Vierecke und Vielecke

Kompetenzcode: MG 4.6

Vierecke begegnen dir überall: bei Fenstern, Fliesen, Schildern, Dächern oder Spielfeldern.

In diesem Kapitel lernst du,

• Rechteck und Quadrat anhand ihrer Eigenschaften zu unterscheiden,
• Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachenviereck zu erkennen,
• den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen,
• den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen,
• die Winkelsumme eines Vielecks zu bestimmen.

---

1. Was ist ein Viereck?

Ein Viereck besitzt

• vier Seiten,
• vier Eckpunkte,
• vier Innenwinkel.

Die Summe der vier Innenwinkel beträgt immer

$$\boxed{360^\circ}.$$

Viele Vierecke besitzen zusätzliche Eigenschaften. Genau diese Eigenschaften helfen dir beim Erkennen.

---

2. Rechteck und Quadrat unterscheiden

Rechteck

Ein Rechteck besitzt vier rechte Winkel:

$$\boxed{90^\circ,\;90^\circ,\;90^\circ,\;90^\circ}.$$

Außerdem sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten

• gleich lang,
• parallel.

Für die Seitenlängen $a$ und $b$ gilt daher:

$$a,\;b,\;a,\;b.$$

Quadrat

Ein Quadrat besitzt ebenfalls vier rechte Winkel.

Zusätzlich sind aber alle vier Seiten gleich lang:

$$\boxed{a=a=a=a}.$$

Das Quadrat ist also ein besonderes Rechteck.

Merke:
Rechteck: vier rechte Winkel.
Quadrat: vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten.

Beispiel

Ein Viereck hat vier rechte Winkel. Zwei Seiten sind $6\,\mathrm{cm}$ lang und zwei Seiten $4\,\mathrm{cm}$.

Dann ist es ein

$$\boxed{\text{Rechteck}}$$

aber kein Quadrat.

Sind dagegen alle vier Seiten $5\,\mathrm{cm}$ lang und alle Winkel $90^\circ$, dann ist es ein

$$\boxed{\text{Quadrat}}.$$

---

3. Parallelogramm erkennen

Ein Parallelogramm besitzt zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten.

Also:

$$\boxed{a\parallel c}$$

und

$$\boxed{b\parallel d}.$$

Außerdem sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Auch gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

Ein Parallelogramm muss keine rechten Winkel besitzen.

Tipp: Lass dich nicht von einer schrägen Zeichnung täuschen. Entscheidend sind die parallelen Seiten.

---

4. Raute erkennen

Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten:

$$\boxed{a=b=c=d}.$$

Außerdem sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel.

Eine Raute kann wie ein „schräges Quadrat“ aussehen.

Aber:

Ein Quadrat hat vier rechte Winkel.

Eine Raute muss keine rechten Winkel besitzen.

Vergleich

Quadrat:

• vier gleich lange Seiten,
• vier rechte Winkel.

Raute:

• vier gleich lange Seiten,
• gegenüberliegende Seiten parallel,
• Winkel müssen nicht $90^\circ$ sein.

Merke: Jedes Quadrat ist eine Raute. Aber nicht jede Raute ist ein Quadrat.

---

5. Trapez erkennen

Ein Trapez besitzt ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten.

Diese parallelen Seiten werden häufig mit

$$a$$

und

$$c$$

bezeichnet.

Dann gilt:

$$\boxed{a\parallel c}.$$

Die beiden anderen Seiten müssen nicht parallel sein.

Für typische Schulaufgaben erkennst du ein Trapez also an den beiden parallelen Grundseiten.

Die senkrechte Entfernung zwischen diesen parallelen Seiten heißt Höhe:

$$h.$$

---

6. Drachenviereck erkennen

Ein Drachenviereck besitzt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.

Zum Beispiel:

$$\boxed{a=a}$$

und

$$\boxed{b=b}.$$

Wichtig ist das Wort benachbart:

Die gleich langen Seiten liegen jeweils direkt nebeneinander.

Ein Drachenviereck ist häufig achsensymmetrisch.

Vergleich mit der Raute

Raute:

$$\text{alle vier Seiten gleich lang}$$

Drachenviereck:

$$\text{je zwei benachbarte Seiten gleich lang}.$$

---

7. Die wichtigsten Eigenschaften im Überblick

Tipp: Achte beim Erkennen zuerst auf rechte Winkel, dann auf gleich lange Seiten und schließlich auf Parallelität.

---

8. Flächeninhalt eines Parallelogramms

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms brauchst du

• eine Grundseite,
• die zugehörige Höhe.

Für die Grundseite $a$ und die Höhe $h_a$ gilt:

$$\boxed{A=a\cdot h_a}.$$

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.

Sie ist nicht einfach die schräge Seitenlänge.

---

9. Beispiel zum Parallelogramm

Gegeben:

$$a=8\,\mathrm{cm}, \qquad h_a=5\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist der Flächeninhalt.

$$A=a\cdot h_a.$$

Einsetzen:

$$A=8\cdot5.$$ $$A=40.$$

Damit:

$$\boxed{A=40\,\mathrm{cm}^2}.$$

Merke: Beim Flächeninhalt verwendest du immer eine Quadrateinheit:

$$\mathrm{cm}^2,\quad \mathrm{m}^2,\quad \ldots$$

---

10. Warum funktioniert $A=a\cdot h_a$?

Stell dir vor, du schneidest an einer Seite des Parallelogramms ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen Seite wieder an.

So entsteht ein Rechteck.

Das Rechteck hat

• dieselbe Grundseite $a$,
• dieselbe Höhe $h_a$,
• denselben Flächeninhalt.

Deshalb gilt:

$$\boxed{A=a\cdot h_a}.$$

---

11. Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten.

Wir nennen sie

$$a$$

und

$$c.$$

Die Höhe zwischen ihnen heißt

$$h.$$

Für den Flächeninhalt gilt:

$$\boxed{A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}}.$$

Du kannst dir die Formel so merken:

1. Addiere die beiden parallelen Seiten.
2. Multipliziere mit der Höhe.
3. Teile durch $2$.

---

12. Beispiel zum Trapez

Gegeben:

$$a=10\,\mathrm{cm}, \qquad c=6\,\mathrm{cm}, \qquad h=4\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$A.$$

Einsetzen:

$$A=\frac{(10+6)\cdot4}{2}.$$

Klammer zuerst:

$$A=\frac{16\cdot4}{2}.$$ $$A=\frac{64}{2}.$$ $$A=32.$$

Damit:

$$\boxed{A=32\,\mathrm{cm}^2}.$$

---

13. Warum wird beim Trapez durch 2 geteilt?

Wenn du zwei gleiche Trapeze passend zusammensetzt, entsteht ein Parallelogramm.

Dieses Parallelogramm hat die Grundseite

$$a+c$$

und die Höhe

$$h.$$

Sein Flächeninhalt ist:

$$(a+c)\cdot h.$$

Ein einzelnes Trapez ist genau die Hälfte davon.

Deshalb:

$$\boxed{A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}}.$$

---

14. Typischer Fehler bei Flächenformeln

Beim Parallelogramm und beim Trapez brauchst du jeweils eine senkrechte Höhe.

Eine schräge Seitenlänge ist nicht automatisch die Höhe.

Achte auf den rechten Winkel:

$$\boxed{90^\circ}.$$

---

15. Was ist ein Vieleck?

Ein Vieleck ist eine geschlossene Figur aus mehreren geraden Seiten.

Beispiele:

• Dreieck: $3$ Seiten
• Viereck: $4$ Seiten
• Fünfeck: $5$ Seiten
• Sechseck: $6$ Seiten
• Achteck: $8$ Seiten

Für ein Vieleck mit $n$ Seiten sagt man auch:

$$n\text{-Eck}.$$

---

16. Winkelsumme eines Vielecks

Ein $n$-Eck kann von einem Eckpunkt aus in Dreiecke zerlegt werden.

Bei einem Viereck entstehen

$$2$$

Dreiecke.

Bei einem Fünfeck entstehen

$$3$$

Dreiecke.

Bei einem Sechseck entstehen

$$4$$

Dreiecke.

Allgemein entstehen:

$$\boxed{n-2}$$

Dreiecke.

Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von

$$180^\circ$$

hat, ergibt sich:

$$\boxed{ S=(n-2)\cdot180^\circ }$$

Dabei ist

• $n$ ... Anzahl der Seiten,
• $S$ ... Summe der Innenwinkel.

---

17. Winkelsumme eines Fünfecks

Ein Fünfeck hat

$$n=5$$

Seiten.

Wir verwenden:

$$S=(n-2)\cdot180^\circ.$$

Einsetzen:

$$S=(5-2)\cdot180^\circ.$$ $$S=3\cdot180^\circ.$$ $$\boxed{S=540^\circ}.$$

---

18. Winkelsumme eines Achtecks

Für ein Achteck gilt:

$$n=8.$$

Also:

$$S=(8-2)\cdot180^\circ.$$ $$S=6\cdot180^\circ.$$ $$\boxed{S=1080^\circ}.$$

---

19. Fehlenden Winkel in einem Vieleck bestimmen

Kennst du alle Winkel bis auf einen, kannst du zuerst die gesamte Winkelsumme berechnen.

Beispiel: Fünfeck

Gegeben sind vier Winkel:

$$100^\circ,\quad110^\circ,\quad95^\circ,\quad120^\circ.$$

Gesucht ist $\alpha$.

Schritt 1: Winkelsumme berechnen

$$S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ.$$

Schritt 2: Gleichung aufstellen

$$100^\circ+110^\circ+95^\circ+120^\circ+\alpha=540^\circ.$$

Die bekannten Winkel ergeben:

$$425^\circ.$$

Also:

$$\begin{aligned} 425^\circ+\alpha&=540^\circ &&/-425^\circ\\ \alpha&=115^\circ \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{\alpha=115^\circ}.$$

---

20. Typische Fehler

Fehler 1: Rechteck und Quadrat nur nach dem Aussehen unterscheiden

Verlasse dich nicht darauf, ob eine Figur „quadratisch aussieht“.

Prüfe die Eigenschaften.

Ein Quadrat braucht:

• vier rechte Winkel,
• vier gleich lange Seiten.

---

Fehler 2: Raute und Drachenviereck verwechseln

Raute:

$$\text{alle vier Seiten gleich lang}$$

Drachenviereck:

$$\text{zwei Paare benachbarter Seiten gleich lang}$$

---

Fehler 3: Schräge Seite als Höhe verwenden

Bei Flächenformeln ist die Höhe immer senkrecht zu den parallelen Seiten.

---

Fehler 4: Beim Trapez nur eine Grundseite verwenden

Die Trapezformel enthält beide parallelen Seiten:

$$\boxed{A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}}.$$

---

Fehler 5: Winkelsumme mit $n\cdot180^\circ$ berechnen

Richtig ist:

$$\boxed{S=(n-2)\cdot180^\circ}.$$

Denn ein $n$-Eck wird von einem Eckpunkt aus in $n-2$ Dreiecke zerlegt.

---

21. Das Wichtigste auf einen Blick

Rechteck:

• vier rechte Winkel,
• gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel.

Quadrat:

• vier rechte Winkel,
• vier gleich lange Seiten.

Parallelogramm:

• zwei Paare paralleler Gegenseiten.

Raute:

• vier gleich lange Seiten.

Trapez:

• ein Paar paralleler Gegenseiten.

Drachenviereck:

• zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.

Parallelogrammfläche:

$$\boxed{A=a\cdot h_a}$$

Trapezfläche:

$$\boxed{A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}}$$

Winkelsumme eines $n$-Ecks:

$$\boxed{S=(n-2)\cdot180^\circ}.$$