Prismen und Zylinder

Kompetenzcode: MG 4.11

Prismen und Zylinder sind Körper mit zwei gleich großen, parallelen Flächen.

Bei einem Prisma sind diese Flächen Vielecke, zum Beispiel Dreiecke oder Rechtecke.

Bei einem Zylinder sind diese Flächen Kreise.

In diesem Kapitel lernst du,

• Prismen zu erkennen und zu benennen,
• Grundfläche, Mantel und Höhe eines Prismas zu erkennen,
• das Volumen eines Prismas zu berechnen,
• die Oberfläche eines Prismas zu berechnen,
• Zylinder zu erkennen und zu benennen,
• das Volumen eines Zylinders zu berechnen,
• die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen.

---

1. Prisma erkennen

Ein gerades Prisma besitzt zwei

• gleich große,
• parallele,
• deckungsgleiche

Vielecke.

Diese beiden Flächen liegen einander gegenüber.

Eine davon wird als Grundfläche betrachtet, die andere als Deckfläche.

Die übrigen Flächen bilden den Mantel.

Bei einem geraden Prisma sind die Mantelflächen Rechtecke.

Merke: Ein Prisma erkennst du besonders gut an den zwei gleichen und parallelen Vielecken.

---

2. Prisma benennen

Ein Prisma wird nach der Form seiner Grundfläche benannt.

Dreieck als Grundfläche

Ist die Grundfläche ein Dreieck, heißt der Körper:

$$\boxed{\text{Dreiecksprisma}}$$

Viereck als Grundfläche

Ist die Grundfläche ein Viereck, spricht man von einem vierseitigen oder viereckigen Prisma.

Ein Quader ist ein besonders bekanntes Prisma mit rechteckiger Grundfläche.

Fünfeck als Grundfläche

Ist die Grundfläche ein Fünfeck, heißt der Körper:

$$\boxed{\text{Fünfecksprisma}}$$

Wichtig

Zum Benennen schaust du auf die Grundfläche, nicht auf eine beliebige Seitenfläche.

---

3. Prisma oder Pyramide?

Diese Körper werden manchmal verwechselt.

Prisma

• besitzt zwei kongruente parallele Grund- und Deckflächen,
• die Seitenflächen verbinden die entsprechenden Kanten.

Pyramide

• besitzt nur eine Grundfläche,
• die Seitenflächen laufen in einer Spitze zusammen.

Wenn zwei gleiche Flächen parallel gegenüberliegen, spricht das für ein Prisma.

---

4. Grundfläche, Mantel und Höhe eines Prismas

Für die Berechnungen verwenden wir:

$$G$$

für den Flächeninhalt der Grundfläche,

$$M$$

für den Flächeninhalt des Mantels,

$$h$$

für die Höhe des Prismas.

Außerdem bezeichnet

$$u_G$$

den Umfang der Grundfläche.

---

5. Grundfläche $G$

Die Grundfläche ist eine der beiden kongruenten parallelen Flächen des Prismas.

Der Buchstabe $G$ bezeichnet nicht die Figur selbst, sondern ihren Flächeninhalt.

Zum Beispiel kann bei einem Dreiecksprisma gelten:

$$G=24\,\mathrm{cm}^2.$$

Die Einheit von $G$ ist also eine Flächeneinheit:

$$\mathrm{cm}^2,\quad \mathrm{m}^2,\ldots$$

---

6. Höhe $h$

Die Höhe eines geraden Prismas ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.

Sie steht also senkrecht auf den beiden parallelen Flächen.

Merke: Die Körperhöhe ist nicht automatisch eine Seitenlänge der Grundfläche.

Beim geraden Prisma entspricht die Höhe den senkrechten Seitenkanten zwischen Grund- und Deckfläche.

---

7. Mantel $M$

Der Mantel besteht aus allen Seitenflächen zwischen Grund- und Deckfläche.

Wenn du den Mantel eines geraden Prismas aufklappst, entsteht ein Rechteck.

Seine

• eine Seitenlänge ist der Umfang $u_G$ der Grundfläche,
• andere Seitenlänge ist die Höhe $h$.

Darum gilt:

$$\boxed{M=u_G\cdot h}.$$

---

8. Volumen eines Prismas

Das Volumen sagt dir, wie viel Raum ein Körper einnimmt.

Für jedes gerade Prisma gilt:

$$\boxed{V=G\cdot h}.$$

Dabei ist

• $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche,
• $h$ die Körperhöhe.

Die Idee ist:

Grundfläche mal Höhe.

---

9. Beispiel: Volumen eines Prismas

Ein Prisma hat die Grundfläche

$$G=18\,\mathrm{cm}^2$$

und die Höhe

$$h=7\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist das Volumen.

Wir verwenden:

$$V=G\cdot h.$$

Einsetzen:

$$V=18\cdot7.$$ $$V=126.$$

Damit:

$$\boxed{V=126\,\mathrm{cm}^3}.$$

Warum $\mathrm{cm}^3$?

Wir multiplizieren:

$$\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{cm} = \mathrm{cm}^3.$$

Volumen wird daher mit einer Kubikeinheit angegeben.

---

10. Beispiel: Dreiecksprisma

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit

$$g=6\,\mathrm{cm}$$

und zugehöriger Dreieckshöhe

$$h_g=4\,\mathrm{cm}.$$

Die Höhe des Prismas beträgt

$$h=10\,\mathrm{cm}.$$

Zuerst berechnen wir die Grundfläche:

$$G=\frac{g\cdot h_g}{2}.$$ $$G=\frac{6\cdot4}{2}=12\,\mathrm{cm}^2.$$

Dann das Volumen:

$$V=G\cdot h.$$ $$V=12\cdot10.$$ $$\boxed{V=120\,\mathrm{cm}^3}.$$

Achtung: In dieser Aufgabe gibt es zwei verschiedene Höhen: die Dreieckshöhe $h_g$ für die Grundfläche und die Körperhöhe $h$ des Prismas.

---

11. Oberfläche eines Prismas

Die Oberfläche besteht aus

• Grundfläche,
• Deckfläche,
• Mantel.

Grundfläche und Deckfläche sind gleich groß.

Darum gilt:

$$\boxed{O=2G+M}.$$

Für den Mantel gilt beim geraden Prisma:

$$M=u_G\cdot h.$$

Damit kannst du auch schreiben:

$$\boxed{O=2G+u_G\cdot h}.$$

---

12. Beispiel: Oberfläche eines Prismas

Ein gerades Prisma hat

$$G=20\,\mathrm{cm}^2,$$ $$u_G=18\,\mathrm{cm},$$ $$h=6\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 1: Mantel berechnen

$$M=u_G\cdot h.$$ $$M=18\cdot6=108\,\mathrm{cm}^2.$$

Schritt 2: Oberfläche berechnen

$$O=2G+M.$$ $$O=2\cdot20+108.$$ $$O=40+108.$$ $$\boxed{O=148\,\mathrm{cm}^2}.$$

---

13. Volumen und Oberfläche beim Prisma unterscheiden

Volumen:

$$\boxed{V=G\cdot h}$$

beschreibt den Rauminhalt.

Oberfläche:

$$\boxed{O=2G+M}$$

beschreibt die gesamte äußere Fläche.

Einheiten:

$$V:\ \mathrm{cm}^3$$ $$O:\ \mathrm{cm}^2.$$

---

14. Zylinder erkennen und benennen

Ein gerader Zylinder besitzt

• zwei gleich große parallele Kreisflächen,
• eine gekrümmte Mantelfläche.

Die beiden Kreise sind Grund- und Deckfläche.

Für den Radius verwenden wir:

$$r.$$

Für die Höhe des Zylinders:

$$h.$$

---

15. Zylinder oder Prisma?

Beide Körper besitzen zwei gleiche parallele Flächen.

Der Unterschied liegt in deren Form.

Prisma

Grund- und Deckfläche sind Vielecke.

Zylinder

Grund- und Deckfläche sind Kreise.

Außerdem ist der Zylindermantel gekrümmt.

---

16. Grundfläche eines Zylinders

Die Grundfläche ist ein Kreis.

Darum gilt:

$$\boxed{G=\pi r^2}.$$

Der Umfang der Kreisgrundfläche ist:

$$\boxed{u_G=2\pi r}.$$

Diese beiden Formeln brauchst du für Volumen und Oberfläche.

---

17. Volumen eines Zylinders

Auch beim Zylinder gilt die Grundidee:

$$\text{Volumen}=\text{Grundfläche}\cdot\text{Höhe}.$$

Mit

$$G=\pi r^2$$

erhalten wir:

$$\boxed{V=\pi r^2\cdot h}.$$

---

18. Beispiel: Volumen eines Zylinders

Gegeben:

$$r=3\,\mathrm{cm}, \qquad h=8\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$V.$$

Wir verwenden:

$$V=\pi r^2h.$$

Einsetzen:

$$V=\pi\cdot3^2\cdot8.$$

Zuerst:

$$3^2=9.$$

Dann:

$$V=72\pi.$$

Mit dem Taschenrechner:

$$V\approx226{,}19.$$

Damit:

$$\boxed{V\approx226{,}19\,\mathrm{cm}^3}.$$

---

19. Mantel eines Zylinders

Wenn du den Mantel eines Zylinders aufschneidest und flach ausbreitest, erhältst du ein Rechteck.

Die Seitenlängen dieses Rechtecks sind

$$2\pi r$$

und

$$h.$$

Darum gilt:

$$M=2\pi r\cdot h.$$

Also:

$$\boxed{M=2\pi rh}.$$

---

20. Oberfläche eines Zylinders

Die Oberfläche besteht aus

• zwei Kreisflächen,
• dem Mantel.

Darum:

$$O=2G+M.$$

Mit

$$G=\pi r^2$$

und

$$M=2\pi rh$$

folgt:

$$\boxed{O=2\pi r^2+2\pi rh}.$$

Du kannst auch ausklammern:

$$\boxed{O=2\pi r(r+h)}.$$

Für die Unterstufe ist die zerlegte Form oft leichter zu verstehen:

$$\boxed{O=2\pi r^2+2\pi rh}.$$

---

21. Beispiel: Oberfläche eines Zylinders

Gegeben:

$$r=4\,\mathrm{cm}, \qquad h=10\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$O.$$

Schritt 1: Zwei Kreisflächen

$$2G=2\pi r^2.$$ $$2G=2\pi\cdot4^2.$$ $$2G=32\pi.$$

Schritt 2: Mantel

$$M=2\pi rh.$$ $$M=2\pi\cdot4\cdot10.$$ $$M=80\pi.$$

Schritt 3: Addieren

$$O=32\pi+80\pi.$$ $$O=112\pi.$$ $$O\approx351{,}86.$$

Damit:

$$\boxed{O\approx351{,}86\,\mathrm{cm}^2}.$$

---

22. Warum ist der Zylindermantel ein Rechteck?

Stell dir ein Etikett auf einer Dose vor.

Wenn du das Etikett abziehst und flach hinlegst, ist es ein Rechteck.

Seine Länge entspricht genau dem Kreisumfang:

$$2\pi r.$$

Seine Breite entspricht der Zylinderhöhe:

$$h.$$

Deshalb:

$$M=(2\pi r)\cdot h.$$

---

23. Prisma und Zylinder – gemeinsame Grundidee

Für beide Körper gilt:

$$\boxed{V=G\cdot h}.$$

Beim Prisma musst du zuerst die Vielecks-Grundfläche $G$ bestimmen.

Beim Zylinder ist:

$$G=\pi r^2.$$

Auch die Oberflächenformel folgt derselben Idee:

$$\boxed{O=2G+M}.$$

Der Unterschied liegt vor allem in der Mantelfläche:

Prisma:

$$M=u_G\cdot h.$$

Zylinder:

$$M=2\pi r\cdot h.$$

Da beim Kreis

$$u_G=2\pi r$$

gilt, ist sogar die Mantelidee dieselbe:

$$\boxed{M=u_G\cdot h}.$$

---

24. Typische Fehler

Fehler 1: Nur eine Grundfläche bei der Oberfläche

Ein Prisma oder Zylinder hat zwei gleich große Grund- und Deckflächen.

Deshalb steht in der Oberflächenformel:

$$\boxed{2G}.$$

---

Fehler 2: Mantel und Oberfläche verwechseln

Der Mantel enthält nicht die beiden Grundflächen.

Es gilt:

$$\boxed{O=2G+M}.$$

---

Fehler 3: Beim Volumen den Umfang verwenden

Falsch wäre:

$$V=u_G\cdot h.$$

Das ist beim Prisma der Mantel.

Richtig:

$$\boxed{V=G\cdot h}.$$

---

Fehler 4: Beim Zylinder $r$ nicht quadrieren

Für die Kreisgrundfläche gilt:

$$G=\pi r^2.$$

Darum:

$$\boxed{V=\pi r^2h}.$$

---

Fehler 5: Durchmesser als Radius einsetzen

Wenn der Durchmesser $d$ gegeben ist, berechne zuerst:

$$r=\frac d2.$$

Erst danach setzt du $r$ in die Zylinderformeln ein.

---

Fehler 6: Falsche Einheit

Oberfläche:

$$\mathrm{cm}^2$$

Volumen:

$$\mathrm{cm}^3.$$

---

25. Das Wichtigste auf einen Blick

Gerades Prisma:

$$\boxed{V=G\cdot h}$$ $$\boxed{M=u_G\cdot h}$$ $$\boxed{O=2G+M}$$

Zylinder:

$$\boxed{G=\pi r^2}$$ $$\boxed{V=\pi r^2h}$$ $$\boxed{M=2\pi rh}$$ $$\boxed{O=2\pi r^2+2\pi rh}$$

Prisma und Zylinder besitzen jeweils zwei gleich große parallele Grund- und Deckflächen.

Beim Prisma sind diese Vielecke, beim Zylinder Kreise.