Geometrische Konstruktionen

Kompetenzcode: MG 4.9

Bei einer geometrischen Konstruktion zeichnest du nicht einfach „ungefähr richtig“. Du verwendest Eigenschaften von Figuren so, dass die gesuchte Gerade, der gesuchte Punkt oder das gesuchte Dreieck genau festgelegt ist.

Für die Konstruktionen in diesem Kapitel brauchst du vor allem:

• Lineal oder Geodreieck,
• Zirkel,
• einen gut gespitzten Bleistift.

Merke: Hilfslinien und Kreisbögen gehören zu einer Konstruktion dazu. Radiere sie nicht sofort weg – sie zeigen, warum deine Konstruktion funktioniert.

In diesem Kapitel lernst du,

• eine Streckensymmetrale zu konstruieren,
• eine Winkelsymmetrale zu konstruieren,
• eine Normale durch einen Punkt zu konstruieren,
• eine Parallele durch einen Punkt zu konstruieren,
• ein Dreieck aus drei gegebenen Seiten zu konstruieren,
• ein Dreieck aus gegebenen Seiten und Winkeln zu konstruieren.

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1. Streckensymmetrale – Bedeutung

Gegeben ist eine Strecke

$$\overline{AB}.$$

Die Streckensymmetrale ist eine Gerade mit zwei wichtigen Eigenschaften:

1. Sie steht senkrecht auf $\overline{AB}$.
2. Sie geht durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$.

Jeder Punkt auf der Streckensymmetrale ist von $A$ und $B$ gleich weit entfernt.

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2. Streckensymmetrale konstruieren

Wir konstruieren die Streckensymmetrale der Strecke $\overline{AB}$.

Schritt 1: Strecke zeichnen

Zeichne die Strecke

$$\overline{AB}.$$

Schritt 2: Zirkelradius einstellen

Stelle den Zirkel auf eine Länge ein, die größer als die Hälfte von $\overline{AB}$ ist.

Der genaue Radius ist nicht wichtig. Er muss nur groß genug sein, damit sich die Kreisbögen schneiden.

Schritt 3: Kreisbögen um $A$

Steche mit dem Zirkel in $A$ ein.

Zeichne oberhalb und unterhalb der Strecke Kreisbögen.

Schritt 4: Kreisbögen um $B$

Verändere die Zirkelöffnung nicht.

Steche in $B$ ein und zeichne ebenfalls Kreisbögen.

Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten. Nennen wir sie

$$P \quad\text{und}\quad Q.$$

Schritt 5: Schnittpunkte verbinden

Zeichne die Gerade durch $P$ und $Q$.

Diese Gerade ist die Streckensymmetrale von $\overline{AB}$.

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3. Warum funktioniert die Konstruktion?

Weil bei beiden Kreisbögen dieselbe Zirkelöffnung verwendet wurde, gilt:

$$|PA|=|PB|$$

und

$$|QA|=|QB|.$$

Die Punkte $P$ und $Q$ sind also jeweils gleich weit von $A$ und $B$ entfernt.

Darum liegen beide Punkte auf der Streckensymmetrale.

Die Gerade $PQ$

• halbiert $\overline{AB}$,
• steht senkrecht auf $\overline{AB}$.

Kontrolle: Die Streckensymmetrale muss die Strecke genau in der Mitte und im Winkel von $90^\circ$ schneiden.

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4. Winkelsymmetrale – Bedeutung

Die Winkelsymmetrale teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Hat ein Winkel die Größe

$$\alpha,$$

dann entstehen zwei Winkel mit

$$\frac{\alpha}{2}.$$

Zum Beispiel wird

$$80^\circ$$

geteilt in

$$40^\circ \quad\text{und}\quad 40^\circ.$$

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5. Winkelsymmetrale konstruieren

Gegeben ist ein Winkel mit Scheitelpunkt $S$.

Schritt 1: Bogen um den Scheitelpunkt

Steche mit dem Zirkel in $S$ ein.

Zeichne einen Kreisbogen, der beide Winkelschenkel schneidet.

Die Schnittpunkte nennen wir

$$A \quad\text{und}\quad B.$$

Schritt 2: Gleiche Zirkelöffnung verwenden

Stelle eine geeignete Zirkelöffnung ein.

Steche in $A$ ein und zeichne im Inneren des Winkels einen Bogen.

Schritt 3: Bogen um $B$

Verändere die Zirkelöffnung nicht.

Steche in $B$ ein und zeichne einen zweiten Bogen.

Die beiden Bögen schneiden sich in einem Punkt $P$.

Schritt 4: Scheitelpunkt und Schnittpunkt verbinden

Zeichne den Strahl

$$\overrightarrow{SP}.$$

Dieser Strahl ist die Winkelsymmetrale.

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6. Kontrolle der Winkelsymmetrale

Die Winkelsymmetrale muss den ursprünglichen Winkel genau halbieren.

Wenn der Winkel zum Beispiel

$$70^\circ$$

groß ist, müssen nach der Konstruktion zwei Winkel mit

$$35^\circ$$

entstehen.

Du kannst das zur Kontrolle mit dem Geodreieck nachmessen.

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7. Was ist eine Normale?

Eine Normale zu einer Geraden $g$ ist eine Gerade, die $g$ im rechten Winkel schneidet.

Wir schreiben:

$$\boxed{n\perp g}.$$

Das Zeichen

$$\perp$$

bedeutet „steht senkrecht auf“.

Der Schnittwinkel ist:

$$\boxed{90^\circ}.$$

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8. Normale durch einen Punkt auf einer Geraden konstruieren

Gegeben ist eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ auf $g$.

Wir wollen durch $P$ eine Normale zu $g$ konstruieren.

Schritt 1: Zwei Punkte auf $g$ festlegen

Steche mit dem Zirkel in $P$ ein und zeichne einen Kreisbogen, der $g$ auf beiden Seiten von $P$ schneidet.

Die Schnittpunkte heißen

$$A \quad\text{und}\quad B.$$

Damit gilt:

$$|PA|=|PB|.$$

Schritt 2: Streckensymmetrale von $AB$ konstruieren

Konstruiere die Streckensymmetrale der Strecke $\overline{AB}$.

Da $P$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ ist, verläuft diese Streckensymmetrale durch $P$.

Schritt 3: Normale benennen

Die entstandene Gerade ist die gesuchte Normale $n$.

Es gilt:

$$\boxed{n\perp g}.$$

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9. Normale durch einen Punkt außerhalb einer Geraden

Liegt der Punkt $P$ nicht auf $g$, kannst du ebenfalls mit Zirkel und Lineal arbeiten.

Schritt 1

Steche in $P$ ein und wähle den Radius so groß, dass der Kreis die Gerade $g$ in zwei Punkten schneidet.

Nenne diese Punkte

$$A \quad\text{und}\quad B.$$

Dann gilt:

$$|PA|=|PB|.$$

Schritt 2

Konstruiere die Streckensymmetrale von $\overline{AB}$.

Da $P$ von $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist, liegt $P$ auf dieser Streckensymmetrale.

Die Streckensymmetrale steht senkrecht auf $g$.

Damit ist sie die gesuchte Normale durch $P$.

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10. Parallele durch einen Punkt konstruieren

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

Wir schreiben:

$$\boxed{p\parallel g}.$$

Gegeben sind eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$, der nicht auf $g$ liegt.

Wir konstruieren durch $P$ eine Parallele zu $g$.

Idee

Wir verwenden zweimal eine Normale.

Sind zwei Geraden beide senkrecht zu derselben Geraden, dann sind sie parallel.

Schritt 1: Erste Normale

Konstruiere durch $P$ eine Normale $n$ zu $g$.

Dann gilt:

$$n\perp g.$$

Schritt 2: Zweite Normale

Konstruiere durch $P$ eine Normale $p$ zu $n$.

Dann gilt:

$$p\perp n.$$

Schritt 3: Schlussfolgerung

Sowohl $g$ als auch $p$ stehen senkrecht auf $n$.

Darum gilt:

$$\boxed{p\parallel g}.$$

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11. Parallele mit dem Geodreieck zeichnen

Im Unterricht wird eine Parallele häufig auch mit dem Geodreieck gezeichnet.

Dabei ist wichtig:

1. Eine Kante des Geodreiecks wird an $g$ angelegt.
2. Das Geodreieck wird ohne Drehung bis zum Punkt $P$ verschoben.
3. Durch $P$ wird entlang derselben Kante die neue Gerade gezeichnet.

Da die Richtung beim Verschieben nicht verändert wird, sind die beiden Geraden parallel.

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12. Dreieck aus drei Seiten konstruieren

Nun sind drei Seitenlängen gegeben.

Zum Beispiel:

$$a=5\,\mathrm{cm}, \qquad b=4\,\mathrm{cm}, \qquad c=6\,\mathrm{cm}.$$

Wir wollen das Dreieck $ABC$ konstruieren.

Dabei verwenden wir die übliche Bezeichnung:

$$a=\overline{BC}, \qquad b=\overline{AC}, \qquad c=\overline{AB}.$$

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13. Dreieck aus drei Seiten – Schritt für Schritt

Schritt 1: Grundseite zeichnen

Zeichne

$$\overline{AB}=c=6\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Kreis um $A$

Der Punkt $C$ soll von $A$ den Abstand

$$b=4\,\mathrm{cm}$$

haben.

Stelle den Zirkel auf $4\,\mathrm{cm}$ und zeichne einen Kreisbogen um $A$.

Schritt 3: Kreis um $B$

Der Punkt $C$ soll von $B$ den Abstand

$$a=5\,\mathrm{cm}$$

haben.

Stelle den Zirkel auf $5\,\mathrm{cm}$ und zeichne einen Kreisbogen um $B$.

Schritt 4: Schnittpunkt bestimmen

Die beiden Kreisbögen schneiden sich in $C$.

Es gilt deshalb gleichzeitig:

$$|AC|=4\,\mathrm{cm}$$

und

$$|BC|=5\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 5: Dreieck fertigstellen

Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.

Damit ist das Dreieck konstruiert.

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14. Wann ist die Konstruktion aus drei Seiten möglich?

Die beiden Kreisbögen müssen sich schneiden.

Bei einem Dreieck muss die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite sein.

Zum Beispiel:

$$4+5>6.$$

Darum ist unser Dreieck konstruierbar.

Sind die Seiten dagegen

$$2\,\mathrm{cm}, \quad 3\,\mathrm{cm}, \quad 6\,\mathrm{cm},$$

dann gilt:

$$2+3<6.$$

Die beiden kürzeren Seiten können die Endpunkte der längsten Seite nicht verbinden.

Es entsteht kein Dreieck.

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15. Dreieck aus Seiten und Winkeln konstruieren

Bei manchen Aufgaben sind nicht nur Seiten, sondern auch Winkel gegeben.

Du musst zuerst überlegen:

Welche Angaben kann ich direkt zeichnen, und welche Information legt den dritten Eckpunkt fest?

Zwei besonders typische Fälle sind:

1. zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel,
2. eine Seite und zwei Winkel.

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16. Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel

Gegeben:

$$c=6\,\mathrm{cm}, \qquad b=4\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=50^\circ.$$

Dabei ist

$$c=\overline{AB}, \qquad b=\overline{AC}.$$

Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$.

Schritt 1: Seite $c$ zeichnen

Zeichne:

$$\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Winkel bei $A$ zeichnen

Zeichne bei $A$ einen Winkel mit

$$\alpha=50^\circ.$$

Ein Schenkel ist bereits die Strecke $\overline{AB}$.

Schritt 3: Länge $b$ abtragen

Stelle den Zirkel auf

$$4\,\mathrm{cm}.$$

Steche in $A$ ein.

Markiere auf dem neuen Winkelschenkel den Punkt $C$.

Damit gilt:

$$|AC|=4\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 4: Verbinden

Verbinde $C$ mit $B$.

Das Dreieck ist fertig.

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17. Eine Seite und zwei Winkel

Gegeben:

$$c=7\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=45^\circ, \qquad \beta=65^\circ.$$

Schritt 1: Seite $c$ zeichnen

Zeichne:

$$\overline{AB}=7\,\mathrm{cm}.$$

Schritt 2: Winkel bei $A$

Zeichne bei $A$ den Winkel

$$45^\circ.$$

Schritt 3: Winkel bei $B$

Zeichne bei $B$ den Winkel

$$65^\circ.$$

Achte darauf, dass beide Winkel auf derselben Seite von $\overline{AB}$ in das Dreiecksinnere zeigen.

Schritt 4: Schnittpunkt bestimmen

Die beiden neuen Winkelschenkel schneiden sich im Punkt $C$.

Verbinde die Punkte.

Damit ist das Dreieck $ABC$ bestimmt.

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18. Konstruktionsbeschreibung schreiben

Bei einer Geometrieaufgabe reicht eine fertige Zeichnung oft nicht aus.

Eine gute Konstruktionsbeschreibung nennt die Schritte in der richtigen Reihenfolge.

Beispiel: Dreieck aus drei Seiten

1. Zeichne $\overline{AB}=c$.
2. Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $b$.
3. Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius .

So kann eine andere Person deine Konstruktion genau nachvollziehen.

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19. Konstruktion kontrollieren

Nach jeder Konstruktion solltest du prüfen, ob die geforderten Eigenschaften wirklich erfüllt sind.

Streckensymmetrale

• steht senkrecht auf der Strecke,
• geht durch deren Mittelpunkt.

Winkelsymmetrale

• teilt den Winkel in zwei gleich große Teile.

Normale

• bildet mit der gegebenen Geraden $90^\circ$.

Parallele

• hat dieselbe Richtung wie die gegebene Gerade.

Dreieck

• alle gegebenen Seitenlängen stimmen,
• alle gegebenen Winkel stimmen.

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20. Typische Fehler

Zirkelöffnung unabsichtlich verändern

Wenn zwei Kreisbögen mit derselben Zirkelöffnung gezeichnet werden sollen, darfst du die Öffnung dazwischen nicht verändern.

Kreisbögen zu klein wählen

Bei der Streckensymmetrale müssen sich die Kreisbögen zweimal schneiden.

Der Radius muss größer als die halbe Strecke sein.

Normale nur „nach Augenmaß“ zeichnen

Eine Normale muss exakt einen Winkel von

$$90^\circ$$

bilden.

Parallele beim Verschieben des Geodreiecks verdrehen

Das Geodreieck darf beim Verschieben seine Richtung nicht ändern.

Beim Dreieck Seiten falsch zuordnen

In einem Dreieck $ABC$ gilt:

$$a=\overline{BC}, \qquad b=\overline{AC}, \qquad c=\overline{AB}.$$

Die Seite mit dem Kleinbuchstaben liegt jeweils dem gleichnamigen Eckpunkt gegenüber.

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21. Das Wichtigste auf einen Blick

Streckensymmetrale:

• senkrecht auf einer Strecke,
• durch deren Mittelpunkt,
• Punkte darauf sind von beiden Endpunkten gleich weit entfernt.

Winkelsymmetrale:

• teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Normale:

$$\boxed{n\perp g}$$

Parallele:

$$\boxed{p\parallel g}$$

Dreieck aus drei Seiten:

• eine Seite zeichnen,
• zwei passende Kreise beziehungsweise Kreisbögen,
• Schnittpunkt ist der dritte Eckpunkt.

Dreieck aus Seiten und Winkeln:

• gegebene Seite zuerst zeichnen,
• Winkel an den richtigen Eckpunkten konstruieren,
• gegebene Seitenlängen abtragen,
• Schnittpunkt beziehungsweise Endpunkt liefert den fehlenden Eckpunkt.