Dreiecke und ihre Eigenschaften

Kompetenzcode: MG 4.5

Ein Dreieck besteht aus drei Seiten und drei Winkeln.

Dreiecke können sehr unterschiedlich aussehen. Trotzdem kann man sie nach klaren Eigenschaften ordnen und mit wenigen Grundregeln viele Größen berechnen.

In diesem Kapitel lernst du,

• Dreiecke nach ihren Seiten zu unterscheiden,
• Dreiecke nach ihren Winkeln zu unterscheiden,
• einen fehlenden Winkel zu berechnen,
• die Höhe eines Dreiecks zu erkennen und einzuzeichnen,
• den Umfang zu berechnen,
• den Flächeninhalt zu berechnen.

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1. Dreiecke nach ihren Seiten einteilen

Je nachdem, wie viele Seiten gleich lang sind, unterscheidet man drei Arten.

Gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang:

$$\boxed{a=b=c}$$

Auch alle drei Winkel sind gleich groß.

Da die Winkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt, gilt:

$$\frac{180^\circ}{3}=60^\circ.$$

Deshalb hat ein gleichseitiges Dreieck immer drei Winkel mit

$$\boxed{60^\circ}.$$

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Gleichschenkeliges Dreieck

Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.

Zum Beispiel:

$$\boxed{a=b}$$

Die beiden Winkel gegenüber diesen gleich langen Seiten sind ebenfalls gleich groß.

Diese beiden gleichen Winkel nennt man Basiswinkel.

Beispiel

Ist der dritte Winkel

$$40^\circ,$$

dann bleiben für die beiden gleich großen Basiswinkel zusammen

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Da beide Basiswinkel gleich groß sind:

$$\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$$

Also sind die Winkel:

$$\boxed{70^\circ,\;70^\circ,\;40^\circ}.$$

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Ungleichseitiges Dreieck

Bei einem ungleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten verschieden lang:

$$\boxed{a\neq b,\qquad b\neq c,\qquad a\neq c}$$

Dann sind im Allgemeinen auch die drei Winkel verschieden groß.

Merke:
gleichseitig = drei gleich lange Seiten
gleichschenkelig = zwei gleich lange Seiten
ungleichseitig = drei verschieden lange Seiten

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2. Dreiecke nach ihren Winkeln einteilen

Dreiecke kann man auch danach ordnen, welche Winkel vorkommen.

Spitzwinkeliges Dreieck

In einem spitzwinkeligen Dreieck sind alle drei Winkel kleiner als

$$90^\circ.$$

Zum Beispiel:

$$50^\circ,\quad60^\circ,\quad70^\circ.$$

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Rechtwinkeliges Dreieck

Ein rechtwinkeliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel:

$$\boxed{90^\circ}.$$

Die beiden anderen Winkel sind spitz.

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Stumpfwinkeliges Dreieck

Ein stumpfwinkeliges Dreieck hat genau einen Winkel, der größer als $90^\circ$ ist.

Zum Beispiel:

$$110^\circ,\quad40^\circ,\quad30^\circ.$$

Merke: Ein Dreieck kann nicht zwei rechte oder zwei stumpfe Winkel besitzen. Zwei Winkel von mindestens $90^\circ$ würden bereits zusammen mindestens $180^\circ$ ergeben.

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3. Ein Dreieck kann zwei Bezeichnungen gleichzeitig haben

Die Einteilung nach Seiten und die Einteilung nach Winkeln beschreiben unterschiedliche Eigenschaften.

Ein Dreieck kann deshalb zum Beispiel gleichzeitig

• gleichschenkelig und rechtwinkelig,
• gleichschenkelig und spitzwinkelig,
• ungleichseitig und stumpfwinkelig

sein.

Beispiel

Ein Dreieck hat die Seitenlängen

$$5\,\mathrm{cm},\quad5\,\mathrm{cm},\quad7\,\mathrm{cm}.$$

Es ist wegen der beiden gleich langen Seiten gleichschenkelig.

Wenn alle Winkel kleiner als $90^\circ$ sind, ist es gleichzeitig spitzwinkelig.

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4. Winkelsumme im Dreieck

In jedem Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel

$$\boxed{180^\circ}.$$

Für die Winkel $\alpha,\beta,\gamma$ gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$$

Damit kannst du einen fehlenden Winkel berechnen.

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5. Fehlenden Winkel berechnen

Beispiel 1

Gegeben:

$$\alpha=52^\circ, \qquad \beta=68^\circ.$$

Gesucht:

$$\gamma.$$

Wir verwenden:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 52^\circ+68^\circ+\gamma&=180^\circ &&/-120^\circ\\ \gamma&=60^\circ \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{\gamma=60^\circ}.$$

Probe

$$52^\circ+68^\circ+60^\circ=180^\circ.$$

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6. Fehlender Winkel im gleichschenkeligen Dreieck

Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß.

Beispiel

Ein gleichschenkeliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von

$$36^\circ.$$

Die beiden Basiswinkel sind gleich groß. Wir nennen jeden davon $\alpha$.

Dann gilt:

$$\begin{aligned} 36^\circ+2\alpha&=180^\circ &&/-36^\circ\\ 2\alpha&=144^\circ &&/:2\\ \alpha&=72^\circ \end{aligned}$$

Die drei Winkel sind also:

$$\boxed{72^\circ,\;72^\circ,\;36^\circ}.$$

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7. Die Höhe eines Dreiecks

Eine Höhe steht immer senkrecht auf einer Seite des Dreiecks.

Zu jeder Seite gehört eine eigene Höhe.

Zur Seite $a$ gehört die Höhe

$$h_a.$$

Zur Seite $b$ gehört die Höhe

$$h_b.$$

Zur Seite $c$ gehört die Höhe

$$h_c.$$

Merke: Eine Höhe steht immer im rechten Winkel auf der zugehörigen Seite oder auf deren Verlängerung.

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8. Eine Höhe einzeichnen

Wir möchten die Höhe zur Seite $a$ einzeichnen.

Schritt 1: Grundseite auswählen

Bestimme die Seite $a$.

Diese Seite ist für unsere Zeichnung die Grundseite.

Schritt 2: Gegenüberliegenden Eckpunkt finden

Suche den Eckpunkt, der nicht auf der Seite $a$ liegt.

Schritt 3: Senkrechte zeichnen

Zeichne vom gegenüberliegenden Eckpunkt eine Linie senkrecht auf die Seite $a$.

Der Winkel zwischen Höhe und Seite beträgt

$$90^\circ.$$

Diese Strecke ist

$$\boxed{h_a}.$$

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9. Höhe bei stumpfwinkeligen Dreiecken

Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck kann eine Höhe außerhalb des Dreiecks liegen.

Dann musst du die betreffende Seite gedanklich oder mit dem Lineal verlängern.

Die Höhe steht anschließend senkrecht auf dieser verlängerten Seite.

Die Höhe gehört trotzdem zu dieser Seite.

Das ist kein Fehler in der Zeichnung.

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10. Umfang eines Dreiecks

Der Umfang ist die gesamte Länge des Randes.

Beim Dreieck addierst du alle drei Seiten:

$$\boxed{u=a+b+c}.$$

Beispiel

Ein Dreieck hat die Seiten

$$a=5\,\mathrm{cm}, \qquad b=7\,\mathrm{cm}, \qquad c=9\,\mathrm{cm}.$$

Dann:

$$u=5+7+9.$$ $$u=21.$$

Also:

$$\boxed{u=21\,\mathrm{cm}}.$$

Tipp: Der Umfang hat immer eine Längeneinheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}$, $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{km}$.

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11. Flächeninhalt eines Dreiecks

Für den Flächeninhalt brauchst du

• eine Grundseite
• und die dazugehörige Höhe.

Für die Grundseite $a$ und die Höhe $h_a$ gilt:

$$\boxed{A=\frac{a\cdot h_a}{2}}.$$

Ebenso kannst du mit anderen Seiten und ihren zugehörigen Höhen rechnen:

$$A=\frac{b\cdot h_b}{2}$$

oder

$$A=\frac{c\cdot h_c}{2}.$$

Wichtig ist nur:

Seite und Höhe müssen zusammengehören.

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12. Warum wird durch 2 geteilt?

Stell dir zwei gleiche Dreiecke vor.

Zusammen können sie zu einem Parallelogramm zusammengesetzt werden.

Das Parallelogramm hat den Flächeninhalt

$$a\cdot h_a.$$

Ein einzelnes Dreieck ist genau die Hälfte davon.

Deshalb:

$$\boxed{A=\frac{a\cdot h_a}{2}}.$$

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13. Flächeninhalt berechnen

Beispiel

Gegeben:

$$a=8\,\mathrm{cm}, \qquad h_a=5\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$A.$$

Wir setzen ein:

$$A=\frac{8\cdot5}{2}.$$ $$A=\frac{40}{2}.$$ $$A=20.$$

Damit:

$$\boxed{A=20\,\mathrm{cm}^2}.$$

Merke: Ein Flächeninhalt hat immer eine Quadrateinheit, zum Beispiel

$$\mathrm{cm}^2,\quad \mathrm{m}^2.$$

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14. Grundseite oder Höhe berechnen

Manchmal sind Flächeninhalt und Grundseite bekannt.

Dann kann die Höhe berechnet werden.

Beispiel

Gegeben:

$$A=30\,\mathrm{cm}^2, \qquad a=10\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht:

$$h_a.$$

Ausgangspunkt:

$$A=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 30&=\frac{10\cdot h_a}{2} &&/\cdot2\\ 60&=10h_a &&/:10\\ 6&=h_a \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{h_a=6\,\mathrm{cm}}.$$

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15. Umfang und Flächeninhalt nicht verwechseln

Der Umfang beschreibt die Länge rund um das Dreieck:

$$\boxed{u=a+b+c}.$$

Der Flächeninhalt beschreibt die Größe der Fläche im Inneren:

$$\boxed{A=\frac{a\cdot h_a}{2}}.$$

Die Einheiten helfen beim Unterscheiden:

Umfang:

$$\mathrm{cm}$$

Fläche:

$$\mathrm{cm}^2.$$

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16. Vollständiges Beispiel

Ein Dreieck hat

$$a=12\,\mathrm{cm}, \qquad b=10\,\mathrm{cm}, \qquad c=8\,\mathrm{cm}$$

und zur Seite $a$ gehört

$$h_a=6\,\mathrm{cm}.$$

Umfang

$$u=a+b+c.$$ $$u=12+10+8.$$ $$\boxed{u=30\,\mathrm{cm}}.$$

Flächeninhalt

$$A=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$ $$A=\frac{12\cdot6}{2}.$$ $$A=\frac{72}{2}.$$ $$\boxed{A=36\,\mathrm{cm}^2}.$$

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17. Typische Fehler

Fehler 1: Gleichseitig und gleichschenkelig verwechseln

Gleichseitig:

$$a=b=c$$

Gleichschenkelig:

genau zwei Seiten sind gleich lang.

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Fehler 2: Winkelsumme falsch verwenden

Im Dreieck gilt immer:

$$\boxed{180^\circ}.$$

Nicht $360^\circ$.

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Fehler 3: Eine schräge Strecke als Höhe verwenden

Eine Höhe muss senkrecht auf der zugehörigen Seite stehen.

Es muss also ein

$$90^\circ$$

-Winkel entstehen.

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Fehler 4: Falsche Höhe zur Grundseite verwenden

Wenn du mit $a$ rechnest, brauchst du

$$h_a.$$

Wenn du mit $b$ rechnest, brauchst du

$$h_b.$$

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Fehler 5: Durch 2 vergessen

Beim Dreieck gilt:

$$A=\frac{a\cdot h_a}{2}.$$

Ohne die Division durch $2$ würdest du die Fläche eines passenden Parallelogramms berechnen.

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Fehler 6: Einheit verwechseln

Umfang:

$$\mathrm{cm}$$

Flächeninhalt:

$$\mathrm{cm}^2.$$

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18. Das Wichtigste auf einen Blick

Nach Seiten:

• gleichseitig: drei gleich lange Seiten
• gleichschenkelig: zwei gleich lange Seiten
• ungleichseitig: drei verschieden lange Seiten

Nach Winkeln:

• spitzwinkelig
• rechtwinkelig
• stumpfwinkelig

Winkelsumme:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$$

Umfang:

$$\boxed{u=a+b+c}$$

Flächeninhalt:

$$\boxed{A=\frac{a\cdot h_a}{2}}$$

Die Höhe $h_a$ steht senkrecht auf der Seite $a$ oder ihrer Verlängerung.