Steigung und Achsenabschnitt

Kompetenzcode: MG 5.7

Der Graph eines linearen Zusammenhangs ist eine Gerade. Zwei Zahlen beschreiben diese Gerade besonders gut:

• die Steigung $k$,
• der Achsenabschnitt $d$ an der $y$-Achse.

Die Grundform lautet:

$$\boxed{y=kx+d}.$$

In diesem Kapitel lernst du,

• die Steigung aus einem Graphen abzulesen,
• die Steigung aus zwei Punkten zu bestimmen,
• den Achsenabschnitt aus einem Graphen abzulesen,
• die Steigung im Sachzusammenhang zu deuten,
• den Achsenabschnitt im Sachzusammenhang zu deuten.

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1. Was bedeutet Steigung?

Die Steigung beschreibt, wie stark sich $y$ verändert, wenn sich $x$ verändert.

Wir verwenden:

$$\Delta x=\text{Änderung von }x$$

und

$$\Delta y=\text{Änderung von }y.$$

Für die Steigung gilt:

$$\boxed{k=\frac{\Delta y}{\Delta x}}.$$

Das bedeutet:

Steigung = Änderung nach oben oder unten geteilt durch Änderung nach rechts.

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2. Das Steigungsdreieck

Um die Steigung aus einem Graphen abzulesen, wählst du zwei gut erkennbare Punkte auf derselben Geraden.

Dann gehst du:

1. waagrecht vom ersten zum zweiten Punkt,
2. anschließend senkrecht zum zweiten Punkt.

So erhältst du ein Steigungsdreieck.

Dabei ist:

$$\Delta x=\text{waagrechte Änderung}$$

und

$$\Delta y=\text{senkrechte Änderung}.$$

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3. Steigung aus einem Graphen ablesen

Gegeben sind auf einer Geraden die Punkte

$$A=(1\mid2)$$

und

$$B=(4\mid8).$$

Zuerst die waagrechte Änderung:

$$\Delta x=4-1=3.$$

Dann die senkrechte Änderung:

$$\Delta y=8-2=6.$$

Jetzt einsetzen:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{6}{3} =2.$$

Damit:

$$\boxed{k=2}.$$

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4. Bedeutung von $k=2$

Die Steigung

$$k=2$$

bedeutet:

Wenn $x$ um $1$ zunimmt, nimmt $y$ um $2$ zu.

Man kann auch ein größeres Steigungsdreieck verwenden.

Zum Beispiel:

$$\Delta x=4,\qquad \Delta y=8.$$

Dann:

$$k=\frac{8}{4}=2.$$

Das Ergebnis bleibt gleich.

Merke: Auf derselben Geraden liefern alle korrekt gewählten Steigungsdreiecke dieselbe Steigung.

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5. Positive, negative und waagrechte Steigung

Eine Gerade kann steigen, fallen oder waagrecht verlaufen.

Steigende Gerade

$$k>0.$$

Beispiel:

$$k=\frac{6}{3}=2.$$

Fallende Gerade

Bei einem Schritt nach rechts wird $y$ kleiner.

Beispiel:

$$\Delta x=3,\qquad \Delta y=-6.$$

Dann:

$$k=\frac{-6}{3}=-2.$$

Also:

$$\boxed{k=-2}.$$

Waagrechte Gerade

Hier gilt:

$$\Delta y=0.$$

Deshalb:

$$k=\frac{0}{\Delta x}=0.$$

Also:

$$\boxed{k=0}.$$

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6. Steigung aus zwei Punkten bestimmen

Sind zwei Punkte gegeben, brauchst du keinen Graphen.

Für

$$P_1=(x_1\mid y_1)$$

und

$$P_2=(x_2\mid y_2)$$

gilt:

$$\boxed{ k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }.$$

Der Zähler ist die Änderung von $y$, der Nenner die Änderung von $x$.

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7. Beispiel: Steigung aus zwei Punkten

Gegeben:

$$P_1=(2\mid3)$$

und

$$P_2=(6\mid11).$$

Wir markieren beim Einsetzen die Koordinaten:

$$k= \frac{\overset{y_2}{11}-\overset{y_1}{3}} {\underset{x_2}{6}-\underset{x_1}{2}}.$$

Dann:

$$k=\frac{8}{4}.$$

Somit:

$$\boxed{k=2}.$$

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8. Die Punktreihenfolge muss gleich bleiben

Du darfst auch vom zweiten Punkt zum ersten rechnen:

$$k= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.$$

Mit den Punkten

$$(2\mid3)$$

und

$$(6\mid11)$$

ergibt sich:

$$k= \frac{3-11}{2-6} = \frac{-8}{-4} = 2.$$

Das Ergebnis ist wieder gleich.

Wichtig ist nur:

Im Zähler und Nenner muss dieselbe Punktreihenfolge verwendet werden.

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9. Negative Steigung aus zwei Punkten

Gegeben:

$$P_1=(1\mid7), \qquad P_2=(5\mid-1).$$

Dann:

$$k= \frac{-1-7}{5-1} = \frac{-8}{4} = -2.$$

Also:

$$\boxed{k=-2}.$$

Das negative Vorzeichen passt dazu, dass die Gerade von links nach rechts fällt.

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10. Sonderfall: gleiche $x$-Werte

Gegeben:

$$P_1=(3\mid2), \qquad P_2=(3\mid7).$$

Dann wäre:

$$x_2-x_1=3-3=0.$$

Damit müsste man durch $0$ dividieren.

Das ist nicht erlaubt.

Die Gerade durch diese Punkte ist senkrecht und kein Graph einer Funktion der Form

$$y=kx+d.$$

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11. Was ist der Achsenabschnitt?

In

$$y=kx+d$$

ist $d$ der Achsenabschnitt an der $y$-Achse.

An der $y$-Achse gilt:

$$x=0.$$

Setzen wir das ein:

$$y=k\cdot0+d.$$

Daher:

$$y=d.$$

Der Graph schneidet die $y$-Achse also im Punkt

$$\boxed{(0\mid d)}.$$

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12. Achsenabschnitt aus einem Graphen ablesen

Suche die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

Liegt der Schnittpunkt zum Beispiel bei

$$(0\mid4),$$

dann gilt:

$$\boxed{d=4}.$$

Wichtig:

$d$ wird an der $y$-Achse abgelesen, nicht an der $x$-Achse.

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13. Positive, negative und verschwindende Achsenabschnitte

Beispiele:

$$y=2x+5 \quad\Rightarrow\quad d=5.$$ $$y=-x-3 \quad\Rightarrow\quad d=-3.$$ $$y=4x \quad\Rightarrow\quad d=0.$$

Bei $d=0$ geht die Gerade durch den Ursprung.

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14. Steigung und Achsenabschnitt gemeinsam verstehen

Betrachten wir:

$$y=3x+2.$$

Dann gilt:

$$k=3$$

und

$$d=2.$$

Der Achsenabschnitt sagt:

$$(0\mid2)$$

liegt auf der Geraden.

Die Steigung sagt:

Bei

$$\Delta x=1$$

gilt:

$$\Delta y=3.$$

Also:

$$\boxed{k=\text{Veränderung}}$$

und

$$\boxed{d=\text{$y$-Wert bei }x=0}.$$

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15. Bedeutung der Steigung im Kontext deuten

Die Steigung beantwortet im Sachzusammenhang die Frage:

Um wie viel verändert sich die abhängige Größe, wenn die unabhängige Größe um eine Einheit zunimmt?

Beispiel: Taxifahrt

Es gilt:

$$P=2x+4.$$

Dabei ist:

$$x=\text{Strecke in km},$$ $$P=\text{Preis in €}.$$

Die Steigung lautet:

$$k=2.$$

Mit Einheit:

$$\boxed{ k=2\,\frac{€}{\mathrm{km}} }.$$

Das bedeutet:

Pro zusätzlich gefahrenem Kilometer steigt der Preis um $2\,€$.

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16. Einheit der Steigung

Die Einheit ergibt sich aus:

$$\boxed{ \frac{\text{Einheit von }y} {\text{Einheit von }x} }.$$

Beispiel:

$$y=\text{Weg in km}, \qquad x=\text{Zeit in h}.$$

Dann hat die Steigung die Einheit:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$$

Sie kann in diesem Fall eine Geschwindigkeit beschreiben.

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17. Negative Steigung im Kontext

Ein Tank enthält anfangs Wasser. Pro Minute werden $5\,\mathrm{l}$ entnommen.

Ein mögliches Modell lautet:

$$W=-5t+100.$$

Die Steigung ist:

$$k=-5\,\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}}.$$

Das Minus bedeutet:

Die Wassermenge nimmt ab.

Genauer:

Pro Minute wird die Wassermenge um $5\,\mathrm{l}$ kleiner.

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18. Bedeutung des Achsenabschnitts im Kontext deuten

Der Achsenabschnitt ist der Wert der abhängigen Größe bei

$$x=0.$$

Im Taxibeispiel

$$P=2x+4$$

gilt:

$$d=4\,€.$$

Das bedeutet:

Bei $0\,\mathrm{km}$ beträgt der Preis bereits $4\,€$.

Hier ist $d$ die Grundgebühr.

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19. Weiteres Beispiel zum Achsenabschnitt

Für den Wassertank gilt:

$$W=-5t+100.$$

Der Achsenabschnitt ist:

$$d=100\,\mathrm{l}.$$

Da

$$t=0$$

den Beginn der Beobachtung bezeichnet, bedeutet das:

Zu Beginn befinden sich $100\,\mathrm{l}$ Wasser im Tank.

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20. $d$ ist nicht immer automatisch ein zeitlicher Startwert

Mathematisch bedeutet $d$ immer:

$$\boxed{d=\text{$y$-Wert bei }x=0}.$$

Ob $x=0$ im Sachzusammenhang tatsächlich einen zeitlichen Start beschreibt, hängt von der Bedeutung von $x$ ab.

Darum ist die sichere Reihenfolge:

1. $d$ als $y$-Wert bei $x=0$ erkennen,
2. Einheit ergänzen,
3. erst danach die Bedeutung im Kontext formulieren.

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21. Typische Fehler

Fehler 1: $\Delta x$ und $\Delta y$ vertauschen

Richtig ist:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

Fehler 2: Minuszeichen bei fallender Gerade vergessen

Eine fallende Gerade hat:

$$k<0.$$

Fehler 3: Punktreihenfolge mischen

Bei

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

muss oben und unten dieselbe Reihenfolge gelten.

Fehler 4: Falsche Achse für $d$

Der Achsenabschnitt $d$ wird an der $y$-Achse abgelesen.

Fehler 5: Steigung ohne Einheit deuten

Im Sachkontext gehört häufig eine Einheit wie

$$\frac{€}{\mathrm{km}}$$

oder

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

dazu.

Fehler 6: $d$ immer „Startwert“ nennen

Sicher ist nur:

$$d=\text{$y$-Wert bei }x=0.$$

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22. Das Wichtigste auf einen Blick

Lineare Gleichung:

$$\boxed{y=kx+d}.$$

Steigung aus einem Graphen:

$$\boxed{k=\frac{\Delta y}{\Delta x}}.$$

Steigung aus zwei Punkten:

$$\boxed{ k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }.$$

Achsenabschnitt:

$$\boxed{d=\text{$y$-Wert bei }x=0}.$$

Im Kontext:

• $k$ beschreibt die Veränderung von $y$ pro Einheit von $x$,
• $d$ beschreibt den Wert von $y$ bei $x=0$.