Direkte Proportionalität als funktionaler Zusammenhang

Kompetenzcode: MG 5.4

Bei einer direkten Proportionalität verändern sich zwei Größen immer im selben Verhältnis.

Ein typisches Beispiel:

Ein Kilogramm Äpfel kostet $3\,€$.

Dann gilt:

• $1\,\mathrm{kg}$ kostet $3\,€$,
• $2\,\mathrm{kg}$ kosten $6\,€$,
• $3\,\mathrm{kg}$ kosten $9\,€$.

Verdoppelt sich die Menge, verdoppelt sich auch der Preis.
Verdreifacht sich die Menge, verdreifacht sich auch der Preis.

In diesem Kapitel lernst du,

• direkte Proportionalität in einer Tabelle zu erkennen,
• direkte Proportionalität an einem Graphen zu erkennen,
• den Proportionalitätsfaktor zu bestimmen,
• die Gleichung $y=kx$ aufzustellen,
• den Graphen einer direkten Proportionalität zu zeichnen.

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1. Grundidee

Zwei Größen $x$ und $y$ sind direkt proportional, wenn für alle zugehörigen Werte derselbe Faktor gilt.

Mathematisch:

$$\boxed{y=kx}$$

Dabei ist $k$ der Proportionalitätsfaktor.

Beispiel:

$$y=3x.$$

Dann ist

$$k=3.$$

Zu jedem $x$-Wert gehört also das Dreifache als $y$-Wert.

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2. Direkte Proportionalität anhand einer Tabelle erkennen

Gegeben ist:

Wir berechnen für mehrere Zeilen:

$$\frac{y}{x}.$$

Es gilt:

$$\frac{4}{1}=4,$$ $$\frac{8}{2}=4,$$ $$\frac{12}{3}=4,$$ $$\frac{20}{5}=4.$$

Der Quotient bleibt gleich.

Also ist die Zuordnung direkt proportional und

$$\boxed{k=4}.$$

Merke: Eine Tabelle ist direkt proportional, wenn der Quotient $\frac{y}{x}$ für alle Wertepaare mit $x\neq0$ gleich ist.

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3. Nicht jede regelmäßig wachsende Tabelle ist proportional

Gegeben ist:

Die $y$-Werte steigen zwar immer um $3$, aber:

$$\frac{4}{1}=4,$$ $$\frac{7}{2}=3{,}5.$$

Die Quotienten sind nicht gleich.

Also ist diese Zuordnung nicht direkt proportional.

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4. Was passiert bei $x=0$?

Bei direkter Proportionalität gilt:

$$y=kx.$$

Setzen wir

$$x=0,$$

dann:

$$y=k\cdot0=0.$$

Deshalb gehört immer

$$\boxed{(0\mid0)}$$

zur direkten Proportionalität.

Für $x=0$ berechnen wir aber nicht

$$\frac{y}{x},$$

denn durch $0$ darf nicht dividiert werden.

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5. Direkte Proportionalität anhand eines Graphen erkennen

Der Graph einer direkten Proportionalität besitzt zwei Kennzeichen:

1. Er ist eine Gerade.
2. Er geht durch den Ursprung $O=(0\mid0)$.

Merke:
Gerade + Ursprung $\Rightarrow$ direkte Proportionalität.

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6. Warum reicht eine Gerade allein nicht?

Betrachten wir:

$$y=2x+3.$$

Für

$$x=0$$

gilt:

$$y=3.$$

Der Graph geht durch

$$(0\mid3)$$

und nicht durch den Ursprung.

Die Zuordnung ist daher nicht direkt proportional.

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7. Warum reicht der Ursprung allein nicht?

Auch ein gekrümmter Graph kann durch den Ursprung gehen.

Dann liegt trotzdem keine direkte Proportionalität vor.

Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein:

$$\boxed{\text{Gerade}}$$

und

$$\boxed{\text{durch }(0\mid0)}.$$

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8. Proportionalitätsfaktor bestimmen

Bei

$$y=kx$$

gilt für $x\neq0$:

$$\boxed{k=\frac{y}{x}}.$$

Gegeben ist zum Beispiel:

$$(6\mid18).$$

Dann:

$$k=\frac{18}{6}=3.$$

Also:

$$\boxed{k=3}.$$

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9. Proportionalitätsfaktor aus einer Tabelle

Gegeben:

Wir verwenden zum Beispiel:

$$k=\frac{5}{2}=2{,}5.$$

Probe mit einer zweiten Zeile:

$$\frac{10}{4}=2{,}5.$$

Damit ist:

$$\boxed{k=2{,}5}.$$

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10. Bedeutung und Einheit von $k$

In Sachaufgaben besitzt $k$ oft eine konkrete Bedeutung.

Beispiel:

$$x=\text{Masse in kg},$$ $$y=\text{Preis in €}.$$

Dann:

$$k=\frac{y}{x}.$$

Die Einheit ist:

$$\frac{€}{\mathrm{kg}}.$$

Wenn

$$k=3\,\frac{€}{\mathrm{kg}},$$

bedeutet das:

Ein Kilogramm kostet $3\,€$.

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11. Gleichung einer direkten Proportionalität aufstellen

Jede direkte Proportionalität hat die Form

$$\boxed{y=kx}.$$

Gegeben ist zum Beispiel:

$$(4\mid12).$$

Zuerst bestimmen wir:

$$k=\frac{12}{4}=3.$$

Dann setzen wir $k=3$ in die Grundform ein:

$$\boxed{y=3x}.$$

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12. Gleichung aus einer Tabelle aufstellen

Gegeben:

Wir bestimmen:

$$k=\frac{2{,}5}{1}=2{,}5.$$

Damit:

$$\boxed{y=2{,}5x}.$$

Probe mit $x=4$:

$$y=2{,}5\cdot4=10.$$

Das stimmt mit der Tabelle überein.

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13. Gleichung aus einem Sachzusammenhang

Ein Liter Saft kostet

$$1{,}80\,€.$$

Wir setzen:

$$x=\text{Liter},$$ $$y=\text{Preis in €}.$$

Dann ist:

$$k=1{,}8.$$

Also:

$$\boxed{y=1{,}8x}.$$

Für $5$ Liter gilt:

$$y=1{,}8\cdot5=9.$$

Damit kosten $5$ Liter $9\,€$.

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14. Graph einer direkten Proportionalität zeichnen

Gegeben ist:

$$y=2x.$$

Wir erstellen eine Wertetabelle:

Daraus entstehen die Punkte:

$$(0\mid0),$$ $$(1\mid2),$$ $$(2\mid4),$$ $$(3\mid6).$$

Diese Punkte liegen auf einer Geraden.

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15. Zeichnen mit zwei Punkten

Weil der Graph eine Gerade durch den Ursprung ist, genügen grundsätzlich zwei verschiedene Punkte.

Der erste Punkt ist immer:

$$(0\mid0).$$

Bei

$$y=3x$$

wählen wir zum Beispiel

$$x=2.$$

Dann:

$$y=3\cdot2=6.$$

Der zweite Punkt ist:

$$(2\mid6).$$

Nun zeichnen wir die Gerade durch beide Punkte.

Ein dritter Punkt kann als Kontrolle dienen.

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16. Achsen und Skalierung

Beim Zeichnen solltest du:

1. die $x$-Achse und $y$-Achse beschriften,
2. bei Sachaufgaben auch die Einheiten angeben,
3. eine gleichmäßige Skalierung wählen,
4. den Ursprung markieren,
5. mindestens einen weiteren Punkt korrekt einzeichnen.

Beispiel:

• $x$-Achse: Masse in kg,
• $y$-Achse: Preis in €.

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17. Was verrät $k$ über den Graphen?

Bei positiven Proportionalitätsfaktoren gilt:

Je größer $k$, desto stärker steigt die Gerade.

Zum Beispiel:

$$y=x,$$ $$y=2x,$$ $$y=4x.$$

Alle drei Graphen gehen durch den Ursprung.

Der Graph von

$$y=4x$$

steigt aber stärker als der Graph von

$$y=2x.$$

Die genaue Berechnung von Steigungen kommt später.

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18. Drei Darstellungen gehören zusammen

Direkte Proportionalität kann auf drei Arten erkannt werden.

Tabelle

$$\frac{y}{x}=k$$

ist für alle Wertepaare mit $x\neq0$ gleich.

Gleichung

Die Gleichung hat die Form

$$y=kx.$$

Graph

Der Graph ist eine Gerade durch

$$(0\mid0).$$

Diese drei Merkmale beschreiben denselben Zusammenhang.

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19. Beispiel mit Dezimalzahlen

Gegeben:

Wir bestimmen:

$$k=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

Also:

$$\boxed{y=0{,}5x}.$$

Probe:

$$0{,}5\cdot6=3.$$

Die Zuordnung ist direkt proportional.

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20. Typische Fehler

Fehler 1: Nur auf gleichmäßige Zunahme schauen

Entscheidend ist der konstante Quotient

$$\frac{y}{x}.$$

Fehler 2: Jede Gerade für proportional halten

Die Gerade muss zusätzlich durch

$$(0\mid0)$$

gehen.

Fehler 3: $k$ falsch herum berechnen

Richtig:

$$k=\frac{y}{x}.$$

Fehler 4: Durch $0$ dividieren

Für $x=0$ wird der Quotient nicht berechnet.

Fehler 5: Einheit von $k$ vergessen

Im Sachkontext kann $k$ zum Beispiel

$$3\,\frac{€}{\mathrm{kg}}$$

bedeuten.

Fehler 6: Beim Graphen Achsen nicht beschriften

Größen, Einheiten und Skalierung gehören zu einer vollständigen Darstellung.

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21. Das Wichtigste auf einen Blick

Direkte Proportionalität:

$$\boxed{y=kx}.$$

Proportionalitätsfaktor:

$$\boxed{k=\frac{y}{x}} \qquad (x\neq0).$$

Tabelle:

$$\frac{y}{x}$$

ist konstant.

Graph:

$$\boxed{\text{Gerade durch den Ursprung}}.$$

Graph zeichnen:

1. Ursprung eintragen,
2. weiteren $x$-Wert wählen,
3. mit $y=kx$ den $y$-Wert berechnen,
4. Punkt einzeichnen,
5. Gerade durch die Punkte zeichnen.