Umfang, Flächeninhalt und Volumen

Geometrische Größen beschreiben Unterschiedliches:

Umfang: Länge des Randes,
Flächeninhalt: Größe einer Fläche,
Volumen: Rauminhalt eines Körpers.

Vier verschiedene Größen sicher unterscheiden

Umfang, Flächeninhalt, Oberfläche und Volumen im Vergleich

Gesuchte Größe	Bedeutung	typische Einheit
Umfang $u$	Länge des Randes einer ebenen Figur	cm, m, km
Flächeninhalt $A$	Größe einer ebenen Fläche	cm², m²
Oberfläche $O$

Dimensionskontrolle: Eine Länge wird nicht in Quadrat- oder Kubikeinheiten angegeben. Eine Oberfläche ist eine Fläche und besitzt daher eine Quadrateinheit.

1. Rechteck und Quadrat

Rechteck:

U=2a+2b, \qquad A=a\cdot b.

Quadrat:

U=4a, \qquad A=a^2.

Beispiel Rechteck

$a=8\text{ cm}$ , $b=5\text{ cm}$ .

\begin{aligned} U &= 2\cdot8\,\mathrm{cm}+2\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=16\,\mathrm{cm}+10\,\mathrm{cm} \\ &=26\,\mathrm{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} A &= 8\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=40\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}

2. Dreieck

A=\frac{g\cdot h}{2}.

\begin{aligned} g &= 10\,\mathrm{cm} \\ h &= 6\,\mathrm{cm} \\ A &= \frac{10\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}}{2} \\ &=\frac{60\,\mathrm{cm}^2}{2} \\ &=30\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}

Die Höhe muss senkrecht zur Grundseite stehen.

3. Parallelogramm und Trapez

Parallelogramm:

A=g\cdot h.

Trapez:

A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}.

4. Kreis

U=2\pi r=\pi d, \qquad A=\pi r^2.

Für $r=3\text{ cm}$ :

\begin{aligned} U &= 2\pi\cdot3\,\mathrm{cm} \\ &=6\pi\,\mathrm{cm} \\ &\approx18{,}85\,\mathrm{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} A &= \pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2 \\ &=9\pi\,\mathrm{cm}^2 \\ &\approx28{,}27\,\mathrm{cm}^2 \end{aligned}

5. Quader und Würfel

Für einen Quader mit Seitenlängen $a$ , $b$ und $c$ gilt:

V=a\cdot b\cdot c.

Die Oberfläche besteht aus sechs Rechtecken:

O=2ab+2ac+2bc.

Netz eines Quaders mit sechs Rechtecken

Für einen Würfel mit Kantenlänge $a$ gilt:

V=a^3, \qquad O=6a^2.

Volumen und Oberfläche dürfen nicht verwechselt werden: Das Volumen beschreibt den Innenraum, die Oberfläche die äußere Hülle.

Quader:

V=a\cdot b\cdot h.

Würfel:

V=a^3.

Beispiel

$a=4\text{ cm}$ , $b=3\text{ cm}$ , $h=5\text{ cm}$ .

\begin{aligned} V &= 4\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm} \\ &=60\,\mathrm{cm}^3 \end{aligned}

6. Prisma

Für jedes gerade Prisma gilt:

V=G\cdot h,

wobei $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

Zuerst Grundfläche berechnen, danach mit der Körperhöhe multiplizieren.

7. Zusammengesetzte Figuren

Vorgehen:

Figur in bekannte Teilfiguren zerlegen.
Fehlende Längen bestimmen.
Teilflächen berechnen.
Addieren oder aussparen.
Einheit prüfen.

8. Typische Fehler

Umfang und Fläche verwechseln.
Bei Flächen cm statt cm² schreiben.
Bei Volumen cm² statt cm³ schreiben.
Beim Dreieck nicht durch 2 dividieren.
Beim Kreis Durchmesser und Radius verwechseln.
Bei zusammengesetzten Figuren Flächen doppelt zählen.

9. Zusammenfassung

Größe	Bedeutung	typische Einheit
Umfang	Randlänge	cm, m
Fläche	bedeckte Ebene	cm², m²
Volumen	Rauminhalt	cm³, m³, l

Skizze, Formel, Einsetzen, Rechnen und Antwortsatz bilden einen vollständigen Lösungsweg.

Flächen zerlegen und ergänzen

Zusammengesetzte Figuren werden in bekannte Teilfiguren zerlegt oder als große Fläche minus Ausschnitt berechnet.

L-förmige Fläche als großes Rechteck minus Ausschnitt

Für die dargestellte Figur gilt:

A=8\cdot 6-4\cdot 3=36\text{ cm}^2.

Der Umfang muss dagegen am tatsächlichen Rand entlang bestimmt werden. Eine Flächenzerlegung liefert nicht automatisch den Umfang.

Eingabe	Verwendung
`A=(0,0)`	ersten Eckpunkt anlegen
`B=(8,0)`	Seitenlänge darstellen
`Polygon(A,B,(8,5),(0,5))`	Rechteck als Polygon darstellen
`Area(Polygon(A,B,(8,5),(0,5)))`	Flächeninhalt kontrollieren

Eingabe

Verwendung

A=(0,0)

ersten Eckpunkt anlegen

B=(8,0)

Seitenlänge darstellen

Polygon(A,B,(8,5),(0,5))

Rechteck als Polygon darstellen

Area(Polygon(A,B,(8,5),(0,5)))

Flächeninhalt kontrollieren

Umfang, Flächeninhalt und Volumen

Umfang, Flächeninhalt und Volumen

Vier verschiedene Größen sicher unterscheiden

1. Rechteck und Quadrat

Beispiel Rechteck

2. Dreieck

3. Parallelogramm und Trapez

4. Kreis

5. Quader und Würfel

Beispiel

6. Prisma

7. Zusammengesetzte Figuren

8. Typische Fehler

9. Zusammenfassung

Flächen zerlegen und ergänzen

Aufgabe lesen

Figur oder Körper bestimmen

Umfang, Fläche oder Volumen markieren

Gegebene Längen eintragen

Einheiten vereinheitlichen

Passende Formel wählen

GeoGebra-Übersicht: Geometrische Größen

Geeignete Eingaben

Vorgehen

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Erwartete Einheit nennen

Skizze erstellen

Grundseite und Höhe markieren

Formel notieren

Werte mit Einheiten einsetzen

Schrittweise rechnen

Quadrateinheit notieren

Plausibilität prüfen

Randstrecken bestimmen

Fehlende Seiten ergänzen

Alle Randlängen addieren

Einheiten vereinheitlichen

Summe bilden

Längeneinheit notieren

Mit Skizze prüfen

Körper bestimmen

Grundfläche erkennen

Grundfläche berechnen

Körperhöhe bestimmen

V=G·h anwenden

Kubikeinheit notieren

Größenordnung prüfen

Figur zerlegen

Teilfiguren beschriften

Fehlende Maße berechnen

Teilflächen einzeln bestimmen

Addieren oder subtrahieren

Einheit notieren

Gesamtfläche prüfen

Oberfläche und Volumen kontrollieren