Oberfläche und Volumen von Körpern

Kompetenzcode: MG 4.12

Bei Körpern werden zwei Größen besonders häufig berechnet:

• die Oberfläche,
• das Volumen.

Beide beschreiben etwas völlig anderes.

Die Oberfläche sagt dir, wie groß die gesamte äußere Begrenzungsfläche eines Körpers ist.

Das Volumen sagt dir, wie viel Raum der Körper einnimmt.

In diesem Kapitel lernst du,

• Oberfläche und Volumen zu unterscheiden,
• eine passende Volumeneinheit auszuwählen,
• eine passende Oberflächeneinheit auszuwählen,
• eine fehlende Größe aus einer Volumenformel zu bestimmen,
• Sachaufgaben zur Oberfläche zu lösen,
• Sachaufgaben zum Volumen zu lösen.

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1. Oberfläche und Volumen unterscheiden

Stell dir einen geschlossenen Karton vor.

Die Oberfläche beschreibt das Material außen am Karton.

Das Volumen beschreibt den Raum im Inneren.

Oberfläche

Die Oberfläche wird meist mit

$$O$$

bezeichnet.

Sie ist eine Flächengröße.

Darum verwendest du Flächeneinheiten wie

$$\mathrm{mm}^2,\qquad \mathrm{cm}^2,\qquad \mathrm{m}^2.$$

Volumen

Das Volumen wird mit

$$V$$

bezeichnet.

Es ist eine Raumgröße.

Darum verwendest du Volumeneinheiten wie

$$\mathrm{mm}^3,\qquad \mathrm{cm}^3,\qquad \mathrm{m}^3.$$

Merke:
Oberfläche $\rightarrow$ außen $\rightarrow$ Quadrateinheit.
Volumen $\rightarrow$ innen $\rightarrow$ Kubikeinheit.

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2. Woran erkennst du in einer Sachaufgabe die gesuchte Größe?

Manche Formulierungen deuten auf die Oberfläche hin.

Zum Beispiel:

• Wie viel Material wird zum Verpacken benötigt?
• Wie groß ist die gesamte Außenfläche?
• Wie viel Fläche muss gestrichen werden?
• Wie viel Folie wird benötigt?

Dann ist meistens eine Oberfläche oder ein Teil der Oberfläche gesucht.

Andere Formulierungen deuten auf das Volumen hin.

Zum Beispiel:

• Wie viel Raum ist im Körper?
• Wie groß ist der Rauminhalt?
• Wie viel passt hinein?
• Welches Volumen hat der Körper?

Dann ist das Volumen gesucht.

Tipp: Schreibe vor der Rechnung ausdrücklich:

$$\text{Gesucht: } O$$

oder

$$\text{Gesucht: } V.$$

So vermeidest du, die falsche Formel zu verwenden.

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3. Passende Volumeneinheit auswählen

Ein Volumen wird mit einer Kubikeinheit angegeben.

Die drei besonders häufigen Einheiten sind:

$$\boxed{\mathrm{mm}^3}$$ $$\boxed{\mathrm{cm}^3}$$ $$\boxed{\mathrm{m}^3}.$$

Welche Einheit sinnvoll ist, hängt von der Größe des Körpers ab.

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4. Beispiele für passende Volumeneinheiten

Sehr kleiner Körper

Für einen kleinen Würfel oder ein winziges Bauteil kann

$$\mathrm{mm}^3$$

sinnvoll sein.

Kleiner Alltagsgegenstand

Für einen kleinen Karton oder einen Körper im Schulheft ist häufig

$$\mathrm{cm}^3$$

passend.

Großer Körper oder Raum

Für einen Raum, einen Container oder einen großen Behälter ist meist

$$\mathrm{m}^3$$

passend.

Beispiel

Ein Klassenzimmer hat eine Länge von etwa $8\,\mathrm{m}$, eine Breite von $6\,\mathrm{m}$ und eine Höhe von $3\,\mathrm{m}$.

Eine sinnvolle Volumeneinheit ist:

$$\boxed{\mathrm{m}^3}.$$

Eine Angabe in

$$\mathrm{mm}^3$$

wäre zwar theoretisch möglich, aber völlig unpraktisch.

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5. Warum ist die Volumeneinheit kubisch?

Betrachten wir einen Quader:

$$V=a\cdot b\cdot c.$$

Wenn alle drei Längen in Zentimetern angegeben sind, dann gilt bei den Einheiten:

$$\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm} = \mathrm{cm}^3.$$

Darum steht beim Volumen die Hochzahl $3$.

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6. Passende Oberflächeneinheit auswählen

Eine Oberfläche ist eine Fläche.

Darum verwendest du Quadrateinheiten:

$$\boxed{\mathrm{mm}^2}$$ $$\boxed{\mathrm{cm}^2}$$ $$\boxed{\mathrm{m}^2}.$$

Für sehr kleine Flächen ist $\mathrm{mm}^2$ sinnvoll.

Für kleinere Gegenstände ist oft $\mathrm{cm}^2$ sinnvoll.

Für große Flächen, etwa Wände oder große Körper, ist meist $\mathrm{m}^2$ sinnvoll.

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7. Warum ist die Oberflächeneinheit quadratisch?

Eine einzelne Rechteckfläche hat zum Beispiel:

$$A=a\cdot b.$$

Sind $a$ und $b$ in Zentimetern angegeben, dann gilt:

$$\mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm} = \mathrm{cm}^2.$$

Eine Oberfläche besteht aus mehreren solchen Flächen.

Die Einheit bleibt deshalb eine Quadrateinheit.

Merke:
zwei Längen werden multipliziert $\rightarrow$ $\mathrm{cm}^2$.
drei Längen werden multipliziert $\rightarrow$ $\mathrm{cm}^3$.

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8. Formeln richtig lesen

Für verschiedene Körper gibt es verschiedene Formeln.

Einige wichtige Beispiele sind:

Quader

$$\boxed{V=a\cdot b\cdot c}$$ $$\boxed{O=2(ab+ac+bc)}$$

Würfel

$$\boxed{V=a^3}$$ $$\boxed{O=6a^2}$$

Gerades Prisma

$$\boxed{V=G\cdot h}$$ $$\boxed{O=2G+M}$$

Zylinder

$$\boxed{V=\pi r^2h}$$ $$\boxed{O=2\pi r^2+2\pi rh}.$$

In diesem Kapitel geht es nicht darum, möglichst viele Formeln auswendig zu lernen.

Wichtiger ist:

1. Körper erkennen.
2. Passende Formel auswählen.
3. Gegebene Größen einsetzen.
4. Gesuchte Größe bestimmen.
5. Einheit prüfen.

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9. Fehlende Größe aus einer Volumenformel bestimmen

Manchmal ist nicht das Volumen gesucht.

Stattdessen sind das Volumen und andere Größen gegeben, und eine Länge fehlt.

Dann musst du die Volumenformel nach der gesuchten Größe umformen.

Wir gehen immer nach demselben Plan vor:

1. passende Volumenformel aufschreiben,
2. Werte einsetzen,
3. nach der gesuchten Größe umformen,
4. Ergebnis mit Einheit angeben,
5. Probe machen.

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10. Beispiel: Höhe eines Prismas bestimmen

Gegeben:

$$V=240\,\mathrm{cm}^3$$

und

$$G=30\,\mathrm{cm}^2.$$

Gesucht ist die Höhe $h$.

Für ein Prisma gilt:

$$V=G\cdot h.$$

Einsetzen:

$$240=30\cdot h.$$

Nun lösen wir nach $h$:

$$\begin{aligned} 240&=30h &&/:30\\ 8&=h \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{h=8\,\mathrm{cm}}.$$

Probe

$$30\,\mathrm{cm}^2\cdot8\,\mathrm{cm} = 240\,\mathrm{cm}^3.$$

Die Rechnung stimmt.

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11. Beispiel: Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Ein Quader hat

$$V=360\,\mathrm{cm}^3,$$ $$a=10\,\mathrm{cm}$$

und

$$b=6\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $c$.

Die Volumenformel lautet:

$$V=a\cdot b\cdot c.$$

Einsetzen:

$$360=10\cdot6\cdot c.$$

Zusammenfassen:

$$360=60c.$$

Umformen:

$$\begin{aligned} 360&=60c &&/:60\\ 6&=c \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{c=6\,\mathrm{cm}}.$$

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12. Beispiel: Höhe eines Zylinders bestimmen

Gegeben:

$$V=200\pi\,\mathrm{cm}^3$$

und

$$r=5\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $h$.

Die Formel lautet:

$$V=\pi r^2h.$$

Einsetzen:

$$200\pi=\pi\cdot5^2\cdot h.$$ $$200\pi=25\pi h.$$

Jetzt teilen wir durch $25\pi$:

$$\begin{aligned} 200\pi&=25\pi h &&/:25\pi\\ 8&=h \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{h=8\,\mathrm{cm}}.$$

Tipp: Wenn $\pi$ auf beiden Seiten vorkommt, musst du nicht sofort mit einem gerundeten Wert für $\pi$ rechnen.

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13. Welche Einheit hat eine fehlende Länge?

Wenn du eine Länge wie $h$, $a$, $b$, $c$ oder $r$ berechnest, muss das Ergebnis eine Längeneinheit haben.

Zum Beispiel:

$$\mathrm{cm}$$

und nicht

$$\mathrm{cm}^2$$

oder

$$\mathrm{cm}^3.$$

Das ist eine wichtige Kontrolle.

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14. Sachaufgabe zur Oberfläche – Vorgehensplan

Bei einer Sachaufgabe zur Oberfläche solltest du nicht sofort rechnen.

Gehe schrittweise vor.

Schritt 1: Körper erkennen

Ist es zum Beispiel ein Quader, Würfel, Prisma oder Zylinder?

Schritt 2: Klären, welche Flächen wirklich benötigt werden

Wird die gesamte Oberfläche gebraucht?

Oder nur ein Teil?

Beispiele:

• ein geschlossener Karton: alle Außenflächen,
• eine offene Schachtel: die obere Fläche fehlt,
• eine Wand wird gestrichen: nur diese Fläche,
• ein Zylinder ohne Deckel: eine Kreisfläche fehlt.

Schritt 3: Maße in der Skizze zuordnen

Schreibe die gegebenen Längen an die passenden Stellen.

Schritt 4: Flächen berechnen

Berechne die benötigten Teilflächen.

Schritt 5: Flächen addieren

Addiere nur jene Flächen, die zur gesuchten Oberfläche gehören.

Schritt 6: Flächeneinheit angeben

Zum Beispiel:

$$\mathrm{cm}^2$$

oder

$$\mathrm{m}^2.$$

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15. Sachaufgabe zur Oberfläche – geschlossener Karton

Ein geschlossener quaderförmiger Karton hat:

$$a=30\,\mathrm{cm}, \qquad b=20\,\mathrm{cm}, \qquad c=10\,\mathrm{cm}.$$

Wie groß ist seine gesamte Oberfläche?

Für einen Quader gilt:

$$O=2(ab+ac+bc).$$

Einsetzen:

$$O=2(30\cdot20+30\cdot10+20\cdot10).$$

Teilflächen berechnen:

$$O=2(600+300+200).$$ $$O=2\cdot1100.$$ $$\boxed{O=2200\,\mathrm{cm}^2}.$$

Bedeutung

Für die gesamte Außenfläche des geschlossenen Kartons werden

$$2200\,\mathrm{cm}^2$$

Fläche benötigt.

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16. Sachaufgabe zur Oberfläche – offene Schachtel

Eine offene quaderförmige Schachtel hat dieselben Maße:

$$30\,\mathrm{cm}\times20\,\mathrm{cm}\times10\,\mathrm{cm}.$$

Oben fehlt die Fläche

$$30\cdot20=600\,\mathrm{cm}^2.$$

Die Oberfläche des geschlossenen Quaders war:

$$2200\,\mathrm{cm}^2.$$

Darum:

$$O_{\text{offen}}=2200-600.$$ $$\boxed{O_{\text{offen}}=1600\,\mathrm{cm}^2}.$$

Merke: In Sachaufgaben ist die Standardformel nur der Anfang. Du musst immer prüfen, welche Flächen in der Situation tatsächlich vorkommen.

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17. Sachaufgabe zum Volumen – Vorgehensplan

Auch bei Volumenaufgaben hilft ein fester Ablauf.

Schritt 1: Körper erkennen

Welcher Körper liegt vor?

Schritt 2: Volumenformel auswählen

Zum Beispiel:

$$V=a\cdot b\cdot c$$

für einen Quader oder

$$V=G\cdot h$$

für ein Prisma.

Schritt 3: Größen zuordnen

Achte besonders darauf, welche Länge die Körperhöhe ist.

Schritt 4: Einheit prüfen

Alle Längen sollten passend zusammengehören.

Schritt 5: Einsetzen und rechnen

Setze erst nach der Zuordnung ein.

Schritt 6: Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren

Schreibe nicht nur die Zahl hin, sondern beantworte die Frage.

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18. Sachaufgabe zum Volumen – Lagerkiste

Eine quaderförmige Lagerkiste ist

$$1{,}2\,\mathrm{m}$$

lang,

$$0{,}8\,\mathrm{m}$$

breit und

$$0{,}5\,\mathrm{m}$$

hoch.

Wie groß ist ihr Volumen?

Für einen Quader gilt:

$$V=a\cdot b\cdot c.$$

Einsetzen:

$$V=1{,}2\cdot0{,}8\cdot0{,}5.$$

Zuerst:

$$1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96.$$

Dann:

$$0{,}96\cdot0{,}5=0{,}48.$$

Also:

$$\boxed{V=0{,}48\,\mathrm{m}^3}.$$

Antwort:

Die Lagerkiste hat ein Volumen von $0{,}48\,\mathrm{m}^3$.

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19. Sachaufgabe zum Volumen – Prisma

Ein gerades Prisma hat eine Grundfläche von

$$45\,\mathrm{cm}^2$$

und eine Körperhöhe von

$$12\,\mathrm{cm}.$$

Wie groß ist sein Volumen?

$$V=G\cdot h.$$ $$V=45\cdot12.$$ $$V=540.$$

Damit:

$$\boxed{V=540\,\mathrm{cm}^3}.$$

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20. Oberfläche oder Volumen? – Entscheidungshilfe

Frage dich:

Geht es um eine äußere Fläche?

Dann brauchst du wahrscheinlich:

$$\boxed{O}$$

und eine Quadrateinheit.

Geht es um den Rauminhalt?

Dann brauchst du:

$$\boxed{V}$$

und eine Kubikeinheit.

Typische Wörter

Oberfläche:

• außen,
• Material,
• Folie,
• Papier,
• streichen,
• lackieren,
• verkleiden.

Volumen:

• Rauminhalt,
• Inhalt,
• Platz,
• Volumen,
• Raum.

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21. Typische Fehler

Fehler 1: Oberfläche und Volumen verwechseln

Oberfläche:

$$\mathrm{cm}^2$$

Volumen:

$$\mathrm{cm}^3.$$

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Fehler 2: Falsche Einheit auswählen

Ein Klassenzimmer in

$$\mathrm{mm}^3$$

anzugeben ist unpraktisch.

Wähle eine Einheit, die zur Größenordnung passt.

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Fehler 3: Aus einer Volumenformel die falsche Größe isolieren

Markiere zuerst deutlich, welche Größe gesucht ist.

Dann forme genau nach dieser Größe um.

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Fehler 4: Bei einer Oberflächenaufgabe alle Flächen automatisch mitzählen

Bei einer offenen Schachtel gibt es zum Beispiel keine obere Fläche.

Lies die Situation genau.

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Fehler 5: Bei Volumen eine Quadrateinheit verwenden

Ein Volumen hat eine Kubikeinheit:

$$\boxed{\mathrm{cm}^3}$$

und nicht

$$\mathrm{cm}^2.$$

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Fehler 6: Antwortsatz vergessen

Bei einer Sachaufgabe gehört die Bedeutung zum Ergebnis.

Nicht nur:

$$0{,}48$$

sondern:

$$\boxed{V=0{,}48\,\mathrm{m}^3}.$$

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22. Das Wichtigste auf einen Blick

Oberfläche:

$$\boxed{O}$$

beschreibt die gesamte äußere Fläche.

Einheit:

$$\boxed{\mathrm{mm}^2,\ \mathrm{cm}^2,\ \mathrm{m}^2}$$

Volumen:

$$\boxed{V}$$

beschreibt den Rauminhalt.

Einheit:

$$\boxed{\mathrm{mm}^3,\ \mathrm{cm}^3,\ \mathrm{m}^3}$$

Wichtige Volumenformeln:

$$V=a\cdot b\cdot c$$ $$V=a^3$$ $$V=G\cdot h$$ $$V=\pi r^2h.$$

Bei einer fehlenden Größe:

1. Formel aufschreiben,
2. einsetzen,
3. nach der gesuchten Größe umformen,
4. Einheit prüfen,
5. Probe machen.

Bei Sachaufgaben:

1. Situation verstehen,
2. gesuchte Größe bestimmen,
3. Körper erkennen,
4. passende Formel auswählen,
5. nur die tatsächlich benötigten Flächen oder Größen verwenden,
6. Ergebnis mit Einheit und Antwortsatz angeben.