Lineare Zusammenhänge
Kompetenzcode: MG 5.6
Ein linearer Zusammenhang beschreibt eine Abhängigkeit, bei der sich die abhängige Größe bei gleichen Änderungen der unabhängigen Größe immer um denselben Betrag verändert.
Das bedeutet:
Wenn jeweils um denselben Wert steigt, dann ändert sich ebenfalls immer um denselben Wert.
Der Graph eines linearen Zusammenhangs ist eine Gerade.
In diesem Kapitel lernst du,
- einen linearen Zusammenhang zu erkennen,
- einen linearen Graphen zu zeichnen,
- eine lineare einem Graphen zuzuordnen,
- einen linearen Zusammenhang aus einer Tabelle zu erkennen,
- einen linearen Zusammenhang im Sachzusammenhang zu interpretieren.
1. Was ist ein linearer Zusammenhang?
Betrachten wir die Gleichung
Setzen wir verschiedene -Werte ein:
Wenn jeweils um steigt, steigt immer um .
Also gilt:
und
Die Änderung von ist bei gleichen -Schritten konstant.
Das ist ein linearer Zusammenhang.
2. Die Grundform einer linearen Gleichung
Eine lineare Gleichung kann in der Form
geschrieben werden.
Dabei beschreibt
die gleichmäßige Veränderung und
den Wert von bei
Für
gilt also:
und
Die genaue Bestimmung von und Achsenabschnitt wird in MG 5.7 ausführlich behandelt.
Hier genügt zunächst:
Eine lineare Gleichung hat die Form , und ihr Graph ist eine Gerade.
3. Linearen Zusammenhang erkennen
Ein Zusammenhang ist linear, wenn die Änderung von bei gleichen Änderungen von konstant bleibt.
Beispiel:
Die -Werte steigen immer um:
Die -Werte steigen immer um:
Also liegt ein linearer Zusammenhang vor.
4. Gegenbeispiel: nicht linear
Gegeben ist:
Die -Werte steigen jeweils um .
Die Änderungen der -Werte sind aber:
Diese Änderungen sind nicht konstant.
Also ist der Zusammenhang nicht linear.
5. Ein linearer Graph ist eine Gerade
Der Graph eines linearen Zusammenhangs ist immer eine Gerade.
Dabei kann die Gerade:
- steigen,
- fallen,
- waagrecht verlaufen.
Das Aussehen hängt von der Gleichung ab.
6. Steigender linearer Zusammenhang
Beispiel:
Wenn größer wird, wird ebenfalls größer.
Der Graph steigt von links nach rechts.
Zum Beispiel:
Diese Punkte liegen auf einer Geraden.
7. Fallender linearer Zusammenhang
Beispiel:
Wenn größer wird, wird kleiner.
Zum Beispiel:
Auch diese Punkte liegen auf einer Geraden.
Der Zusammenhang ist deshalb ebenfalls linear.
8. Waagrechter linearer Zusammenhang
Beispiel:
Hier bleibt immer gleich.
Zum Beispiel:
Der Graph ist eine waagrechte Gerade.
Auch das ist ein linearer Zusammenhang.
9. Linearen Graphen zeichnen
Gegeben ist:
Um den Graphen zu zeichnen, bestimmen wir zuerst einige Wertepaare.
Für
gilt:
Also erhalten wir:
Für
gilt:
Also:
Für
gilt:
Also:
10. Wertetabelle zum Zeichnen
Wir tragen die berechneten Werte in eine Tabelle ein:
Danach:
- Koordinatensystem zeichnen,
- Achsen beschriften,
- passende Skalierung wählen,
- Punkte einzeichnen,
- Gerade durch die Punkte zeichnen.
11. Warum reichen zwei Punkte?
Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Gerade zeichnen.
Deshalb genügen grundsätzlich zwei korrekt berechnete Punkte.
Ein dritter Punkt ist trotzdem hilfreich, weil du damit deine Rechnung kontrollieren kannst.
Wenn drei berechnete Punkte nicht auf einer Geraden liegen, ist wahrscheinlich ein Rechen- oder Zeichenfehler passiert.
12. Lineare Gleichung einem Graphen zuordnen
Manchmal sind mehrere Gleichungen und mehrere Graphen gegeben.
Dann musst du herausfinden, welche Gleichung zu welchem Graphen gehört.
Beispiel:
und
Beide Graphen steigen gleich stark, aber sie schneiden die -Achse an verschiedenen Stellen.
Für die erste Gleichung:
Also liegt der Punkt
auf dem Graphen.
Für die zweite Gleichung:
Also liegt
auf diesem Graphen.
13. Einen Graphen mit Punkten prüfen
Wenn du eine Gleichung einem Graphen zuordnen möchtest, kannst du auch Werte einsetzen.
Beispiel:
Für
gilt:
Also muss der Graph durch
gehen.
Für
gilt:
Also muss auch
auf dem Graphen liegen.
Wenn beide Punkte passen, ist die Zuordnung sehr wahrscheinlich richtig.
14. Mehrere Merkmale vergleichen
Beim Zuordnen kannst du mehrere Dinge prüfen:
- Wo schneidet der Graph die -Achse?
- Steigt oder fällt der Graph?
- Wie stark verändert sich , wenn größer wird?
- Liegen berechnete Punkte auf dem Graphen?
Je mehr Merkmale übereinstimmen, desto sicherer ist die Zuordnung.
15. Linearen Zusammenhang aus einer Tabelle erkennen
Gegeben ist:
Wir betrachten die Änderungen.
Für :
also immer:
Für :
also immer:
Damit liegt ein linearer Zusammenhang vor.
16. Was ist bei größeren -Schritten wichtig?
Die -Werte müssen nicht immer um steigen.
Beispiel:
Hier gilt:
und
Die Änderungen bleiben gleich.
Deshalb ist auch dieser Zusammenhang linear.
17. Ungleichmäßige -Abstände
Wenn die -Abstände unterschiedlich sind, darfst du die -Differenzen nicht einfach direkt vergleichen.
Beispiel:
Von zu :
Von zu :
Von zu :
Pro Einheit in verändert sich immer um .
Also ist der Zusammenhang linear.
18. Tabelle und Graph gehören zusammen
Wenn eine Tabelle linear ist, liegen die zugehörigen Punkte auf einer Geraden.
Deshalb kannst du zwei Prüfungen verbinden:
Tabellenprüfung
Bei gleichen -Änderungen sind die -Änderungen gleich.
Graphenprüfung
Die Punkte liegen auf einer Geraden.
Beides beschreibt denselben linearen Zusammenhang.
19. Linearen Zusammenhang im Sachzusammenhang interpretieren
Betrachten wir eine Taxifahrt.
Es gibt eine Grundgebühr von
Zusätzlich kostet jeder gefahrene Kilometer
Wir setzen:
Dann gilt:
20. Bedeutung des Anfangswertes
Bei
gilt:
Das bedeutet:
Auch ohne gefahrenen Kilometer kostet die Fahrt bereits .
Der Wert ist also die Grundgebühr.
21. Bedeutung der gleichmäßigen Änderung
Für jeden zusätzlichen Kilometer steigt der Preis um
Zum Beispiel:
Die gleichmäßige Änderung beträgt:
22. Fallender Zusammenhang im Kontext
Ein Wassertank enthält anfangs
Pro Minute werden
entnommen.
Dann kann gelten:
Dabei ist:
Jede Minute wird die Wassermenge um
kleiner.
Der Graph ist eine fallende Gerade.
23. Werte im Kontext prüfen
Mathematisch kann eine lineare Gleichung für viele -Werte berechnet werden.
Im Sachzusammenhang sind aber nicht immer alle Werte sinnvoll.
Beim Wassertank kann die Wassermenge nicht beliebig negativ werden.
Darum solltest du immer prüfen:
Für welchen Bereich ist das lineare Modell sinnvoll?
24. Linear oder direkt proportional?
Jede direkte Proportionalität
ist ein linearer Zusammenhang.
Denn:
Aber nicht jeder lineare Zusammenhang ist direkt proportional.
Beispiel:
Der Graph ist eine Gerade, aber er geht nicht durch den Ursprung.
Deshalb ist er linear, aber nicht direkt proportional.
Merke: Direkt proportional ist ein Spezialfall von linear.
25. Typische Fehler
Fehler 1: Jede steigende Tabelle für linear halten
Es muss eine gleichmäßige Änderung vorliegen.
Fehler 2: Linear mit direkt proportional verwechseln
Ein linearer Graph muss nicht durch den Ursprung gehen.
Fehler 3: Nur einen Punkt zur Zuordnung verwenden
Mehrere Graphen können durch denselben Punkt gehen.
Prüfe mindestens zwei Merkmale oder Punkte.
Fehler 4: Ungleiche -Schritte ignorieren
Bei unterschiedlichen -Abständen musst du die Änderung auf die -Änderung beziehen.
Fehler 5: Achsen und Einheiten im Kontext vergessen
Eine Interpretation braucht Größen und Einheiten.
Fehler 6: Lineares Modell unbegrenzt verwenden
Im Sachzusammenhang kann nur ein bestimmter Wertebereich sinnvoll sein.
26. Das Wichtigste auf einen Blick
Lineare Gleichung:
Kennzeichen:
- Graph ist eine Gerade,
- bei gleichen Änderungen von ändert sich immer um denselben Betrag.
Graph zeichnen:
- Wertepaare berechnen,
- Punkte einzeichnen,
- Gerade durch die Punkte zeichnen.
Gleichung und Graph zuordnen:
- Wert bei prüfen,
- steigenden oder fallenden Verlauf prüfen,
- weitere Punkte einsetzen.
Tabelle prüfen:
- gleiche -Schritte betrachten,
- zugehörige -Änderungen vergleichen.
Im Sachkontext erklären:
- Anfangswert,
- gleichmäßige Veränderung,
- Einheiten,
- sinnvoller Wertebereich.