Kongruenz von Figuren

Kompetenzcode: MG 4.10

Zwei Figuren können gleich aussehen und trotzdem unterschiedlich groß sein. Dann sind sie zwar ähnlich, aber nicht kongruent.

Kongruent bedeutet:

Zwei Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe.

Du kannst eine Figur also verschieben, drehen oder spiegeln, ohne ihre Form oder Größe zu verändern. Wenn sie danach genau auf die andere Figur passt, sind die Figuren deckungsgleich.

In diesem Kapitel lernst du,

• kongruente Figuren zu erkennen,
• Kongruenz durch Deckungsgleichheit zu begründen,
• den Kongruenzsatz SSS anzuwenden,
• den Kongruenzsatz SWS anzuwenden,
• den Kongruenzsatz WSW anzuwenden.

---

1. Kongruente Figuren erkennen

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie genau dieselbe Form und dieselbe Größe besitzen.

Das heißt:

• entsprechende Seiten sind gleich lang,
• entsprechende Winkel sind gleich groß.

Eine Figur darf dabei anders liegen.

Sie kann zum Beispiel

• verschoben,
• gedreht,
• gespiegelt

sein.

Die Lage im Blatt ist also nicht entscheidend.

Merke: Kongruenz beschreibt Form und Größe, nicht die Lage.

---

2. Kongruent oder nur ähnlich?

Dieser Unterschied ist besonders wichtig.

Ähnliche Figuren

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form.

Sie können aber unterschiedlich groß sein.

Zum Beispiel können zwei Dreiecke dieselben Winkel besitzen, aber eines ist doppelt so groß wie das andere.

Dann sind sie ähnlich, aber nicht kongruent.

Kongruente Figuren

Kongruente Figuren haben

• dieselbe Form
• und dieselbe Größe.

Der Vergrößerungsfaktor wäre also

$$k=1.$$

---

3. Entsprechende Punkte, Seiten und Winkel

Bei kongruenten Figuren musst du erkennen, welche Teile zusammengehören.

Betrachten wir die Dreiecke

$$\triangle ABC$$

und

$$\triangle DEF.$$

Angenommen, es gilt:

$$A\leftrightarrow D, \qquad B\leftrightarrow E, \qquad C\leftrightarrow F.$$

Dann gehören zusammen:

$$AB\leftrightarrow DE,$$ $$BC\leftrightarrow EF,$$ $$AC\leftrightarrow DF.$$

Auch die Winkel gehören entsprechend zusammen:

$$\angle A\leftrightarrow\angle D,$$ $$\angle B\leftrightarrow\angle E,$$ $$\angle C\leftrightarrow\angle F.$$

Sind die Dreiecke kongruent, können wir schreiben:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}.$$

Die Reihenfolge der Buchstaben zeigt dabei die Zuordnung:

$$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F.$$

---

4. Kongruenz durch Deckungsgleichheit begründen

Das Wort deckungsgleich beschreibt Kongruenz sehr anschaulich.

Stell dir vor, eine Figur wäre aus Papier ausgeschnitten.

Wenn du sie

• verschieben,
• drehen
• oder spiegeln

kannst und sie danach genau auf die andere Figur passt, dann sind die beiden Figuren kongruent.

Das bedeutet:

$$\boxed{\text{deckungsgleich}\Longrightarrow\text{kongruent}}.$$

---

5. Was darf sich bei einer Deckung verändern?

Die Lage darf sich ändern.

Die Figur darf also

• weiter links oder rechts liegen,
• gedreht sein,
• spiegelverkehrt liegen.

Nicht verändern dürfen sich:

• Seitenlängen,
• Winkelgrößen,
• Umfang,
• Flächeninhalt.

Beispiel

Zwei Dreiecke haben exakt dieselben Seitenlängen und Winkel.

Das zweite Dreieck ist lediglich um

$$90^\circ$$

gedreht.

Dann sind die Dreiecke trotzdem kongruent.

---

6. Nicht jede Gleichheit reicht aus

Zwei Figuren sind nicht automatisch kongruent, nur weil eine einzelne Eigenschaft übereinstimmt.

Zum Beispiel reicht es nicht, dass

• der Umfang gleich ist,
• der Flächeninhalt gleich ist,
• nur eine Seitenlänge gleich ist,
• nur ein Winkel gleich ist.

Für Dreiecke gibt es deshalb bestimmte Kongruenzsätze.

Mit ihnen kannst du aus wenigen Angaben sicher entscheiden, ob zwei Dreiecke kongruent sind.

Die drei Kongruenzsätze dieses Kapitels sind:

$$\boxed{\text{SSS}}, \qquad \boxed{\text{SWS}}, \qquad \boxed{\text{WSW}}.$$

---

7. Kongruenzsatz SSS

SSS bedeutet:

$$\boxed{\text{Seite – Seite – Seite}}.$$

Sind bei zwei Dreiecken alle drei entsprechenden Seiten gleich lang, dann sind die Dreiecke kongruent.

Formal:

$$AB=DE,$$ $$BC=EF,$$ $$AC=DF.$$

Dann gilt:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}.$$

---

8. SSS anwenden – Beispiel

Gegeben sind zwei Dreiecke.

Für das erste Dreieck gilt:

$$AB=4\,\mathrm{cm},$$ $$BC=5\,\mathrm{cm},$$ $$AC=6\,\mathrm{cm}.$$

Für das zweite Dreieck gilt:

$$DE=4\,\mathrm{cm},$$ $$EF=5\,\mathrm{cm},$$ $$DF=6\,\mathrm{cm}.$$

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

$$\underbrace{AB}_{4\,\mathrm{cm}} = \underbrace{DE}_{4\,\mathrm{cm}},$$ $$\underbrace{BC}_{5\,\mathrm{cm}} = \underbrace{EF}_{5\,\mathrm{cm}},$$ $$\underbrace{AC}_{6\,\mathrm{cm}} = \underbrace{DF}_{6\,\mathrm{cm}}.$$

Alle drei entsprechenden Seiten sind gleich lang.

Deshalb gilt nach SSS:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}.$$

---

9. Was folgt aus SSS?

Wenn die Kongruenz feststeht, sind auch die entsprechenden Winkel gleich groß.

Aus

$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

folgt zum Beispiel:

$$\angle A=\angle D,$$ $$\angle B=\angle E,$$ $$\angle C=\angle F.$$

Du musst diese Winkel nicht zusätzlich messen, um die Kongruenz mit SSS zu begründen.

---

10. Kongruenzsatz SWS

SWS bedeutet:

$$\boxed{\text{Seite – Winkel – Seite}}.$$

Sind bei zwei Dreiecken

• zwei entsprechende Seiten gleich lang
• und der eingeschlossene Winkel zwischen diesen Seiten gleich groß,

dann sind die Dreiecke kongruent.

---

11. Was bedeutet „eingeschlossener Winkel“?

Das ist der Winkel, der zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt.

Wenn die gegebenen Seiten

$$AB$$

und

$$AC$$

sind, dann ist der eingeschlossene Winkel

$$\angle A.$$

Denn beide Seiten treffen sich im Punkt $A$.

Merke: Bei SWS muss der gegebene Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen.

---

12. SWS anwenden – Beispiel

Im Dreieck $ABC$ gilt:

$$AB=5\,\mathrm{cm},$$ $$AC=7\,\mathrm{cm},$$ $$\angle A=60^\circ.$$

Im Dreieck $DEF$ gilt:

$$DE=5\,\mathrm{cm},$$ $$DF=7\,\mathrm{cm},$$ $$\angle D=60^\circ.$$

Wir vergleichen:

$$AB=DE,$$ $$AC=DF,$$ $$\angle A=\angle D.$$

Außerdem liegt

$$\angle A$$

zwischen $AB$ und $AC$, und

$$\angle D$$

zwischen $DE$ und $DF$.

Damit gilt nach SWS:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}.$$

---

13. Typischer Fehler bei SWS

Angenommen, du kennst zwei Seiten eines Dreiecks und zusätzlich einen Winkel.

Das reicht nicht automatisch für SWS.

Du musst prüfen:

Liegt der gegebene Winkel wirklich zwischen den beiden gegebenen Seiten?

Sind zum Beispiel

$$AB$$

und

$$AC$$

gegeben, dann brauchst du für SWS den Winkel

$$\angle A.$$

Ein Winkel bei $B$ wäre nicht der eingeschlossene Winkel dieser beiden Seiten.

---

14. Kongruenzsatz WSW

WSW bedeutet:

$$\boxed{\text{Winkel – Seite – Winkel}}.$$

Sind bei zwei Dreiecken

• zwei entsprechende Winkel gleich groß
• und die dazwischenliegende Seite gleich lang,

dann sind die Dreiecke kongruent.

---

15. Was bedeutet „dazwischenliegende Seite“?

Wenn die gegebenen Winkel

$$\angle A$$

und

$$\angle B$$

sind, liegt zwischen diesen beiden Winkeln die Seite

$$AB.$$

Bei WSW musst du also genau prüfen, ob die gegebene Seite die beiden gegebenen Winkel verbindet.

---

16. WSW anwenden – Beispiel

Im Dreieck $ABC$ gilt:

$$\angle A=50^\circ,$$ $$AB=6\,\mathrm{cm},$$ $$\angle B=70^\circ.$$

Im Dreieck $DEF$ gilt:

$$\angle D=50^\circ,$$ $$DE=6\,\mathrm{cm},$$ $$\angle E=70^\circ.$$

Wir vergleichen:

$$\angle A=\angle D,$$ $$AB=DE,$$ $$\angle B=\angle E.$$

Die Seite $AB$ liegt zwischen den Winkeln $A$ und $B$.

Die Seite $DE$ liegt zwischen den Winkeln $D$ und $E$.

Damit gilt nach WSW:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}.$$

---

17. Was folgt aus WSW?

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt

$$180^\circ.$$

Im Beispiel ist daher auch der dritte Winkel festgelegt:

$$\begin{aligned} 50^\circ+70^\circ+\angle C&=180^\circ &&/-120^\circ\\ \angle C&=60^\circ \end{aligned}$$

und ebenso:

$$\angle F=60^\circ.$$

Da die Dreiecke kongruent sind, stimmen auch die übrigen entsprechenden Seiten überein.

---

18. Welchen Kongruenzsatz soll ich verwenden?

Gehe immer danach, welche Angaben tatsächlich gegeben sind.

Drei Seiten

Gegeben sind:

$$S,\ S,\ S.$$

Dann:

$$\boxed{\text{SSS}}.$$

Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Gegeben sind:

$$S,\ W,\ S.$$

Dann:

$$\boxed{\text{SWS}}.$$

Zwei Winkel und die Seite dazwischen

Gegeben sind:

$$W,\ S,\ W.$$

Dann:

$$\boxed{\text{WSW}}.$$

---

19. Ein Entscheidungsweg

Bei einer Aufgabe kannst du so vorgehen:

Schritt 1: Entsprechende Ecken zuordnen

Welche Punkte der beiden Dreiecke gehören zusammen?

Schritt 2: Gleiche Angaben markieren

Markiere gleiche Seiten und gleiche Winkel.

Schritt 3: Reihenfolge prüfen

Erkennst du

$$S-S-S,$$ $$S-W-S$$

oder

$$W-S-W?$$

Schritt 4: Lage kontrollieren

Bei SWS:

Liegt der Winkel zwischen den beiden Seiten?

Bei WSW:

Liegt die Seite zwischen den beiden Winkeln?

Schritt 5: Kongruenzsatz nennen

Schreibe zum Beispiel:

$$\boxed{\text{Die Dreiecke sind nach SWS kongruent.}}$$

---

20. Kongruenz richtig begründen

Eine gute Begründung besteht nicht nur aus dem Wort „SSS“.

Beispiel

Statt nur zu schreiben:

SSS

schreibst du besser:

$$AB=DE, \qquad BC=EF, \qquad AC=DF.$$

Daher sind

$$\triangle ABC$$

und

$$\triangle DEF$$

nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent.

So ist klar, welche Seiten du miteinander verglichen hast.

---

21. Typische Fehler

Fehler 1: Ähnlich mit kongruent verwechseln

Ähnlich bedeutet gleiche Form.

Kongruent bedeutet:

$$\boxed{\text{gleiche Form und gleiche Größe}}.$$

---

Fehler 2: Gedrehte oder gespiegelte Figuren für verschieden halten

Die Lage einer Figur ist für Kongruenz nicht entscheidend.

Verschieben, Drehen und Spiegeln verändern weder Form noch Größe.

---

Fehler 3: Falsche Seiten zuordnen

Achte auf die Reihenfolge der Eckpunkte.

Wenn

$$A\leftrightarrow D$$

und

$$B\leftrightarrow E,$$

dann gehört

$$AB$$

zur Seite

$$DE.$$

---

Fehler 4: Bei SWS einen falschen Winkel verwenden

Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen.

---

Fehler 5: Bei WSW eine falsche Seite verwenden

Die Seite muss zwischen den beiden gegebenen Winkeln liegen.

---

Fehler 6: Nur gleiche Fläche oder gleichen Umfang als Begründung verwenden

Gleicher Umfang oder gleiche Fläche allein beweisen keine Kongruenz.

---

22. Das Wichtigste auf einen Blick

Kongruent bedeutet:

$$\boxed{\text{deckungsgleich}}$$

also gleiche Form und gleiche Größe.

Kongruente Figuren können durch

• Verschieben,
• Drehen,
• Spiegeln

zur Deckung gebracht werden.

Für Dreiecke:

$$\boxed{\text{SSS}}$$

drei entsprechende Seiten sind gleich.

$$\boxed{\text{SWS}}$$

zwei entsprechende Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich.

$$\boxed{\text{WSW}}$$

zwei entsprechende Winkel und die dazwischenliegende Seite sind gleich.

Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, stimmen alle entsprechenden Seitenlängen und Winkelgrößen überein.