Tabellen, Diagramme und Graphen

Kompetenzcode: MG 5.3

Eine Abhängigkeit zwischen zwei Größen kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:

• als Wertetabelle,
• als Graph im Koordinatensystem,
• als Beschreibung im Sachzusammenhang.

Alle drei Darstellungen können dieselbe Information enthalten.

In diesem Kapitel lernst du,

• eine Wertetabelle zu lesen,
• eine Wertetabelle zu vervollständigen,
• aus einer Wertetabelle einen Graphen zu erstellen,
• Werte aus einem Graphen abzulesen,
• Graph und Tabelle einander zuzuordnen,
• einen Graphen im Sachzusammenhang zu interpretieren.

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1. Wertetabelle lesen

Eine Wertetabelle enthält zusammengehörige Wertepaare.

Zum Beispiel kostet jedes Heft $2\,€$.

Jede Zeile gehört zusammen.

Zum Beispiel bedeutet

$$x=3$$

und

$$y=6:$$

Drei Hefte kosten $6\,€$.

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2. Überschriften zuerst lesen

Bevor du Zahlen aus einer Tabelle verwendest, lies immer die Überschriften.

Frage:

• Welche Größe steht in der ersten Spalte?
• Welche Größe steht in der zweiten Spalte?
• Welche Einheiten werden verwendet?

Im Beispiel ist

$$x=\text{Anzahl der Hefte}$$

und

$$y=\text{Preis in Euro}.$$

Ohne die Überschriften wäre das Wertepaar

$$(3\mid6)$$

nicht eindeutig zu deuten.

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3. Wertepaare aus einer Tabelle ablesen

Aus der Tabelle kannst du Wertepaare bilden:

$$(0\mid0),$$ $$(1\mid2),$$ $$(2\mid4),$$ $$(3\mid6),$$ $$(4\mid8).$$

Dabei gilt:

$$\boxed{(x\mid y)}$$

mit

• $x$: unabhängige Größe,
• $y$: abhängige Größe.

Merke: In einer Tabellenzeile stehen Werte, die zusammengehören.

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4. Veränderungen in einer Tabelle erkennen

Eine Tabelle zeigt nicht nur einzelne Werte.

Du kannst auch Veränderungen erkennen.

Im Heft-Beispiel:

$$0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$$

Der Preis steigt bei jedem zusätzlichen Heft um

$$2\,€.$$

Wir können sagen:

Wenn $x$ um $1$ steigt, steigt $y$ um $2$.

Solche Änderungen helfen später beim Vergleichen von Tabelle und Graph.

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5. Wertetabelle vervollständigen

Manchmal fehlen Werte in einer Tabelle.

Dann brauchst du die Regel der Abhängigkeit.

Beispiel

Gegeben ist:

$$y=3x.$$

Für

$$x=2$$

gilt:

$$y=3\cdot2=6.$$

Für

$$x=4$$

gilt:

$$y=3\cdot4=12.$$

Damit ist die Tabelle:

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6. Fehlenden Tabellenwert aus einem Muster bestimmen

Nicht immer ist eine Formel angegeben.

Manchmal erkennst du das Muster direkt aus der Tabelle.

Du erkennst:

$$y=5x.$$

Oder sprachlich:

Zu jedem $x$-Wert gehört das Fünffache als $y$-Wert.

Darum:

$$y=5\cdot4=20.$$

Der fehlende Wert ist:

$$\boxed{20}.$$

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7. Nicht jedes Tabellenmuster ist proportional

Achte darauf, nicht vorschnell immer „mal dieselbe Zahl“ zu suchen.

Beispiel:

Hier steigt $y$ bei jedem Schritt um

$$2.$$

Aber:

$$y\neq2x.$$

Denn bei

$$x=0$$

ist

$$y=4.$$

In späteren Kapiteln lernst du verschiedene Arten solcher Zusammenhänge genauer kennen.

Für das Vervollständigen genügt zunächst:

Suche das Muster und prüfe es an mehreren Tabellenzeilen.

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8. Vom Wertepaar zum Punkt

Ein Wertepaar

$$(x\mid y)$$

kann als Punkt in einem Koordinatensystem dargestellt werden.

Zum Beispiel:

$$(3\mid6)$$

bedeutet:

1. auf der $x$-Achse zu $3$,
2. von dort senkrecht nach oben,
3. bis zur Höhe $y=6$,
4. dort den Punkt markieren.

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9. Achsen richtig beschriften

Bevor du Punkte einzeichnest, beschrifte die Achsen.

Die waagrechte Achse ist meist die

$$x\text{-Achse}.$$

Die senkrechte Achse ist meist die

$$y\text{-Achse}.$$

In einer Sachaufgabe sollten außerdem die echten Größen und Einheiten stehen.

Zum Beispiel:

• $x$-Achse: Zeit in min,
• $y$-Achse: Weg in m.

Merke: Ein Graph ohne sinnvolle Achsenbeschriftung ist schwer oder gar nicht richtig interpretierbar.

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10. Skalierung der Achsen wählen

Die Zahlenabstände auf einer Achse müssen gleichmäßig sein.

Zum Beispiel:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$$

oder

$$0,\ 10,\ 20,\ 30,\ 40.$$

Nicht erlaubt wäre eine ungleichmäßige Folge wie

$$0,\ 1,\ 2,\ 10,\ 11$$

bei gleichen Abständen auf dem Papier.

Die Skalierung soll so gewählt werden, dass alle Punkte gut in das Koordinatensystem passen.

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11. Graph aus einer Wertetabelle erstellen

Gegeben ist:

Schritt 1

Koordinatensystem zeichnen.

Schritt 2

Achsen beschriften.

Schritt 3

Passende Skalierung wählen.

Schritt 4

Die Wertepaare einzeichnen:

$$(0\mid1),$$ $$(1\mid3),$$ $$(2\mid5),$$ $$(3\mid7).$$

Schritt 5

Nur wenn es zur Situation passt, werden die Punkte verbunden.

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12. Punkte verbinden oder nicht?

Ob Punkte verbunden werden, hängt vom Sachzusammenhang ab.

Kontinuierliche Größe

Bei Zeit und Strecke kann es auch Zwischenwerte geben.

Zwischen

$$1\,\mathrm{min}$$

und

$$2\,\mathrm{min}$$

existieren viele weitere Zeitpunkte.

Dann kann eine durchgehende Linie sinnvoll sein.

Einzelne Stückzahlen

Bei der Anzahl gekaufter Hefte gibt es normalerweise keine

$$2{,}5$$

Hefte.

Dann sind einzelne Punkte oft passender.

Merke: Nicht automatisch alle Punkte verbinden. Der Sachzusammenhang entscheidet.

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13. Werte aus einem Graphen ablesen

Angenommen, du möchtest zum gegebenen

$$x=4$$

den zugehörigen $y$-Wert ablesen.

Gehe so vor:

1. Suche $4$ auf der $x$-Achse.
2. Gehe senkrecht zum Graphen.
3. Vom Schnittpunkt gehst du waagrecht zur $y$-Achse.
4. Lies den $y$-Wert ab.

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14. Umgekehrt einen $x$-Wert ablesen

Du kannst auch von einem $y$-Wert ausgehen.

Gesucht ist zum Beispiel der $x$-Wert für

$$y=10.$$

Dann:

1. Suche $10$ auf der $y$-Achse.
2. Gehe waagrecht zum Graphen.
3. Vom Schnittpunkt senkrecht zur $x$-Achse.
4. Lies den $x$-Wert ab.

Die Richtung des Ablesens hängt also davon ab, welche Größe gegeben ist.

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15. Zwischenwerte aus einem Graphen ablesen

Ein Graph kann auch Werte zeigen, die nicht ausdrücklich in einer Tabelle stehen.

Angenommen, die Tabelle enthält nur:

$$x=2$$

und

$$x=4.$$

Ist der Graph dazwischen als durchgehende Linie dargestellt und sind Zwischenwerte im Sachzusammenhang sinnvoll, kannst du zum Beispiel auch bei

$$x=3$$

einen Wert ablesen.

Das nennt man eine Zwischenwertablesung.

Dabei musst du auf die Genauigkeit der Skala achten.

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16. Ablesegenauigkeit beachten

Ein Graph liefert manchmal nur einen ungefähren Wert.

Wenn die Skala zum Beispiel nur Schritte von

$$10$$

zeigt, kannst du einen Wert zwischen $20$ und $30$ möglicherweise nur ungefähr bestimmen.

Dann ist eine Schreibweise wie

$$y\approx24$$

sinnvoller als eine scheinbar exakt gemessene Zahl.

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17. Graph und Tabelle einander zuordnen

Um einen Graphen einer Tabelle zuzuordnen, vergleiche mehrere Wertepaare.

Nimm nicht nur einen einzigen Punkt.

Beispiel

Tabelle A:

Tabelle B:

Ein Graph durch den Ursprung passt zu Tabelle A.

Ein Graph, der bei

$$y=3$$

startet, passt eher zu Tabelle B.

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18. Gute Vergleichsstellen auswählen

Zum Zuordnen sind besonders hilfreich:

• der Wert bei $x=0$,
• ein weiterer gut ablesbarer Punkt,
• die Richtung des Graphen,
• die Größe der Veränderung.

Wenn die Tabelle zum Beispiel zeigt:

$$y: 1,\ 4,\ 7,\ 10$$

dann steigt $y$ bei jedem Schritt in $x$ um

$$3.$$

Der passende Graph muss dieses Verhalten zeigen.

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19. Zuordnung systematisch prüfen

Eine sichere Methode:

Schritt 1

Wähle aus der Tabelle ein Wertepaar.

Schritt 2

Prüfe, ob der entsprechende Punkt auf dem Graphen liegt.

Schritt 3

Prüfe ein zweites Wertepaar.

Schritt 4

Prüfe möglichst noch ein drittes Wertepaar.

Erst dann ordnest du Tabelle und Graph einander zu.

Merke: Ein einzelner gemeinsamer Punkt reicht meistens nicht für eine sichere Zuordnung.

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20. Einen Graphen im Sachzusammenhang interpretieren

Ein Graph besteht nicht nur aus Punkten und Linien.

Er erzählt etwas über eine reale Situation.

Angenommen:

• $x$-Achse: Zeit in min,
• $y$-Achse: zurückgelegter Weg in m.

Dann bedeutet ein Punkt

$$(4\mid200):$$

Nach $4$ Minuten wurden $200$ Meter zurückgelegt.

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21. Steigende Abschnitte interpretieren

Wenn ein Graph von links nach rechts steigt, wird die abhängige Größe größer.

Im Weg-Zeit-Beispiel:

Mit zunehmender Zeit nimmt der zurückgelegte Weg zu.

Ein steilerer Anstieg bedeutet dabei:

In derselben Zeit verändert sich der Weg stärker.

Die genaue Berechnung der Steigung kommt später.

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22. Fallende Abschnitte interpretieren

Wenn ein Graph von links nach rechts fällt, wird die abhängige Größe kleiner.

Beispiel:

• $x$: Zeit,
• $y$: Wassermenge im Tank.

Dann kann ein fallender Graph bedeuten:

Mit zunehmender Zeit wird weniger Wasser im Tank.

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23. Waagrechte Abschnitte interpretieren

Ist der Graph waagrecht, verändert sich die abhängige Größe in diesem Abschnitt nicht.

Zum Beispiel bei einem Weg-Zeit-Graphen:

Die Zeit vergeht, aber der zurückgelegte Weg bleibt gleich.

Das kann bedeuten:

Es findet eine Pause statt.

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24. Anfangswert interpretieren

Der Wert bei

$$x=0$$

ist häufig besonders wichtig.

Er beschreibt den Anfang der Situation.

Beispiel:

Ein Tank enthält bei

$$t=0$$

bereits

$$50\,\mathrm{l}.$$

Dann startet der Graph bei:

$$(0\mid50).$$

Der Anfangswert ist also

$$50\,\mathrm{l}.$$

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25. Maxima, Minima und Veränderungen erkennen

Bei nicht geradlinigen Graphen kannst du außerdem fragen:

• Wo ist der höchste Wert?
• Wo ist der niedrigste Wert?
• In welchem Abschnitt steigt der Graph?
• In welchem Abschnitt fällt er?
• Wo bleibt er gleich?

So lässt sich ein Verlauf beschreiben, ohne sofort eine Formel zu kennen.

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26. Typische Fehler

Fehler 1: Tabellenüberschriften ignorieren

Zahlen ohne Größen und Einheiten können falsch gedeutet werden.

Fehler 2: $x$- und $y$-Wert vertauschen

Beim Punkt

$$(3\mid7)$$

gehst du zuerst zu

$$x=3$$

und dann zu

$$y=7.$$

Fehler 3: Achsenskalierung nicht beachten

Ein Kästchen bedeutet nicht automatisch $1$.

Lies die Beschriftung.

Fehler 4: Alle Punkte automatisch verbinden

Prüfe, ob Zwischenwerte in der Situation überhaupt sinnvoll sind.

Fehler 5: Graph und Tabelle nach nur einem Punkt zuordnen

Vergleiche mehrere Wertepaare.

Fehler 6: Nur „der Graph steigt“ schreiben

Im Sachzusammenhang sollte erklärt werden, welche Größe steigt und was das bedeutet.

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27. Das Wichtigste auf einen Blick

Wertetabelle:

• Überschriften und Einheiten lesen,
• Werte zeilenweise als Paare betrachten,
• Muster erkennen.

Tabelle vervollständigen:

• Regel oder Muster finden,
• fehlenden Wert berechnen,
• mit vorhandenen Zeilen prüfen.

Graph erstellen:

1. Achsen zeichnen,
2. Größen und Einheiten beschriften,
3. Skalierung wählen,
4. Wertepaare einzeichnen,
5. nur bei passendem Sachzusammenhang verbinden.

Graph ablesen:

• vom gegebenen Achsenwert zum Graphen,
• dann zur anderen Achse.

Graph und Tabelle zuordnen:

• mehrere Wertepaare prüfen.

Graph interpretieren:

• Anfangswert,
• steigende Abschnitte,
• fallende Abschnitte,
• waagrechte Abschnitte,
• besondere Werte
  im jeweiligen Sachzusammenhang erklären.