Kreis und Kreisteile

Kompetenzcode: MG 4.7

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind.

In diesem Kapitel lernst du,

• Radius und Durchmesser zu unterscheiden,
• Radius und Durchmesser ineinander umzurechnen,
• den Kreisumfang zu berechnen,
• die Kreisfläche zu berechnen,
• einen Kreisbogen zu erkennen,
• einen Kreissektor zu erkennen.

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1. Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

Der Mittelpunkt eines Kreises wird häufig mit

$$M$$

bezeichnet.

Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie.

Wir schreiben:

$$\boxed{r}$$

Der Durchmesser verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie und verläuft durch den Mittelpunkt.

Wir schreiben:

$$\boxed{d}$$

Der Durchmesser besteht aus zwei Radien.

Deshalb gilt:

$$\boxed{d=2r}$$

und umgekehrt:

$$\boxed{r=\frac{d}{2}}.$$

Merke: Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.

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2. Radius und Durchmesser unterscheiden

Beispiel 1

Eine Strecke beginnt im Mittelpunkt und endet auf der Kreislinie.

Dann ist sie ein

$$\boxed{\text{Radius}}.$$

Beispiel 2

Eine Strecke verbindet zwei Punkte der Kreislinie und geht durch den Mittelpunkt.

Dann ist sie ein

$$\boxed{\text{Durchmesser}}.$$

Wichtiger Unterschied

Ein Durchmesser verläuft immer durch den Mittelpunkt.

Eine beliebige Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie ist daher nicht automatisch ein Durchmesser.

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3. Durchmesser aus dem Radius berechnen

Gegeben:

$$r=4\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$d.$$

Wir verwenden:

$$d=2r.$$

Einsetzen:

$$d=2\cdot4.$$ $$d=8.$$

Also:

$$\boxed{d=8\,\mathrm{cm}}.$$

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4. Radius aus dem Durchmesser berechnen

Gegeben:

$$d=14\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$r.$$

Wir verwenden:

$$r=\frac{d}{2}.$$

Einsetzen:

$$r=\frac{14}{2}.$$ $$r=7.$$

Also:

$$\boxed{r=7\,\mathrm{cm}}.$$

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5. Die Kreiszahl $\pi$

Bei allen Kreisen ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich.

Diese besondere Zahl heißt

$$\pi$$

und wird „Pi“ gesprochen.

Näherungsweise gilt:

$$\boxed{\pi\approx3{,}14159}.$$

Bei Rechnungen verwendest du am besten die $\pi$-Taste des Taschenrechners.

Tipp: Runde erst am Ende der Rechnung. So vermeidest du unnötige Rundungsfehler.

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6. Kreisumfang

Der Umfang ist die Länge der Kreislinie.

Für den Umfang $u$ gilt:

$$\boxed{u=2\pi r}$$

Da

$$d=2r$$

gilt auch:

$$\boxed{u=\pi d}.$$

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7. Kreisumfang mit dem Radius berechnen

Gegeben:

$$r=5\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$u.$$

Wir verwenden:

$$u=2\pi r.$$

Einsetzen:

$$u=2\pi\cdot5.$$ $$u=10\pi.$$

Mit dem Taschenrechner:

$$u\approx31{,}42.$$

Damit:

$$\boxed{u\approx31{,}42\,\mathrm{cm}}.$$

Der Umfang ist eine Länge und hat deshalb eine Längeneinheit.

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8. Kreisumfang mit dem Durchmesser berechnen

Gegeben:

$$d=12\,\mathrm{cm}.$$

Dann gilt:

$$u=\pi d.$$

Einsetzen:

$$u=12\pi.$$ $$u\approx37{,}70.$$

Also:

$$\boxed{u\approx37{,}70\,\mathrm{cm}}.$$

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9. Kreisfläche

Der Flächeninhalt eines Kreises wird mit $A$ bezeichnet.

Es gilt:

$$\boxed{A=\pi r^2}.$$

Das Quadrat gehört zum Radius:

$$r^2=r\cdot r.$$

Beispiel

Gegeben:

$$r=4\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$A.$$

Wir setzen ein:

$$A=\pi\cdot4^2.$$

Zuerst die Potenz:

$$4^2=16.$$

Damit:

$$A=16\pi.$$ $$A\approx50{,}27.$$

Also:

$$\boxed{A\approx50{,}27\,\mathrm{cm}^2}.$$

Merke: Eine Fläche hat eine Quadrateinheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}^2$.

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10. Umfang und Fläche nicht verwechseln

Der Umfang beschreibt die Länge rund um den Kreis:

$$\boxed{u=2\pi r}.$$

Die Fläche beschreibt den Inhalt innerhalb der Kreislinie:

$$\boxed{A=\pi r^2}.$$

Die Einheiten helfen:

Umfang:

$$\mathrm{cm}$$

Fläche:

$$\mathrm{cm}^2.$$

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11. Was passiert bei doppeltem Radius?

Angenommen, der Radius wird verdoppelt:

$$r\longrightarrow2r.$$

Beim Umfang gilt:

$$u'=2\pi\cdot2r=2u.$$

Der Umfang wird doppelt so groß.

Bei der Fläche:

$$A'=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4A.$$

Die Fläche wird viermal so groß.

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12. Was ist ein Kreisbogen?

Ein Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie.

Er beginnt an einem Punkt auf der Kreislinie und endet an einem anderen Punkt auf der Kreislinie.

In der Mitte liegt ein Winkel

$$\alpha.$$

Je größer dieser Winkel ist, desto länger ist der zugehörige Kreisbogen.

Ein ganzer Kreis entspricht:

$$360^\circ.$$

Ein Halbkreis entspricht:

$$180^\circ.$$

Ein Viertelkreis entspricht:

$$90^\circ.$$

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13. Kreisbogen erkennen

Ein Kreisbogen ist nur die gebogene Linie am Rand des Kreises.

Er ist keine Fläche.

Wir bezeichnen seine Länge häufig mit

$$b.$$

Für einen Mittelpunktswinkel $\alpha$ gilt:

$$\boxed{ b= 2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ} }$$

Gleichwertig:

$$\boxed{ b= \pi r\cdot\frac{\alpha}{180^\circ} }.$$

Für das Atomic ist besonders wichtig, den Kreisbogen sicher als Teil der Kreislinie zu erkennen.

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14. Beispiel zum Kreisbogen

Ein Kreis hat Radius

$$r=6\,\mathrm{cm}.$$

Der Mittelpunktswinkel beträgt

$$90^\circ.$$

Das ist ein Viertel des ganzen Kreises.

Der Umfang ist:

$$u=2\pi\cdot6=12\pi.$$

Ein Viertel davon:

$$b=\frac{12\pi}{4}=3\pi.$$

Also:

$$\boxed{b=3\pi\,\mathrm{cm}\approx9{,}42\,\mathrm{cm}}.$$

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15. Was ist ein Kreissektor?

Ein Kreissektor ist eine Fläche im Kreis.

Er wird begrenzt durch

• zwei Radien,
• einen Kreisbogen.

Ein Kreissektor sieht häufig wie ein Stück Torte oder Pizza aus.

Merke:
Kreisbogen = Teil der Kreislinie.
Kreissektor = Teil der Kreisfläche.

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16. Kreissektor erkennen

Ein Kreissektor gehört zu einem Mittelpunktswinkel $\alpha$.

Ein ganzer Kreis hat:

$$360^\circ.$$

Deshalb entspricht ein Sektor mit

$$90^\circ$$

einem Viertelkreis.

Ein Sektor mit

$$180^\circ$$

ist ein Halbkreis.

Ein Sektor mit

$$45^\circ$$

ist ein Achtel des Kreises:

$$\frac{45^\circ}{360^\circ}=\frac18.$$

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17. Fläche eines Kreissektors

Für die Fläche eines Kreissektors gilt:

$$\boxed{ A_{\text{Sektor}} = \pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ} }.$$

Beispiel

Gegeben:

$$r=8\,\mathrm{cm}, \qquad \alpha=90^\circ.$$

Der Sektor ist ein Viertelkreis.

Die gesamte Kreisfläche ist:

$$A=\pi\cdot8^2=64\pi.$$

Ein Viertel davon:

$$A_{\text{Sektor}}=\frac{64\pi}{4}=16\pi.$$

Also:

$$\boxed{ A_{\text{Sektor}} = 16\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx50{,}27\,\mathrm{cm}^2 }.$$

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18. Winkel und Kreisanteil

Der Mittelpunktswinkel zeigt den Anteil am ganzen Kreis:

$$\boxed{ \text{Anteil} = \frac{\alpha}{360^\circ} }.$$

Beispiele:

$$90^\circ\Rightarrow\frac14, \qquad 180^\circ\Rightarrow\frac12, \qquad 270^\circ\Rightarrow\frac34.$$

Dieser Anteil kann auf

• den Umfang für einen Kreisbogen,
• die Fläche für einen Kreissektor

übertragen werden.

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19. Typische Fehler

Radius und Durchmesser verwechseln

Richtig:

$$d=2r.$$

Beim Umfang $r^2$ verwenden

Falsch:

$$u=2\pi r^2.$$

Richtig:

$$\boxed{u=2\pi r}.$$

Bei der Fläche das Quadrat vergessen

Falsch:

$$A=\pi r.$$

Richtig:

$$\boxed{A=\pi r^2}.$$

Kreisbogen und Kreissektor verwechseln

Kreisbogen:

$$\text{Linie}$$

Kreissektor:

$$\text{Fläche}.$$

Falsche Einheit verwenden

Umfang und Kreisbogen:

$$\mathrm{cm}$$

Fläche und Kreissektorfläche:

$$\mathrm{cm}^2.$$

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20. Das Wichtigste auf einen Blick

Radius und Durchmesser:

$$\boxed{d=2r}$$ $$\boxed{r=\frac d2}$$

Kreisumfang:

$$\boxed{u=2\pi r=\pi d}$$

Kreisfläche:

$$\boxed{A=\pi r^2}$$

Kreisbogen:

$$\boxed{ b= 2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ} }$$

Kreissektor:

$$\boxed{ A_{\text{Sektor}} = \pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ} }$$

Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie. Kreissektor ist ein Teil der Kreisfläche.