Geschwindigkeit und zusammengesetzte Größen

Kompetenzcode: MG 3.9

Wenn du wissen möchtest, wie schnell sich etwas bewegt, brauchst du zwei Angaben:

• den zurückgelegten Weg
• die dafür benötigte Zeit

Aus diesen beiden Größen entsteht die Geschwindigkeit.

$$\boxed{v=\frac{s}{t}}$$

Dabei bedeutet:

• $v$ ... Geschwindigkeit
• $s$ ... Weg
• $t$ ... Zeit

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1. Geschwindigkeit als „Weg pro Zeit“ verstehen

Eine Geschwindigkeit sagt dir, welcher Weg in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird.

Zum Beispiel bedeutet

$$60\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

dass in einer Stunde ein Weg von

$$60\,\mathrm{km}$$

zurückgelegt wird.

Die Einheit

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

liest man als

Kilometer pro Stunde.

Das Wort pro bedeutet hier: „je“ oder „für jede“.

Also bedeutet

$$60\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

genau:

$60$ Kilometer je Stunde.

Noch ein Beispiel

Eine Gehgeschwindigkeit von

$$5\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

bedeutet:

In einer Stunde werden ungefähr

$$5\,\mathrm{km}$$

zurückgelegt.

Merke: Eine Geschwindigkeit ist immer ein Verhältnis aus Weg und Zeit.

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2. Geschwindigkeit berechnen

Die Grundformel lautet:

$$\boxed{v=\frac{s}{t}}$$

Du teilst also den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit.

Beispiel 1

Ein Fahrradfahrer legt

$$36\,\mathrm{km}$$

in

$$2\,\mathrm{h}$$

zurück.

Gesucht ist seine Geschwindigkeit.

Wir setzen ein:

$$v=\frac{36}{2}.$$ $$v=18.$$

Damit fährt er

$$\boxed{18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}.$$

Warum stimmt das?

In $2$ Stunden werden $36$ Kilometer zurückgelegt.

Pro Stunde ist das die Hälfte:

$$\frac{36\,\mathrm{km}}{2\,\mathrm{h}} = 18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$$

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3. Auf passende Einheiten achten

Bevor du eine Geschwindigkeit berechnest, müssen Weg und Zeit zu den gewünschten Einheiten passen.

Beispiel

Ein Läufer legt

$$800\,\mathrm{m}$$

in

$$4\,\mathrm{min}$$

zurück.

Dann kannst du direkt berechnen:

$$v=\frac{800\,\mathrm{m}}{4\,\mathrm{min}} = 200\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}.$$

Die Geschwindigkeit lautet also

$$\boxed{200\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}}.$$

Möchtest du die Geschwindigkeit dagegen in

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$

angeben, musst du zuerst die Zeit in Sekunden umrechnen.

Da

$$1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$$

gilt:

$$4\,\mathrm{min}=240\,\mathrm{s}.$$

Dann:

$$v=\frac{800\,\mathrm{m}}{240\,\mathrm{s}} = \frac{10}{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 3{,}33\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

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4. Den Weg aus Geschwindigkeit und Zeit berechnen

Manchmal sind Geschwindigkeit und Zeit bekannt, aber der Weg ist gesucht.

Ausgangspunkt ist:

$$v=\frac{s}{t}.$$

Wir formen nach $s$ um:

$$\begin{aligned} v&=\frac{s}{t} &&/\cdot t\\ v\cdot t&=s \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$\boxed{s=v\cdot t}.$$

Beispiel

Ein Auto fährt mit

$$80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

für

$$3\,\mathrm{h}.$$

Wie weit fährt es?

Wir verwenden:

$$s=v\cdot t.$$

Einsetzen:

$$s=80\cdot3.$$ $$s=240.$$

Das Auto legt

$$\boxed{240\,\mathrm{km}}$$

zurück.

Einheitenkontrolle

Auch die Einheiten passen:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot\mathrm{h} = \mathrm{km}.$$

Die Stunden kürzen sich weg.

Übrig bleibt die Einheit des Weges.

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5. Die Zeit aus Weg und Geschwindigkeit berechnen

Sind Weg und Geschwindigkeit bekannt, kannst du die benötigte Zeit berechnen.

Wir beginnen wieder mit:

$$v=\frac{s}{t}.$$

Zuerst multiplizieren wir mit $t$:

$$\begin{aligned} v&=\frac{s}{t} &&/\cdot t\\ v\cdot t&=s &&/:v\\ t&=\frac{s}{v} \end{aligned}$$

Damit gilt:

$$\boxed{t=\frac{s}{v}}.$$

Beispiel

Ein Zug fährt mit

$$120\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$$

Er legt

$$300\,\mathrm{km}$$

zurück.

Wie lange braucht er?

Wir setzen ein:

$$t=\frac{300}{120}.$$ $$t=2{,}5.$$

Also benötigt der Zug

$$\boxed{2{,}5\,\mathrm{h}}.$$

Das sind

$$2\,\mathrm{h}+0{,}5\,\mathrm{h}.$$

Da eine halbe Stunde

$$30\,\mathrm{min}$$

dauert, lautet die Zeit auch:

$$\boxed{2\,\mathrm{h}\ 30\,\mathrm{min}}.$$

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6. Die drei Formeln im Überblick

Aus der Grundformel

$$v=\frac{s}{t}$$

ergeben sich drei wichtige Formeln:

Geschwindigkeit

$$\boxed{v=\frac{s}{t}}$$

Weg

$$\boxed{s=v\cdot t}$$

Zeit

$$\boxed{t=\frac{s}{v}}$$

Tipp: Überlege zuerst, welche Größe gesucht ist. Wähle erst danach die passende Formel.

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7. Geschwindigkeitseinheiten umrechnen

Häufig musst du zwischen

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

und

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$

umrechnen.

Dazu brauchst du:

$$1\,\mathrm{km}=1000\,\mathrm{m}$$

und

$$1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}.$$

Deshalb gilt:

$$1\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{1000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}.$$

Kürzen ergibt:

$$1\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{1}{3{,}6}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Damit erhältst du die beiden Umrechnungsregeln:

$$\boxed{ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \longrightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} :\;3{,}6 }$$

und

$$\boxed{ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \longrightarrow \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} :\;\cdot3{,}6 }$$

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8. Von $\mathrm{km/h}$ in $\mathrm{m/s}$

Beispiel

Wandle

$$72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

in

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$

um.

Wir teilen durch $3{,}6$:

$$72:3{,}6=20.$$

Also:

$$\boxed{ 72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} }$$

Kontrolle über die Einheiten

Wir können auch vollständig umrechnen:

$$72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{72\,000\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}}.$$ $$= 20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

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9. Von $\mathrm{m/s}$ in $\mathrm{km/h}$

Beispiel

Wandle

$$15\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$

in

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

um.

Wir multiplizieren mit $3{,}6$:

$$15\cdot3{,}6=54.$$

Damit:

$$\boxed{ 15\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 54\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} }$$

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10. Was ist eine zusammengesetzte Größe?

Eine Geschwindigkeit besteht aus zwei verschiedenen Größen:

• Weg
• Zeit

Darum nennt man die Geschwindigkeit eine zusammengesetzte Größe.

Auch ihre Einheit besteht aus zwei Einheiten:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}, \qquad \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Es gibt viele weitere zusammengesetzte Größen.

Zum Beispiel:

$$2\,\frac{€}{\mathrm{kg}}$$

bedeutet:

$2$ Euro pro Kilogramm.

Oder:

$$5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}}$$

bedeutet:

$5$ Liter pro Minute.

Oder:

$$30\,\frac{\text{Stück}}{\mathrm{h}}$$

bedeutet:

$30$ Stück pro Stunde.

Die Einheit verrät dir also, welche zwei Größen miteinander verglichen werden.

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11. Zusammengesetzte Größen im Sachzusammenhang deuten

Bei einer zusammengesetzten Größe reicht es nicht, nur die Zahl zu nennen.

Du solltest auch erklären können, was sie in der Situation bedeutet.

Beispiel 1: Geschwindigkeit

$$90\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

bedeutet:

Bei gleichbleibender Geschwindigkeit werden in einer Stunde $90\,\mathrm{km}$ zurückgelegt.

Beispiel 2: Preis pro Masse

$$3{,}50\,\frac{€}{\mathrm{kg}}$$

bedeutet:

Ein Kilogramm kostet $3{,}50\,€$.

Beispiel 3: Durchfluss

$$12\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}}$$

bedeutet:

In einer Minute fließen $12$ Liter.

Merke: Bei zusammengesetzten Größen liest du den Bruchstrich meist als „pro“.

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12. Eine vollständige Sachaufgabe

Eine Radfahrerin fährt

$$45\,\mathrm{km}$$

in

$$2{,}5\,\mathrm{h}.$$

Schritt 1: Gegeben und gesucht

Gegeben:

$$s=45\,\mathrm{km}$$ $$t=2{,}5\,\mathrm{h}$$

Gesucht:

$$v$$

Schritt 2: Formel auswählen

$$v=\frac{s}{t}$$

Schritt 3: Einsetzen

$$v=\frac{45}{2{,}5}.$$

Schritt 4: Berechnen

$$v=18.$$

Schritt 5: Einheit und Bedeutung angeben

$$\boxed{ v=18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} }$$

Das bedeutet:

Die Radfahrerin legt durchschnittlich $18\,\mathrm{km}$ pro Stunde zurück.

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13. Typische Fehler

Fehler 1: Weg und Zeit vertauschen

Falsch wäre:

$$v=\frac{t}{s}.$$

Richtig ist:

$$\boxed{v=\frac{s}{t}}.$$

Geschwindigkeit bedeutet Weg pro Zeit.

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Fehler 2: Unterschiedliche Zeiteinheiten mischen

Wenn der Weg in Kilometern und die Zeit in Minuten gegeben ist, erhältst du zunächst eine Geschwindigkeit in

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{min}}.$$

Für

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

musst du die Zeit vorher in Stunden umrechnen oder anschließend die Einheit korrekt umrechnen.

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Fehler 3: Dezimalstunden falsch lesen

$$2{,}5\,\mathrm{h}$$

bedeutet nicht $2$ Stunden und $5$ Minuten.

Es gilt:

$$0{,}5\,\mathrm{h}=30\,\mathrm{min}.$$

Also:

$$\boxed{ 2{,}5\,\mathrm{h} = 2\,\mathrm{h}\ 30\,\mathrm{min} }$$

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Fehler 4: Einheit weglassen

Die Zahl

$$72$$

allein sagt noch nicht, welche Geschwindigkeit gemeint ist.

Es könnte zum Beispiel sein:

$$72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

oder

$$72\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$$

Die Einheit gehört deshalb immer zum Ergebnis.

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14. Das Wichtigste auf einen Blick

Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit:

$$\boxed{v=\frac{s}{t}}$$

Weg:

$$\boxed{s=v\cdot t}$$

Zeit:

$$\boxed{t=\frac{s}{v}}$$

Umrechnung:

$$\boxed{ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} :\;3{,}6 }$$ $$\boxed{ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \rightarrow \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} :\;\cdot3{,}6 }$$

Eine zusammengesetzte Größe verbindet zwei Größen miteinander.

Zum Beispiel:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}, \qquad \frac{€}{\mathrm{kg}}, \qquad \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}}.$$

Der Bruchstrich kann dabei meist als

$$\boxed{\text{„pro“}}$$

gelesen werden.