Funktionsgleichungen aus Tabellen und Graphen

Kompetenzcode: MG 5.8

Eine lineare Funktion wird durch eine Gleichung der Form

$$\boxed{y=kx+d}$$

beschrieben.

Dabei ist

$$k$$

die Steigung und

$$d$$

der $y$-Achsenabschnitt.

In diesem Kapitel lernst du,

• eine lineare Funktionsgleichung aus einer Tabelle zu bestimmen,
• eine lineare Funktionsgleichung aus einem Graphen zu bestimmen,
• eine lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu bestimmen,
• eine gefundene Funktionsgleichung durch Einsetzen zu prüfen.

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1. Der Grundplan

Für eine lineare Funktion brauchst du immer zwei Informationen:

1. die Steigung $k$,
2. den Achsenabschnitt $d$.

Dann setzt du beide Werte in

$$\boxed{y=kx+d}$$

ein.

Je nachdem, ob eine Tabelle, ein Graph oder zwei Punkte gegeben sind, bestimmst du $k$ und $d$ auf unterschiedliche Weise.

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2. Lineare Funktionsgleichung aus einer Tabelle bestimmen

Gegeben ist:

Wir suchen die Gleichung

$$y=kx+d.$$

Schritt 1: $d$ ablesen

Bei

$$x=0$$

ist

$$y=3.$$

Deshalb:

$$\boxed{d=3}.$$

Schritt 2: $k$ bestimmen

Wenn $x$ um $1$ steigt, steigt $y$ immer um $2$.

Also:

$$\boxed{k=2}.$$

Schritt 3: Gleichung aufschreiben

$$\boxed{y=2x+3}.$$

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3. Wenn $x=0$ nicht in der Tabelle vorkommt

Gegeben ist:

Zuerst bestimmen wir die Steigung aus zwei Tabellenpunkten.

Wir verwenden:

$$P_1=(2\mid7)$$

und

$$P_2=(4\mid11).$$

Dann:

$$k= \frac{11-7}{4-2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Nun kennen wir

$$k=2.$$

Um $d$ zu bestimmen, setzen wir einen Tabellenpunkt in

$$y=2x+d$$

ein.

Mit

$$(2\mid7):$$ $$\begin{aligned} 7&=2\cdot2+d\\ 7&=4+d &&/-4\\ 3&=d \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{d=3}.$$

Damit:

$$\boxed{y=2x+3}.$$

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4. Tabelle mit größeren Abständen

Die $x$-Werte müssen nicht um $1$ steigen.

Gegeben:

Hier gilt:

$$\Delta x=3$$

und

$$\Delta y=6.$$

Daher:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6}{3} = 2.$$

Nun einen Punkt einsetzen:

$$(1\mid4).$$ $$\begin{aligned} 4&=2\cdot1+d\\ 4&=2+d &&/-2\\ 2&=d \end{aligned}$$

Somit:

$$\boxed{y=2x+2}.$$

Merke: Bei Tabellen zählt nicht nur die Änderung von $y$. Du musst sie zur Änderung von $x$ in Beziehung setzen.

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5. Lineare Funktionsgleichung aus einem Graphen bestimmen

Bei einem Graphen gehst du am sichersten in dieser Reihenfolge vor:

1. $d$ an der $y$-Achse ablesen,
2. $k$ mit einem Steigungsdreieck bestimmen,
3. beide Werte in $y=kx+d$ einsetzen.

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6. Beispiel aus einem Graphen

Angenommen, die Gerade schneidet die $y$-Achse bei

$$(0\mid-1).$$

Dann:

$$\boxed{d=-1}.$$

Ein Steigungsdreieck zeigt:

$$\Delta x=2$$

und

$$\Delta y=6.$$

Daher:

$$k= \frac{6}{2} = 3.$$

Damit lautet die Gleichung:

$$\boxed{y=3x-1}.$$

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7. Fallende Gerade

Angenommen, der Graph schneidet die $y$-Achse bei

$$(0\mid5)$$

und fällt.

Aus dem Steigungsdreieck liest du:

$$\Delta x=2, \qquad \Delta y=-4.$$

Dann:

$$k= \frac{-4}{2} = -2.$$

Außerdem:

$$d=5.$$

Damit:

$$\boxed{y=-2x+5}.$$

Das negative Vorzeichen von $k$ passt zum fallenden Graphen.

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8. Ein Graph ohne gut ablesbaren Achsenabschnitt

Manchmal ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse schlecht ablesbar.

Dann kannst du:

1. zwei gut ablesbare Punkte auf dem Graphen wählen,
2. daraus $k$ berechnen,
3. einen der Punkte einsetzen,
4. daraus $d$ bestimmen.

Das ist derselbe Rechenweg wie bei zwei gegebenen Punkten.

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9. Lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind:

$$P_1=(1\mid3)$$

und

$$P_2=(4\mid9).$$

Gesucht ist:

$$y=kx+d.$$

Schritt 1: Steigung bestimmen

$$k= \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2.$$

Also:

$$\boxed{k=2}.$$

Schritt 2: Einen Punkt einsetzen

Wir verwenden

$$P_1=(1\mid3).$$

Dann:

$$3=2\cdot1+d.$$

Schritt 3: Nach $d$ auflösen

$$\begin{aligned} 3&=2+d &&/-2\\ 1&=d \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{d=1}.$$

Schritt 4: Gleichung angeben

$$\boxed{y=2x+1}.$$

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10. Zweiten Punkt als Probe verwenden

Unsere Gleichung lautet:

$$y=2x+1.$$

Der zweite Punkt ist:

$$P_2=(4\mid9).$$

Wir setzen

$$x=4$$

ein:

$$y=2\cdot4+1=9.$$

Der berechnete Wert stimmt mit der $y$-Koordinate des Punktes überein.

Also passt der zweite Punkt zur Gleichung.

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11. Beispiel mit negativer Steigung

Gegeben:

$$P_1=(2\mid7)$$

und

$$P_2=(5\mid1).$$

Zuerst:

$$k= \frac{1-7}{5-2} = \frac{-6}{3} = -2.$$

Nun setzen wir

$$P_1=(2\mid7)$$

ein:

$$\begin{aligned} 7&=-2\cdot2+d\\ 7&=-4+d &&/+4\\ 11&=d \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{y=-2x+11}.$$

Probe mit $P_2=(5\mid1)$:

$$-2\cdot5+11=1.$$

Die Gleichung passt.

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12. Beispiel mit Bruch als Steigung

Gegeben:

$$P_1=(0\mid2)$$

und

$$P_2=(4\mid5).$$

Dann:

$$k= \frac{5-2}{4-0} = \frac{3}{4}.$$

Da der erste Punkt bereits

$$x=0$$

hat, können wir sofort ablesen:

$$d=2.$$

Somit:

$$\boxed{ y=\frac{3}{4}x+2 }.$$

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13. Sonderfall: gleiche $x$-Werte

Gegeben:

$$P_1=(3\mid2), \qquad P_2=(3\mid8).$$

Dann wäre:

$$x_2-x_1=0.$$

Damit kann

$$k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

nicht berechnet werden.

Die Gerade durch diese beiden Punkte ist senkrecht.

Sie lässt sich nicht in der Form

$$y=kx+d$$

als Funktion von $x$ schreiben.

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14. Funktionsgleichung durch Einsetzen prüfen

Eine gefundene Gleichung sollte geprüft werden.

Dazu setzt du bekannte Punkte in die Gleichung ein.

Gegeben ist die vermutete Gleichung:

$$y=3x-2.$$

Wir prüfen den Punkt

$$(2\mid4).$$

Setzen wir $x=2$ ein:

$$3\cdot2-2=4.$$

Die rechte Seite ergibt also:

$$4.$$

Das stimmt mit der $y$-Koordinate des Punktes überein.

Der Punkt liegt auf dem Graphen der Funktion.

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15. Ein Punkt, der nicht zur Gleichung passt

Gegeben:

$$y=3x-2.$$

Wir prüfen:

$$(3\mid8).$$

Einsetzen:

$$3\cdot3-2=7.$$

Der Punkt besitzt aber

$$y=8.$$

Also:

$$7\neq8.$$

Damit liegt der Punkt

$$(3\mid8)$$

nicht auf dem Graphen der Funktion.

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16. Warum mehrere Punkte prüfen?

Eine falsche Gleichung kann zufällig durch einen einzigen gegebenen Punkt gehen.

Darum solltest du bei einer Tabelle oder bei zwei bekannten Punkten möglichst mehrere Werte prüfen.

Beispiel:

Eine Gleichung passt zu

$$(1\mid3),$$

aber nicht zu

$$(4\mid9).$$

Dann kann sie nicht die gesuchte lineare Funktion sein.

Merke: Eine gute Probe verwendet mehr als nur den Punkt, mit dem du $d$ berechnet hast.

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17. Prüfung einer Gleichung aus einer Tabelle

Gegeben ist die vermutete Gleichung:

$$y=2x+3.$$

Tabelle:

Wir prüfen:

Für $x=0$:

$$2\cdot0+3=3.$$

Für $x=2$:

$$2\cdot2+3=7.$$

Für $x=5$:

$$2\cdot5+3=13.$$

Alle Werte stimmen.

Die Gleichung passt zur Tabelle.

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18. Der sichere Gesamtweg

Aus einer Tabelle

1. linearen Zusammenhang erkennen,
2. $k$ aus den Änderungen bestimmen,
3. $d$ bei $x=0$ ablesen oder einen Punkt einsetzen,
4. Gleichung $y=kx+d$ aufschreiben,

Aus einem Graphen

1. $d$ an der $y$-Achse ablesen,
2. $k$ mit einem Steigungsdreieck bestimmen,
3. Gleichung aufschreiben,
4. einen weiteren Punkt am Graphen prüfen.

Aus zwei Punkten

1. $k$ mit $$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ berechnen,

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19. Typische Fehler

Fehler 1: Nur $k$ bestimmen

Für

$$y=kx+d$$

brauchst du im Allgemeinen auch $d$.

Fehler 2: $d$ aus irgendeinem Tabellenwert ablesen

Direkt ablesen kannst du $d$ nur bei

$$x=0.$$

Fehler 3: Bei der Steigungsformel die Punktreihenfolge mischen

Richtig:

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Fehler 4: Minuszeichen übersehen

Bei einer fallenden Geraden ist

$$k<0.$$

Fehler 5: Einen berechneten Punkt nicht prüfen

Eine Probe kann Rechenfehler bei $k$ oder $d$ aufdecken.

Fehler 6: Bei der Probe nur $x$ einsetzen und den gegebenen $y$-Wert ignorieren

Du musst den berechneten Funktionswert mit der tatsächlichen $y$-Koordinate vergleichen.

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20. Das Wichtigste auf einen Blick

Grundform:

$$\boxed{y=kx+d}.$$

Aus zwei Punkten:

$$\boxed{ k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }.$$

Danach einen Punkt einsetzen:

$$y=kx+d.$$

Nach $d$ auflösen.

Aus einem Graphen:

• $d$ an der $y$-Achse,
• $k$ mit Steigungsdreieck.

Aus einer Tabelle:

• $k$ aus Änderungen,
• $d$ bei $x=0$ oder durch Einsetzen.

Probe:

Bekannten $x$-Wert einsetzen und prüfen, ob der berechnete $y$-Wert mit dem gegebenen $y$-Wert übereinstimmt.