Indirekte Proportionalität als funktionaler Zusammenhang

Kompetenzcode: MG 5.5

Bei einer indirekten Proportionalität verändern sich zwei Größen gegensinnig:

• Wird die eine Größe größer, wird die andere kleiner.
• Wird die eine Größe kleiner, wird die andere größer.

Dabei bleibt ein bestimmtes Produkt gleich.

Ein typisches Beispiel:

Für eine Arbeit werden insgesamt $12$ Arbeitsstunden benötigt.

Wenn eine Person allein arbeitet, braucht sie $12$ Stunden.
Arbeiten zwei gleich schnelle Personen, braucht jede nur $6$ Stunden.
Arbeiten drei gleich schnelle Personen, dauert die Arbeit $4$ Stunden.

Es gilt:

$$1\cdot12=12,$$ $$2\cdot6=12,$$ $$3\cdot4=12.$$

Das Produkt bleibt gleich.

In diesem Kapitel lernst du,

• indirekte Proportionalität in einer Tabelle zu erkennen,
• indirekte Proportionalität an einem Graphen zu erkennen,
• die Produktgleichheit zu nutzen,
• fehlende Werte zu bestimmen,
• indirekte Proportionalität im Sachzusammenhang zu deuten.

---

1. Grundidee

Zwei Größen $x$ und $y$ sind indirekt proportional, wenn ihr Produkt konstant bleibt.

Mathematisch:

$$\boxed{x\cdot y=k}$$

mit einer festen Zahl $k$.

Für $x\neq0$ kann man auch schreiben:

$$\boxed{y=\frac{k}{x}}.$$

Das bedeutet:

Wird $x$ mit einem Faktor vervielfacht, wird $y$ durch denselben Faktor geteilt.

---

2. Typisches Beispiel

Vier gleich schnelle Personen benötigen für eine Arbeit $6$ Stunden.

Dann beträgt das konstante Produkt:

$$4\cdot6=24.$$

Wenn nun $8$ Personen arbeiten, muss gelten:

$$8\cdot y=24.$$

Also:

$$y=\frac{24}{8}=3.$$

Acht Personen benötigen somit $3$ Stunden.

---

3. Indirekte Proportionalität anhand einer Tabelle erkennen

Gegeben ist:

Wir berechnen für mehrere Zeilen das Produkt:

$$x\cdot y.$$

Es gilt:

$$1\cdot24=24,$$ $$2\cdot12=24,$$ $$3\cdot8=24,$$ $$4\cdot6=24,$$ $$6\cdot4=24.$$

Das Produkt bleibt gleich.

Also liegt eine indirekte Proportionalität vor.

Merke: Bei indirekter Proportionalität ist nicht der Quotient, sondern das Produkt $x\cdot y$ konstant.

---

4. Faktorprobe in der Tabelle

Eine zweite Möglichkeit ist die Faktorprobe.

Aus

$$x=2$$

wird

$$x=4.$$

Der $x$-Wert wird also verdoppelt.

Dann muss der $y$-Wert halbiert werden:

$$12\longrightarrow6.$$

Das passt.

Oder:

$$x:3\longrightarrow6$$

ist eine Verdopplung.

Dann:

$$y:8\longrightarrow4$$

ist eine Halbierung.

Auch das passt.

---

5. Gegenbeispiel: nicht indirekt proportional

Gegeben ist:

Wir prüfen:

$$1\cdot12=12,$$ $$2\cdot7=14,$$ $$3\cdot4=12.$$

Die Produkte sind nicht alle gleich.

Also ist diese Tabelle nicht indirekt proportional.

---

6. Direkte und indirekte Proportionalität unterscheiden

Bei direkter Proportionalität gilt:

$$\frac{y}{x}=\text{konstant}.$$

Bei indirekter Proportionalität gilt:

$$x\cdot y=\text{konstant}.$$

Direkt proportional:

doppelt so viel $\rightarrow$ doppelt so viel.

Indirekt proportional:

doppelt so viel $\rightarrow$ halb so viel.

---

7. Indirekte Proportionalität anhand eines Graphen erkennen

In typischen Sachaufgaben sind $x$ und $y$ positiv.

Dann sieht der Graph einer indirekten Proportionalität so aus:

• Er ist keine Gerade.
• Er fällt von links nach rechts.
• Er ist gekrümmt.
• Er kommt den Achsen immer näher.

Der Graph gehört zu einer Gleichung der Form

$$y=\frac{k}{x}$$

mit $k>0$.

---

8. Warum ist der Graph gekrümmt?

Nehmen wir:

$$y=\frac{12}{x}.$$

Dann erhalten wir:

Die Abnahme ist nicht in jedem Schritt gleich groß.

Von $x=1$ auf $x=2$ sinkt $y$ um $6$.

Von $x=6$ auf $x=12$ sinkt $y$ nur um $1$.

Deshalb entsteht keine Gerade.

---

9. Der Graph geht nicht durch den Ursprung

Für eine indirekte Proportionalität

$$y=\frac{k}{x}$$

darf $x$ nicht $0$ sein.

Denn durch $0$ darf nicht dividiert werden.

Darum gehört

$$(0\mid0)$$

nicht zum Graphen.

Der Graph nähert sich den Achsen an, erreicht sie aber bei einer echten indirekten Proportionalität nicht.

---

10. Produktgleichheit nutzen

Der wichtigste Rechenweg lautet:

$$\boxed{x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2}.$$

Wenn ein Wertepaar bekannt ist und ein weiterer Wert gegeben wird, kannst du damit den fehlenden Wert bestimmen.

Beispiel

Gegeben:

$$x_1=3,\qquad y_1=8.$$

Gesucht ist $y_2$ für

$$x_2=6.$$

Wir setzen ein:

$$3\cdot8=6\cdot y_2.$$

Zuerst berechnen wir das bekannte Produkt:

$$24=6\cdot y_2.$$

Dann:

$$y_2=\frac{24}{6}=4.$$

Also:

$$\boxed{y_2=4}.$$

---

11. Das konstante Produkt zuerst bestimmen

Oft ist es besonders übersichtlich, zuerst $k$ zu bestimmen.

Gegeben:

$$x=5,\qquad y=12.$$

Dann:

$$k=x\cdot y.$$

Also:

$$k=5\cdot12=60.$$

Damit gilt für alle Wertepaare:

$$x\cdot y=60.$$

Oder:

$$y=\frac{60}{x}.$$

---

12. Fehlenden Wert bestimmen

Gegeben ist:

Zuerst bestimmen wir das konstante Produkt:

$$k=4\cdot15=60.$$

Dann gilt für die zweite Zeile:

$$6\cdot y=60.$$

Daraus:

$$y=\frac{60}{6}=10.$$

Der fehlende Wert lautet:

$$\boxed{10}.$$

---

13. Fehlenden $x$-Wert bestimmen

Auch der $x$-Wert kann fehlen.

Gegeben:

Zuerst:

$$k=3\cdot20=60.$$

Dann:

$$x\cdot12=60.$$

Daraus:

$$x=\frac{60}{12}=5.$$

Also:

$$\boxed{x=5}.$$

---

14. Fehlenden Wert mit der Faktoridee bestimmen

Manchmal geht es auch ohne Produktgleichung besonders schnell.

Gegeben:

$$4\text{ Personen}\longrightarrow9\text{ Stunden}.$$

Gesucht:

$$12\text{ Personen}\longrightarrow ?\text{ Stunden}.$$

Von $4$ auf $12$ wird die Personenzahl verdreifacht:

$$4\cdot3=12.$$

Bei indirekter Proportionalität wird die Zeit durch $3$ geteilt:

$$9:3=3.$$

Also:

$$\boxed{3\text{ Stunden}}.$$

---

15. Warum die Produktgleichheit sicherer ist

Die Faktoridee ist praktisch, wenn der Faktor leicht zu erkennen ist.

Bei Zahlen wie

$$7\longrightarrow12$$

ist das weniger bequem.

Dann ist die Produktgleichheit meist einfacher.

Beispiel:

$$7\cdot24=12\cdot y.$$

Zuerst:

$$168=12\cdot y.$$

Dann:

$$y=\frac{168}{12}=14.$$

---

16. Indirekte Proportionalität im Sachzusammenhang deuten

Ein mathematisches Ergebnis muss zur Situation passen.

Beispiel: Arbeitszeit

Je mehr gleich schnelle Personen an derselben Arbeit beteiligt sind, desto weniger Zeit wird benötigt.

Das bedeutet:

$$\text{Personenzahl}\uparrow \quad\Rightarrow\quad \text{Arbeitszeit}\downarrow$$

und bei idealer indirekter Proportionalität bleibt

$$\text{Personenzahl}\cdot\text{Arbeitszeit}$$

gleich.

---

17. Beispiel: Geschwindigkeit und Fahrzeit

Eine feste Strecke beträgt

$$120\,\mathrm{km}.$$

Wenn die Geschwindigkeit größer wird, wird die benötigte Fahrzeit kleiner.

Bei

$$60\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

braucht man:

$$2\,\mathrm{h}.$$

Das Produkt ist:

$$60\cdot2=120.$$

Bei

$$80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$

gilt:

$$80\cdot t=120.$$

Daraus:

$$t=\frac{120}{80}=1{,}5\,\mathrm{h}.$$

Die größere Geschwindigkeit führt zur kleineren Fahrzeit.

---

18. Beispiel: Aufteilen einer festen Menge

$24$ Liter Saft werden gleichmäßig auf Flaschen verteilt.

Je größer das Fassungsvermögen einer Flasche, desto weniger Flaschen werden benötigt.

Bei $2$-Liter-Flaschen:

$$2\cdot12=24.$$

Bei $3$-Liter-Flaschen:

$$3\cdot8=24.$$

Das Produkt bleibt die gesamte Saftmenge:

$$24\,\mathrm{l}.$$

---

19. Nicht jede gegensinnige Veränderung ist indirekt proportional

Es reicht nicht, dass eine Größe größer und die andere kleiner wird.

Das Produkt muss zusätzlich konstant bleiben.

Beispiel:

Hier wird $y$ kleiner, wenn $x$ größer wird.

Aber:

$$1\cdot10=10,$$ $$2\cdot7=14,$$ $$3\cdot5=15.$$

Die Produkte sind nicht gleich.

Also liegt keine indirekte Proportionalität vor.

---

20. Grenzen eines Modells beachten

In echten Situationen gilt indirekte Proportionalität manchmal nur näherungsweise.

Beispiel:

Hundert Personen können nicht jede Arbeit hundertmal schneller erledigen als eine Person.

Vielleicht gibt es:

• zu wenig Platz,
• Wartezeiten,
• Abstimmungsprobleme,
• Aufgaben, die nicht gleichzeitig erledigt werden können.

Die mathematische indirekte Proportionalität ist dann ein Modell.

Du solltest immer prüfen:

Ist die Annahme im Sachzusammenhang sinnvoll?

---

21. Direkte oder indirekte Proportionalität?

Situation A

Mehr Kilogramm Äpfel bei festem Kilopreis $\rightarrow$ höherer Preis.

Das ist direkt proportional.

Situation B

Mehr gleich schnelle Personen bei gleicher Gesamtarbeit $\rightarrow$ weniger Arbeitszeit.

Das ist indirekt proportional.

Hilfsfrage:

Wird bei Verdopplung der einen Größe die andere ebenfalls verdoppelt oder halbiert?

---

22. Typische Fehler

Fehler 1: Quotient statt Produkt prüfen

Bei indirekter Proportionalität gilt:

$$\boxed{x\cdot y=\text{konstant}}.$$

Fehler 2: Nur auf „mehr – weniger“ achten

Eine gegensinnige Veränderung allein reicht nicht.

Das Produkt muss konstant sein.

Fehler 3: Faktor in dieselbe Richtung anwenden

Wird $x$ verdoppelt, wird $y$ nicht verdoppelt, sondern halbiert.

Fehler 4: $x=0$ einsetzen

Bei

$$y=\frac{k}{x}$$

ist $x=0$ nicht erlaubt.

Fehler 5: Graph mit einer fallenden Geraden verwechseln

Der typische Graph einer indirekten Proportionalität ist gekrümmt.

Fehler 6: Ergebnis nicht im Kontext prüfen

Ein mathematisch berechneter Wert kann in einer realen Situation unpassend sein.

---

23. Das Wichtigste auf einen Blick

Indirekte Proportionalität:

$$\boxed{x\cdot y=k}.$$

Oder für $x\neq0$:

$$\boxed{y=\frac{k}{x}}.$$

Tabelle prüfen:

$$x\cdot y$$

muss für alle Wertepaare gleich sein.

Produktgleichheit:

$$\boxed{x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2}.$$

Faktoridee:

Wird $x$ mit einem Faktor vervielfacht, wird $y$ durch denselben Faktor geteilt.

Typischer Graph bei positiven Größen:

• fallend,
• gekrümmt,
• nicht durch den Ursprung.

Im Sachzusammenhang immer erklären:

• welche Größe größer wird,
• welche kleiner wird,
• welche Größe oder Gesamtmenge durch das konstante Produkt beschrieben wird,
• ob das Modell realistisch ist.