Symmetrie und geometrische Abbildungen

Kompetenzcode: MG 4.8

Symmetrie bedeutet, dass eine Figur nach einer bestimmten Veränderung wieder passend auf sich selbst oder auf ein gleich großes Bild passt.

In diesem Kapitel lernst du,

• Achsensymmetrie zu erkennen,
• Symmetrieachsen zu bestimmen,
• Figuren an einer Geraden zu spiegeln,
• Punktsymmetrie zu erkennen,
• Figuren zu verschieben,
• Figuren zu drehen.

Bei einer geometrischen Abbildung nennen wir einen ursprünglichen Punkt zum Beispiel

$$A$$

und seinen Bildpunkt

$$A'.$$

---

1. Achsensymmetrie erkennen

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn du sie an einer Geraden spiegeln kannst und beide Hälften genau aufeinanderpassen.

Diese Gerade heißt Symmetrieachse.

Du kannst dir die Symmetrieachse wie eine Faltlinie vorstellen:

Wenn du die Figur entlang dieser Linie faltest, liegen passende Punkte genau aufeinander.

Beispiele

Ein Quadrat besitzt mehrere Symmetrieachsen.

Ein gewöhnliches Rechteck besitzt zwei Symmetrieachsen.

Ein beliebiges schiefes Dreieck muss keine Symmetrieachse besitzen.

---

2. Woran erkennst du Achsensymmetrie?

Zu jedem Punkt auf einer Seite der Symmetrieachse gibt es einen passenden Punkt auf der anderen Seite.

Für einen Punkt $A$ und seinen Spiegelpunkt $A'$ gilt:

1. Beide Punkte haben denselben Abstand zur Symmetrieachse.
2. Die Verbindung $AA'$ steht senkrecht auf der Symmetrieachse.
3. Die Symmetrieachse halbiert die Strecke $AA'$.

Das kannst du in einer Zeichnung überprüfen.

Merke: Bei einer Spiegelung liegen Punkt und Bildpunkt gleich weit von der Spiegelachse entfernt.

---

3. Punkte auf der Symmetrieachse

Liegt ein Punkt direkt auf der Symmetrieachse, verändert er seine Lage beim Spiegeln nicht.

Für einen solchen Punkt $P$ gilt:

$$\boxed{P=P'}.$$

Das ist besonders wichtig, wenn eine Figur die Spiegelachse berührt oder schneidet.

---

4. Symmetrieachse bestimmen

Manchmal ist eine Figur gegeben und du sollst ihre Symmetrieachse finden.

Gehe schrittweise vor.

Schritt 1: Passende Punkte suchen

Suche zwei Punkte der Figur, die bei einer Spiegelung aufeinanderfallen würden.

Nenne sie zum Beispiel:

$$A \quad\text{und}\quad A'.$$

Schritt 2: Strecke verbinden

Zeichne die Strecke

$$AA'.$$

Schritt 3: Mittelpunkt bestimmen

Bestimme den Mittelpunkt der Strecke $AA'$.

Schritt 4: Senkrechte durch den Mittelpunkt zeichnen

Die Symmetrieachse steht senkrecht auf $AA'$ und verläuft durch deren Mittelpunkt.

Die Symmetrieachse ist also die Streckensymmetrale von $AA'$.

---

5. Wie viele Symmetrieachsen kann eine Figur haben?

Eine Figur kann

• keine Symmetrieachse,
• genau eine Symmetrieachse,
• mehrere Symmetrieachsen

besitzen.

Gleichschenkeliges Dreieck

Ein gleichschenkeliges Dreieck besitzt genau eine Symmetrieachse.

Sie verläuft durch die Spitze und die Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Rechteck

Ein Rechteck besitzt zwei Symmetrieachsen:

• eine waagrechte,
• eine senkrechte durch die Mitte.

Quadrat

Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen:

• zwei durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten,
• zwei Diagonalen.

Tipp: Eine Linie ist nur dann eine Symmetrieachse, wenn beim Spiegeln die gesamte Figur wieder auf die Figur passt.

---

6. Eine Figur an einer Geraden spiegeln

Nun ist die Spiegelachse bereits gegeben.

Wir spiegeln jeden Eckpunkt einzeln.

Angenommen, ein Punkt $A$ soll an der Geraden $g$ gespiegelt werden.

Schritt 1: Senkrechte zu $g$ zeichnen

Zeichne durch $A$ eine Gerade, die senkrecht auf $g$ steht.

Schritt 2: Abstand messen

Bestimme den Abstand von $A$ zur Spiegelachse $g$.

Schritt 3: Gleichen Abstand auf der anderen Seite abtragen

Trage genau denselben Abstand auf der anderen Seite von $g$ ab.

Dort liegt der Bildpunkt:

$$A'.$$

Schritt 4: Für alle Eckpunkte wiederholen

Spiegle auch

$$B,\ C,\ D,\ldots$$

und erhalte

$$B',\ C',\ D',\ldots$$

Schritt 5: Bildpunkte verbinden

Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die ursprünglichen Punkte.

So entsteht das Spiegelbild.

---

7. Kontrolle einer Spiegelung

Bei jedem Punktpaar $A$ und $A'$ kannst du prüfen:

$$\operatorname{Abstand}(A,g) = \operatorname{Abstand}(A',g).$$

Außerdem muss gelten:

$$AA'\perp g.$$

Die Spiegelachse halbiert die Strecke $AA'$.

Wenn diese Bedingungen für alle Bildpunkte stimmen, ist die Spiegelung korrekt.

---

8. Was bleibt bei einer Spiegelung gleich?

Eine Spiegelung verändert die Lage der Figur, aber nicht ihre Größe.

Es bleiben gleich:

• Seitenlängen,
• Winkelgrößen,
• Umfang,
• Flächeninhalt.

Original und Spiegelbild sind daher gleich groß und gleich geformt.

Die Figur erscheint jedoch seitenverkehrt.

---

9. Punktsymmetrie erkennen

Eine Figur ist punktsymmetrisch zu einem Punkt $Z$, wenn sie nach einer Drehung um

$$180^\circ$$

um diesen Punkt wieder genau auf sich selbst passt.

Der Punkt $Z$ heißt Symmetriezentrum.

Für einen Punkt $A$ und den zugehörigen Punkt $A'$ gilt:

• $A$, $Z$ und $A'$ liegen auf einer Geraden,
• $A$ und $A'$ liegen auf verschiedenen Seiten von ,

Also:

$$\boxed{|AZ|=|ZA'|}.$$

Damit ist $Z$ der Mittelpunkt der Strecke $AA'$.

---

10. Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie?

Die beiden Symmetriearten sind nicht dasselbe.

Achsensymmetrie

Du spiegelst an einer Geraden.

Wichtige Idee:

$$\text{Falten entlang einer Linie}.$$

Punktsymmetrie

Du drehst um einen Punkt um

$$180^\circ.$$

Wichtige Idee:

$$\text{halbe Drehung um ein Zentrum}.$$

Eine Figur kann achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, beides oder keines von beiden sein.

---

11. Beispiel für Punktsymmetrie

Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Drehst du das Parallelogramm um diesen Punkt um

$$180^\circ,$$

dann fällt die Figur wieder genau auf sich selbst.

Gegenüberliegende Eckpunkte werden dabei miteinander vertauscht.

---

12. Figur verschieben

Bei einer Verschiebung wird jeder Punkt der Figur

• in dieselbe Richtung
• und um dieselbe Strecke

bewegt.

Eine Verschiebung kannst du durch einen Pfeil beschreiben.

Der Pfeil zeigt

• die Richtung,
• die Länge der Verschiebung.

Beispiel

Ein Punkt $A$ wird

• $4$ Kästchen nach rechts,
• $2$ Kästchen nach oben

verschoben.

Dann liegt dort sein Bildpunkt

$$A'.$$

Für jeden anderen Punkt der Figur gilt genau dieselbe Bewegung.

---

13. Figur auf einem Raster verschieben

Angenommen, ein Dreieck hat die Eckpunkte

$$A,\ B,\ C.$$

Die Verschiebung lautet:

$3$ Kästchen nach rechts und $1$ Kästchen nach oben.

Dann gehst du für jeden Eckpunkt gleich vor:

$$A\longrightarrow A',$$ $$B\longrightarrow B',$$ $$C\longrightarrow C'.$$

Danach verbindest du

$$A',B',C'$$

in derselben Reihenfolge.

Merke: Bei einer Verschiebung erhalten alle Punkte denselben Verschiebungspfeil.

---

14. Was bleibt bei einer Verschiebung gleich?

Eine Verschiebung verändert nur die Lage.

Es bleiben gleich:

• Seitenlängen,
• Winkelgrößen,
• Form,
• Größe,
• Umfang,
• Flächeninhalt.

Die Figur wird weder gedreht noch gespiegelt.

---

15. Figur drehen

Bei einer Drehung brauchst du drei Angaben:

1. ein Drehzentrum $Z$,
2. einen Drehwinkel $\alpha$,
3. eine Drehrichtung.

Die Drehrichtung kann sein:

• im Uhrzeigersinn,
• gegen den Uhrzeigersinn.

---

16. Einen Punkt drehen

Wir drehen einen Punkt $A$ um das Zentrum $Z$.

Schritt 1: Verbindung zum Drehzentrum

Zeichne die Strecke

$$ZA.$$

Schritt 2: Drehwinkel abtragen

Trage am Punkt $Z$ den vorgegebenen Winkel $\alpha$ in der richtigen Drehrichtung ab.

Schritt 3: Abstand beibehalten

Der Bildpunkt $A'$ muss gleich weit von $Z$ entfernt sein wie $A$.

Es gilt:

$$\boxed{|ZA|=|ZA'|}.$$

Schritt 4: Bildpunkt markieren

Auf dem neuen Strahl markierst du $A'$ in genau diesem Abstand.

---

17. Eine ganze Figur drehen

Bei einer Figur drehst du jeden Eckpunkt mit

• demselben Drehzentrum,
• demselben Drehwinkel,
• derselben Drehrichtung.

Zum Beispiel:

$$A\longrightarrow A',$$ $$B\longrightarrow B',$$ $$C\longrightarrow C'.$$

Danach verbindest du die Bildpunkte wieder in derselben Reihenfolge.

---

18. Besondere Drehwinkel

Einige Drehwinkel kannst du dir besonders gut vorstellen.

Vierteldrehung

$$90^\circ$$

Halbdrehung

$$180^\circ$$

Eine Halbdrehung ist besonders wichtig für die Punktsymmetrie.

Dreivierteldrehung

$$270^\circ$$

Ganze Drehung

$$360^\circ$$

Nach einer ganzen Drehung liegt jeder Punkt wieder an seiner ursprünglichen Stelle.

---

19. Was bleibt bei einer Drehung gleich?

Auch eine Drehung verändert die Figur nicht in ihrer Form oder Größe.

Es bleiben gleich:

• Seitenlängen,
• Winkelgrößen,
• Umfang,
• Flächeninhalt.

Zusätzlich bleibt für jeden Punkt der Abstand zum Drehzentrum gleich:

$$\boxed{|ZA|=|ZA'|}.$$

---

20. Spiegeln, Verschieben oder Drehen?

Du kannst die Abbildungen an ihren Kennzeichen unterscheiden.

Spiegelung

• es gibt eine Spiegelachse,
• Punkt und Bildpunkt liegen gleich weit von der Achse entfernt,
• Verbindung von Punkt und Bildpunkt steht senkrecht auf der Achse.

Verschiebung

• alle Punkte bewegen sich gleich weit,
• alle Punkte bewegen sich in dieselbe Richtung.

Drehung

• es gibt ein Drehzentrum,
• jeder Punkt behält seinen Abstand zum Drehzentrum,
• alle Punkte werden um denselben Winkel gedreht.

---

21. Typische Fehler

Fehler 1: Abstand bei der Spiegelung falsch messen

Der Abstand zur Spiegelachse wird immer senkrecht gemessen.

Nicht schräg.

Fehler 2: Nur einen Eckpunkt verschieben

Bei einer Verschiebung müssen alle Punkte denselben Verschiebungspfeil erhalten.

Fehler 3: Bei einer Drehung den Abstand zum Zentrum verändern

Richtig ist:

$$|ZA|=|ZA'|.$$

Fehler 4: Drehrichtung vergessen

Eine Drehung um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn führt im Allgemeinen zu einem anderen Bild als $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn.

Fehler 5: Punktsymmetrie mit Achsensymmetrie verwechseln

Punktsymmetrie:

$$180^\circ\text{-Drehung um einen Punkt}$$

Achsensymmetrie:

$$\text{Spiegelung an einer Geraden}.$$

---

22. Das Wichtigste auf einen Blick

Achsensymmetrie:

• Spiegelung an einer Geraden,
• Punkt und Bildpunkt gleich weit von der Achse entfernt,
• die Achse halbiert die Verbindungsstrecke senkrecht.

Punktsymmetrie:

• Symmetriezentrum $Z$,
• entspricht einer Drehung um $180^\circ$,
• $Z$ ist Mittelpunkt von $AA'$.

Verschiebung:

• gleiche Richtung,
• gleiche Strecke für jeden Punkt.

Drehung:

• Drehzentrum $Z$,
• Drehwinkel $\alpha$,
• Drehrichtung,
• Abstand zum Zentrum bleibt gleich.

Bei Spiegelung, Verschiebung und Drehung bleiben Form und Größe der Figur erhalten.