.

Gesucht: Zinsen $Z$

Gegeben sind Kapital und Zinssatz:

$$\boxed{Z=K\cdot\frac{p}{100}}.$$

Gesucht: Kapital $K$

Gegeben sind Zinsen und Zinssatz:

$$\boxed{K=\frac{100Z}{p}}.$$

Gesucht: Zinssatz $p$

Gegeben sind Kapital und Zinsen:

$$\boxed{p=\frac{100Z}{K}}.$$

Gesucht: Endkapital

Zuerst Zinsen berechnen und addieren:

$$\boxed{K_{\text{Ende}}=K+Z}.$$

Oder direkt:

$$\boxed{ K_{\text{Ende}} = K\left(1+\frac{p}{100}\right) }.$$

8. Typische Fehler

Fehler 1: Zinssatz und Zinsen verwechseln

Bei

$$K=1\,000\,€, \qquad p=4$$

sind $4\%$ der Zinssatz.

Die Zinsen sind erst zu berechnen:

$$1\,000\cdot\frac{4}{100}=40.$$

Also:

$$Z=40\,€.$$

Fehler 2: Durch $p$ statt durch $100$ teilen

$5\%$ bedeutet

$$\frac{5}{100},$$

nicht

$$\frac{1}{5}.$$

Deshalb lautet die Zinsformel:

$$Z=K\cdot\frac{p}{100}.$$

Fehler 3: Zinsen mit dem Endkapital verwechseln

Bei

$$K=500\,€, \qquad Z=10\,€$$

sind $10\,€$ nur die Zinsen.

Das Endkapital ist

$$500+10=510.$$

Fehler 4: Beim Zinssatz die Prozentangabe vergessen

Wenn deine Rechnung

$$p=2{,}5$$

ergibt, lautet die Antwort

$$\boxed{2{,}5\%}.$$

9. Das Wichtigste auf einen Blick

Kapital:

$$\boxed{K}$$

Zinssatz:

$$\boxed{p\%}$$

Jahreszinsen:

$$\boxed{Z=K\cdot\frac{p}{100}}$$

Kapital aus Zinsen und Zinssatz:

$$\boxed{K=\frac{100Z}{p}}$$

Zinssatz aus Kapital und Zinsen:

$$\boxed{p=\frac{100Z}{K}}$$

Endkapital nach einem Jahr:

$$\boxed{K_{\text{Ende}}=K+Z}$$

oder direkt:

$$\boxed{ K_{\text{Ende}} = K\left(1+\frac{p}{100}\right) }.$$

Frage dich bei jeder Aufgabe zuerst:

1. Welcher Geldbetrag ist das Kapital?
2. Welche Prozentangabe ist der Zinssatz?
3. Sind die Zinsen, das Kapital, der Zinssatz oder das Endkapital gesucht?
4. Passt dein Ergebnis zur Situation?