Winkel und Winkelbeziehungen

Kompetenzcode: MG 4.4

Winkel begegnen dir überall: an Ecken, beim Drehen, in Dreiecken, bei Straßenkreuzungen oder bei parallelen Geraden.

In diesem Kapitel lernst du,

• Winkelarten zu unterscheiden,
• Winkel zu messen,
• Winkel zu zeichnen,
• Nebenwinkel und Scheitelwinkel zu berechnen,
• Winkel an parallelen Geraden zu bestimmen,
• die Winkelsumme im Dreieck und im Viereck anzuwenden.

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1. Was ist ein Winkel?

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen denselben Anfangspunkt haben.

Dieser gemeinsame Punkt heißt Scheitelpunkt.

Die beiden Strahlen heißen Schenkel.

Die Größe eines Winkels wird meist in Grad angegeben:

$$^\circ$$

Zum Beispiel:

$$45^\circ,\qquad 90^\circ,\qquad 120^\circ.$$

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2. Winkelarten unterscheiden

Winkel werden nach ihrer Größe eingeteilt.

Spitzer Winkel

Ein spitzer Winkel ist kleiner als

$$90^\circ.$$

Also:

$$\boxed{0^\circ<\alpha<90^\circ}$$

Beispiel:

$$35^\circ$$

Rechter Winkel

Ein rechter Winkel hat genau

$$\boxed{90^\circ}.$$

Er wird in Zeichnungen häufig mit einem kleinen Quadrat markiert.

Stumpfer Winkel

Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$, aber kleiner als $180^\circ$:

$$\boxed{90^\circ<\alpha<180^\circ}$$

Beispiel:

$$125^\circ$$

Gestreckter Winkel

Ein gestreckter Winkel hat genau

$$\boxed{180^\circ}.$$

Seine beiden Schenkel bilden zusammen eine Gerade.

Überstumpfer Winkel

Ein überstumpfer Winkel ist größer als $180^\circ$, aber kleiner als $360^\circ$:

$$\boxed{180^\circ<\alpha<360^\circ}$$

Beispiel:

$$240^\circ$$

Vollwinkel

Eine vollständige Drehung entspricht

$$\boxed{360^\circ}.$$

Merke: Die wichtigsten Grenzwerte sind

$$90^\circ,\qquad 180^\circ,\qquad 360^\circ.$$

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3. Winkel messen

Zum Messen eines Winkels verwendest du ein Geodreieck.

Dabei gehst du immer schrittweise vor.

Schritt 1: Mittelpunkt anlegen

Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks genau auf den Scheitelpunkt des Winkels.

Schritt 2: Grundlinie ausrichten

Lege die Grundlinie des Geodreiecks auf einen Schenkel des Winkels.

Schritt 3: Richtige Skala wählen

Ein Geodreieck besitzt meist zwei Skalen.

Beginne bei der Skala, die auf dem angelegten Schenkel mit

$$0^\circ$$

startet.

Schritt 4: Winkel ablesen

Lies dort ab, wo der zweite Schenkel die Gradskala schneidet.

Tipp: Prüfe danach, ob dein Ergebnis zur Winkelart passt. Ein spitzer Winkel darf zum Beispiel nicht $130^\circ$ groß sein.

Beispiel

Sieht ein Winkel deutlich kleiner als ein rechter Winkel aus und du liest

$$48^\circ$$

ab, ist das Ergebnis plausibel.

Liest du dagegen

$$132^\circ$$

ab, hast du wahrscheinlich die falsche Skala verwendet.

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4. Winkel zeichnen

Auch beim Zeichnen eines Winkels arbeitest du mit dem Geodreieck.

Wir wollen zum Beispiel einen Winkel von

$$60^\circ$$

zeichnen.

Schritt 1: Ersten Schenkel zeichnen

Zeichne einen Strahl und markiere seinen Anfangspunkt.

Dieser Punkt wird der Scheitelpunkt.

Schritt 2: Geodreieck anlegen

Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt.

Die Grundlinie liegt auf dem ersten Schenkel.

Schritt 3: Gradzahl markieren

Suche auf der richtigen Skala

$$60^\circ$$

und setze dort einen Punkt.

Schritt 4: Zweiten Schenkel zeichnen

Verbinde den Scheitelpunkt mit dem markierten Punkt.

Damit hast du einen Winkel von

$$\boxed{60^\circ}$$

gezeichnet.

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5. Nebenwinkel

Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn sie

• einen Schenkel gemeinsam haben und
• die beiden anderen Schenkel zusammen eine Gerade bilden.

Zusammen ergeben Nebenwinkel immer einen gestreckten Winkel.

Also:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

Beispiel

Gegeben:

$$\alpha=125^\circ.$$

Gesucht ist der Nebenwinkel $\beta$.

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 125^\circ+\beta&=180^\circ &&/-125^\circ\\ \beta&=55^\circ \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{\beta=55^\circ}.$$

Probe

$$125^\circ+55^\circ=180^\circ.$$

Die Rechnung stimmt.

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6. Scheitelwinkel

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel.

Jeweils gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel sind gleich groß:

$$\boxed{\alpha=\gamma}$$

und

$$\boxed{\beta=\delta}.$$

Beispiel

Ist

$$\alpha=68^\circ,$$

dann gilt für den gegenüberliegenden Scheitelwinkel:

$$\boxed{\gamma=68^\circ}.$$

Die beiden angrenzenden Winkel sind Nebenwinkel.

Deshalb:

$$\begin{aligned} 68^\circ+\beta&=180^\circ &&/-68^\circ\\ \beta&=112^\circ \end{aligned}$$

Der gegenüberliegende Winkel $\delta$ ist wieder gleich groß:

$$\boxed{\delta=112^\circ}.$$

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7. Winkel an parallelen Geraden

Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen mehrere Winkel mit festen Beziehungen.

Dabei sind vor allem drei Beziehungen wichtig.

Stufenwinkel

Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in derselben Lage.

Bei parallelen Geraden sind sie gleich groß:

$$\boxed{\alpha=\beta}.$$

Wechselwinkel

Wechselwinkel liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden.

Bei parallelen Geraden sind sie gleich groß:

$$\boxed{\alpha=\gamma}.$$

Innenwinkel auf derselben Seite

Innenwinkel auf derselben Seite der schneidenden Geraden ergänzen einander auf

$$180^\circ.$$

Also:

$$\boxed{\alpha+\delta=180^\circ}.$$

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8. Beispiel zu parallelen Geraden

Gegeben ist

$$\alpha=72^\circ.$$

Ein Stufenwinkel $\beta$ ist gleich groß:

$$\boxed{\beta=72^\circ}.$$

Ein Wechselwinkel $\gamma$ ist ebenfalls gleich groß:

$$\boxed{\gamma=72^\circ}.$$

Ein angrenzender Innenwinkel $\delta$ ergänzt sich mit $\alpha$ auf $180^\circ$:

$$\begin{aligned} 72^\circ+\delta&=180^\circ &&/-72^\circ\\ \delta&=108^\circ \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{\delta=108^\circ}.$$

Tipp: Suche zuerst nach gleich großen Winkeln. Danach kannst du mit Nebenwinkeln oft die restlichen Winkel bestimmen.

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9. Winkelsumme im Dreieck

In jedem Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel

$$\boxed{180^\circ}.$$

Wenn die Winkel $\alpha,\beta,\gamma$ heißen, gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$$

Beispiel 1

Gegeben:

$$\alpha=50^\circ, \qquad \beta=65^\circ.$$

Gesucht ist $\gamma$.

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 50^\circ+65^\circ+\gamma&=180^\circ &&/-115^\circ\\ \gamma&=65^\circ \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{\gamma=65^\circ}.$$

Beispiel 2

Ein rechtwinkeliges Dreieck hat

$$\alpha=90^\circ$$

und

$$\beta=35^\circ.$$

Dann:

$$\begin{aligned} 90^\circ+35^\circ+\gamma&=180^\circ &&/-125^\circ\\ \gamma&=55^\circ \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{\gamma=55^\circ}.$$

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10. Winkelsumme im Viereck

In jedem Viereck beträgt die Summe der vier Innenwinkel

$$\boxed{360^\circ}.$$

Für die Winkel $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ}.$$

Warum sind es $360^\circ$?

Du kannst jedes Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke teilen.

Jedes Dreieck besitzt eine Winkelsumme von

$$180^\circ.$$

Also:

$$180^\circ+180^\circ=360^\circ.$$

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11. Beispiel zur Winkelsumme im Viereck

Gegeben:

$$\alpha=80^\circ, \qquad \beta=95^\circ, \qquad \gamma=110^\circ.$$

Gesucht ist $\delta$.

$$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$$

Einsetzen:

$$\begin{aligned} 80^\circ+95^\circ+110^\circ+\delta&=360^\circ &&/-285^\circ\\ \delta&=75^\circ \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{\delta=75^\circ}.$$

Probe

$$80^\circ+95^\circ+110^\circ+75^\circ=360^\circ.$$

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12. Welche Winkelbeziehung brauche ich?

Bei einer Aufgabe solltest du zuerst die Zeichnung untersuchen.

Zwei Winkel bilden gemeinsam eine Gerade

Dann gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}.$$

Es handelt sich um Nebenwinkel.

Zwei Winkel liegen sich an einer Kreuzung gegenüber

Dann gilt:

$$\boxed{\alpha=\gamma}.$$

Es handelt sich um Scheitelwinkel.

Zwei parallele Geraden werden geschnitten

Dann suchst du nach

• Stufenwinkeln,
• Wechselwinkeln,
• Innenwinkeln auf derselben Seite.

Drei Winkel liegen in einem Dreieck

Dann gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$$

Vier Winkel liegen in einem Viereck

Dann gilt:

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ}.$$

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13. Mehrere Regeln nacheinander verwenden

Manchmal brauchst du mehr als eine Regel.

Beispiel

Zwei Geraden schneiden sich.

Ein Winkel ist

$$47^\circ.$$

Schritt 1: Scheitelwinkel

Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls

$$47^\circ.$$

Schritt 2: Nebenwinkel

Ein angrenzender Winkel ergänzt sich auf $180^\circ$:

$$\begin{aligned} 47^\circ+\beta&=180^\circ &&/-47^\circ\\ \beta&=133^\circ \end{aligned}$$

Schritt 3: Zweiter Scheitelwinkel

Der gegenüberliegende Winkel ist ebenfalls

$$133^\circ.$$

Damit sind alle vier Winkel bestimmt:

$$47^\circ,\quad 133^\circ,\quad 47^\circ,\quad 133^\circ.$$

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14. Typische Fehler

Fehler 1: Falsche Skala beim Geodreieck

Achte darauf, dass die verwendete Skala beim angelegten Schenkel mit

$$0^\circ$$

beginnt.

Fehler 2: Scheitelwinkel mit Nebenwinkeln verwechseln

Scheitelwinkel sind gleich groß:

$$\alpha=\gamma.$$

Nebenwinkel ergeben zusammen:

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Fehler 3: Winkelbeziehungen an nicht parallelen Geraden verwenden

Stufenwinkel und Wechselwinkel sind nur dann sicher gleich groß, wenn die beiden Geraden parallel sind.

Fehler 4: Falsche Winkelsumme verwenden

Dreieck:

$$180^\circ$$

Viereck:

$$360^\circ$$

Fehler 5: Gradzeichen vergessen

Ein Winkel ist keine reine Zahl.

Schreibe zum Beispiel:

$$55^\circ$$

und nicht nur

$$55.$$

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15. Das Wichtigste auf einen Blick

Spitzer Winkel:

$$0^\circ<\alpha<90^\circ$$

Rechter Winkel:

$$\alpha=90^\circ$$

Stumpfer Winkel:

$$90^\circ<\alpha<180^\circ$$

Gestreckter Winkel:

$$\alpha=180^\circ$$

Vollwinkel:

$$\alpha=360^\circ$$

Nebenwinkel:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

Scheitelwinkel:

$$\boxed{\alpha=\gamma}$$

An parallelen Geraden:

• Stufenwinkel sind gleich groß,
• Wechselwinkel sind gleich groß,
• Innenwinkel auf derselben Seite ergeben zusammen $180^\circ$.

Winkelsumme im Dreieck:

$$\boxed{180^\circ}$$

Winkelsumme im Viereck:

$$\boxed{360^\circ}$$