Ähnlichkeit und Satz des Pythagoras

Kompetenzcode: MG 4.3

In diesem Kapitel lernst du zwei wichtige Ideen kennen:

1. Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein.
2. Im rechtwinkeligen Dreieck verbindet der Satz des Pythagoras die drei Seitenlängen.

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1. Ähnliche Figuren erkennen

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben.

Das bedeutet:

• entsprechende Winkel sind gleich groß,
• entsprechende Seiten stehen im selben Verhältnis.

Eine Figur darf also vergrößert oder verkleinert sein.

Beispiel

Ein Rechteck ist

$$4\,\mathrm{cm}$$

lang und

$$2\,\mathrm{cm}$$

breit.

Ein zweites Rechteck ist

$$8\,\mathrm{cm}$$

lang und

$$4\,\mathrm{cm}$$

breit.

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

$$\frac{8}{4}=2$$

und

$$\frac{4}{2}=2.$$

Beide Seiten wurden mit demselben Faktor vergrößert.

Also sind die Rechtecke ähnlich.

Merke: Bei ähnlichen Figuren werden alle entsprechenden Längen mit demselben Faktor verändert.

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2. Entsprechende Seiten

Bei ähnlichen Figuren musst du zuerst herausfinden, welche Seiten zusammengehören.

Zum Beispiel:

$$a\leftrightarrow a', \qquad b\leftrightarrow b', \qquad c\leftrightarrow c'.$$

Dann vergleichst du:

$$\frac{a'}{a}, \qquad \frac{b'}{b}, \qquad \frac{c'}{c}.$$

Du darfst nicht verschiedene Seiten miteinander mischen.

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3. Ähnlichkeitsfaktor bestimmen

Der Ähnlichkeitsfaktor $k$ zeigt, wie stark vergrößert oder verkleinert wurde.

$$\boxed{k=\frac{\text{neue Länge}}{\text{ursprüngliche Länge}}}$$

Beispiel: Vergrößerung

Eine Seite wird von

$$3\,\mathrm{cm}$$

auf

$$9\,\mathrm{cm}$$

vergrößert.

$$k=\frac{9}{3}=3.$$

Also:

$$\boxed{k=3}.$$

Beispiel: Verkleinerung

Eine Seite wird von

$$10\,\mathrm{cm}$$

auf

$$5\,\mathrm{cm}$$

verkleinert.

$$k=\frac{5}{10}=0{,}5.$$

Also:

$$\boxed{k=0{,}5}.$$

Merke:

$$k>1$$

bedeutet Vergrößerung und

$$0<k<1$$

bedeutet Verkleinerung.

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4. Fehlende Länge mit Ähnlichkeit berechnen

Ein kleines Dreieck hat

$$a=4\,\mathrm{cm}$$

und

$$b=6\,\mathrm{cm}.$$

Beim ähnlichen großen Dreieck gehört zu $a$ die Seite

$$a'=10\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $b'$.

Schritt 1: Faktor bestimmen

$$k=\frac{a'}{a} = \frac{10}{4} = 2{,}5.$$

Schritt 2: Faktor übertragen

$$b'=k\cdot b.$$ $$b'=2{,}5\cdot6.$$ $$b'=15.$$

Damit:

$$\boxed{b'=15\,\mathrm{cm}}.$$

Kontrolle

$$\frac{10}{4}=2{,}5$$

und

$$\frac{15}{6}=2{,}5.$$

Der Faktor ist bei beiden Seitenpaaren gleich.

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5. Verhältnisgleichung verwenden

Du kannst auch direkt schreiben:

$$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}.$$

Für unser Beispiel:

$$\frac{10}{4}=\frac{b'}{6}.$$

Nun lösen wir:

$$\begin{aligned} \frac{10}{4}&=\frac{b'}{6} &&/\cdot6\\ 15&=b' \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{b'=15\,\mathrm{cm}}.$$

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6. Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkeligen Dreiecken.

Ein rechtwinkeliges Dreieck besitzt einen Winkel von

$$90^\circ.$$

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse.

Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse, gilt:

$$\boxed{a^2+b^2=c^2}.$$

Merke: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.

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7. Seitenbeziehung verstehen

Der Satz

$$a^2+b^2=c^2$$

bezieht sich auf die Quadrate der Seitenlängen.

Es gilt also nicht:

$$a+b=c.$$

Sondern:

$$a^2+b^2=c^2.$$

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8. Hypotenuse berechnen

Gegeben:

$$a=6\,\mathrm{cm}, \qquad b=8\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $c$.

$$a^2+b^2=c^2$$

Einsetzen:

$$6^2+8^2=c^2.$$

Quadrate berechnen:

$$36+64=c^2.$$ $$100=c^2.$$

Da $c$ eine Seitenlänge ist:

$$c=\sqrt{100}.$$ $$c=10.$$

Damit:

$$\boxed{c=10\,\mathrm{cm}}.$$

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9. Warum nur die positive Wurzel?

Rechnerisch hat

$$c^2=100$$

die beiden Lösungen $10$ und $-10$.

Eine Länge kann aber nicht negativ sein.

Deshalb gilt in der Geometrie:

$$\boxed{c=10\,\mathrm{cm}}.$$

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10. Kathete berechnen

Gegeben:

$$b=12\,\mathrm{cm}, \qquad c=13\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $a$.

$$a^2+b^2=c^2$$

Einsetzen und umformen:

$$\begin{aligned} a^2+12^2&=13^2 &&/-12^2\\ a^2&=13^2-12^2 \end{aligned}$$ $$a^2=169-144.$$ $$a^2=25.$$

Da $a$ eine Länge ist:

$$a=\sqrt{25}=5.$$

Also:

$$\boxed{a=5\,\mathrm{cm}}.$$

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11. Formeln für die Katheten

Aus

$$a^2+b^2=c^2$$

folgt:

$$\begin{aligned} a^2+b^2&=c^2 &&/-b^2\\ a^2&=c^2-b^2 \end{aligned}$$

Daher:

$$\boxed{a=\sqrt{c^2-b^2}}.$$

Entsprechend:

$$\boxed{b=\sqrt{c^2-a^2}}.$$

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12. Welche Seite ist die Hypotenuse?

Frage dich:

Welche Seite liegt gegenüber dem rechten Winkel?

Diese Seite ist die Hypotenuse.

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, sind die Katheten.

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13. Sachbeispiel

Ein Rechteck ist

$$9\,\mathrm{m}$$

lang und

$$12\,\mathrm{m}$$

breit.

Wie lang ist die Diagonale?

Die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks.

$$9^2+12^2=c^2$$ $$81+144=c^2.$$ $$225=c^2.$$ $$c=\sqrt{225}=15.$$

Die Diagonale ist:

$$\boxed{15\,\mathrm{m}}.$$

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14. Ähnlichkeit oder Pythagoras?

Ähnlichkeit verwendest du, wenn …

• zwei Figuren dieselbe Form haben,
• entsprechende Seiten zusammengehören,
• ein gemeinsamer Vergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor gesucht oder bekannt ist.

Dann arbeitest du zum Beispiel mit:

$$\boxed{k=\frac{a'}{a}}.$$

Pythagoras verwendest du, wenn …

• ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegt,
• zwei Seitenlängen bekannt sind,
• die dritte Seitenlänge gesucht ist.

Dann gilt:

$$\boxed{a^2+b^2=c^2}.$$

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15. Typische Fehler

Nicht entsprechende Seiten vergleichen

Bei Ähnlichkeit gehören nur passende Seiten in dasselbe Verhältnis.

Unterschiedliche Faktoren erhalten

Sind die Faktoren verschiedener Seitenpaare nicht gleich, wurden entweder falsche Seiten verglichen oder die Figuren sind nicht ähnlich.

Pythagoras bei einem beliebigen Dreieck verwenden

$$a^2+b^2=c^2$$

gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck.

Falsche Seite als Hypotenuse wählen

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.

Bei einer Kathete addieren

Für eine Kathete wird subtrahiert:

$$a^2=c^2-b^2.$$

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16. Das Wichtigste auf einen Blick

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form.

$$\boxed{k=\frac{\text{neue Länge}}{\text{ursprüngliche Länge}}}$$

und für entsprechende Seiten gilt:

$$\boxed{\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}}.$$

Im rechtwinkeligen Dreieck:

$$\boxed{a^2+b^2=c^2}.$$

Hypotenuse:

$$\boxed{c=\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Kathete:

$$\boxed{a=\sqrt{c^2-b^2}}$$

oder

$$\boxed{b=\sqrt{c^2-a^2}}.$$