Abhängigkeiten zwischen Größen
Kompetenzcode: MG 5.2
In vielen Alltagssituationen hängen zwei Größen miteinander zusammen.
Zum Beispiel:
- Je länger du mit gleichbleibender Geschwindigkeit gehst, desto weiter kommst du.
- Je mehr Hefte du kaufst, desto höher wird der Gesamtpreis.
- Je länger ein Wasserhahn geöffnet ist, desto mehr Wasser kann in ein Gefäß fließen.
Dabei verändert sich eine Größe und eine andere Größe hängt davon ab.
In diesem Kapitel lernst du,
- abhängige und unabhängige Größen zu unterscheiden,
- eine Abhängigkeit zwischen zwei Größen zu beschreiben,
- Wertepaare einer Abhängigkeit anzugeben,
- eine Abhängigkeit im Sachzusammenhang zu interpretieren.
1. Zwei Größen in einer Situation erkennen
Bevor du über eine Abhängigkeit nachdenkst, musst du zuerst die beteiligten Größen erkennen.
Beispiel
Ein Heft kostet
Du kaufst unterschiedlich viele Hefte.
Dann sind zwei Größen wichtig:
- Anzahl der Hefte,
- Gesamtpreis.
Wenn du mehr Hefte kaufst, verändert sich der Gesamtpreis.
Wir sagen:
Der Gesamtpreis hängt von der Anzahl der Hefte ab.
2. Unabhängige Größe
Die unabhängige Größe ist jene Größe, deren Wert wir vorgeben, auswählen oder verändern.
Im Heft-Beispiel ist das:
Denn wir entscheiden, ob wir zum Beispiel
Hefte kaufen.
Häufig wird die unabhängige Größe mit
bezeichnet.
Das ist aber nur eine Bezeichnung.
In einer Sachaufgabe ist es oft hilfreicher, zuerst mit dem echten Namen der Größe zu arbeiten.
3. Abhängige Größe
Die abhängige Größe verändert sich als Folge der unabhängigen Größe.
Im Heft-Beispiel ist das:
Denn der Preis ergibt sich daraus, wie viele Hefte gekauft werden.
Häufig wird die abhängige Größe mit
bezeichnet.
Wir können deshalb schreiben:
und
Merke:
Die unabhängige Größe wird vorgegeben.
Die abhängige Größe ergibt sich daraus.
4. Abhängig oder unabhängig? – Fragemethode
Wenn du unsicher bist, stelle zwei Fragen:
Frage 1
Welche Größe kann ich zuerst auswählen oder verändern?
Das ist meist die unabhängige Größe.
Frage 2
Welche Größe ergibt sich daraus?
Das ist meist die abhängige Größe.
Beispiel
Ein Fahrrad fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit.
Je länger die Fahrzeit, desto größer die zurückgelegte Strecke.
Dann gilt:
Die Fahrzeit ist die unabhängige Größe.
Die Strecke ist die abhängige Größe.
5. Eine Abhängigkeit mit Worten beschreiben
Eine Abhängigkeit sollte nicht nur mit zwei Variablennamen angegeben werden.
Du solltest auch erklären, wie sich die Größen gemeinsam verändern.
Hilfreiche Formulierungen sind:
- Wenn größer wird, dann …
- Je mehr …, desto …
- Je länger …, desto …
- Für jeden Wert von … ergibt sich …
- Die Größe … hängt von … ab.
Beispiel
Ein Heft kostet .
Dann kannst du sagen:
Je mehr Hefte gekauft werden, desto größer ist der Gesamtpreis.
Oder genauer:
Für jedes zusätzliche Heft steigt der Gesamtpreis um .
6. Abhängigkeiten müssen nicht immer gleich aussehen
Nicht jede Abhängigkeit bedeutet:
mehr mehr.
Beispiel 1: mehr führt zu mehr
Je länger ein Wasserhahn geöffnet ist, desto mehr Wasser befindet sich im Gefäß.
Beispiel 2: mehr führt zu weniger
Ein Vorrat wird verbraucht.
Je mehr Zeit vergeht, desto weniger Vorrat ist noch vorhanden.
Beispiel 3: eine Größe kann steigen und fallen
Die Außentemperatur verändert sich im Laufe eines Tages.
Am Morgen steigt sie vielleicht, am Abend fällt sie wieder.
Merke: Eine Abhängigkeit beschreibt, wie zwei Größen zusammenhängen. Sie muss nicht immer eine gleichmäßige Zunahme sein.
7. Abhängigkeit durch eine Rechenregel beschreiben
Manche Abhängigkeiten können durch eine einfache Rechenregel beschrieben werden.
Ein Heft kostet .
Für den Gesamtpreis bei Heften gilt:
Zum Beispiel:
liefert
Die Rechenregel beschreibt, wie aus der unabhängigen Größe die abhängige Größe entsteht.
8. Abhängigkeit durch eine Tabelle darstellen
Eine Abhängigkeit kann auch in einer Tabelle dargestellt werden.
Für das Heft-Beispiel:
Jede Zeile gehört zusammen.
Das bedeutet:
und so weiter.
9. Wertepaare einer Abhängigkeit
Zwei zusammengehörige Werte nennt man ein Wertepaar.
Aus der Tabelle erhalten wir zum Beispiel:
Dabei steht der erste Wert für die unabhängige Größe und der zweite Wert für die abhängige Größe.
Also:
10. Warum ist die Reihenfolge beim Wertepaar wichtig?
Das Wertepaar
bedeutet im Heft-Beispiel:
Die vertauschte Schreibweise
würde etwas anderes bedeuten.
Darum musst du immer wissen:
- Welche Größe steht an erster Stelle?
- Welche Größe steht an zweiter Stelle?
11. Wertepaare aus einer Rechenregel bestimmen
Gegeben ist:
Wir wählen zum Beispiel:
Dann:
Das zugehörige Wertepaar ist:
Für
gilt:
Also:
12. Prüfen, ob ein Wertepaar passt
Gegeben ist die Regel:
Wir prüfen das Wertepaar
Einsetzen:
Das Wertepaar passt.
Nun prüfen wir:
Einsetzen:
Dieses Wertepaar passt nicht zur Abhängigkeit.
13. Wertepaare aus einer Sachsituation angeben
Ein Radfahrer fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit
Nach
hat er
zurückgelegt.
Nach
sind es
Nach
sind es
Wenn zuerst die Zeit und dann die Strecke notiert wird, entstehen die Wertepaare:
14. Ein Wertepaar im Sachzusammenhang interpretieren
Ein Wertepaar ist nicht nur eine Zahlenkombination.
Du musst seine Bedeutung in der Situation erklären können.
Beispiel
Im Radfahrer-Beispiel bedeutet
Nach Stunden hat der Radfahrer Kilometer zurückgelegt.
Eine gute Interpretation nennt:
- die Bedeutung des ersten Wertes,
- die Bedeutung des zweiten Wertes,
- die Einheiten,
- den Zusammenhang zwischen beiden.
15. Abhängigkeit im Sachzusammenhang interpretieren
Betrachten wir einen Wassertank.
Zu Beginn enthält er
Pro Minute werden
entnommen.
Hier ist:
die unabhängige Größe.
Die verbleibende Wassermenge ist die abhängige Größe.
Nach jeder Minute wird die Wassermenge um
kleiner.
Wir können die Abhängigkeit beschreiben:
Je länger Wasser entnommen wird, desto weniger Wasser befindet sich im Tank.
16. Mehrere Aussagen aus einer Abhängigkeit gewinnen
Angenommen, eine Tabelle zeigt:
Daraus kannst du mehrere Aussagen ableiten:
Anfangswert
Bei
sind
im Tank.
Veränderung
Pro Minute sinkt die Wassermenge um
Wertepaar
bedeutet:
Nach Minuten sind noch im Tank.
17. Nicht nur rechnen – Bedeutung beachten
Eine mathematische Abhängigkeit muss zur Sachsituation passen.
Beispiel
Ein Parkplatz hat höchstens
Stellplätze.
Eine Rechenregel könnte für kleine Werte sinnvoll sein.
Wenn eine Rechnung aber plötzlich
belegte Stellplätze liefert, passt dieses Ergebnis nicht zur tatsächlichen Situation.
Darum solltest du nach jeder Rechnung fragen:
Ist dieser Wert im Sachzusammenhang überhaupt möglich?
18. Einheiten gehören zur Interpretation
Vergleiche:
Diese Schreibweise allein sagt noch nicht, was gemeint ist.
Erst der Kontext macht das Wertepaar verständlich.
Zum Beispiel:
oder
Die Zahlen sind gleich, aber die Bedeutung ist völlig verschieden.
Merke: Werte ohne Einheit und Kontext können leicht falsch interpretiert werden.
19. Unabhängige und abhängige Größe in Tabellen
Meist steht die unabhängige Größe
- in der ersten Spalte einer Tabelle,
- oder später auf der waagrechten Achse eines Graphen.
Die abhängige Größe steht meist
- in der zweiten Spalte,
- oder später auf der senkrechten Achse.
Das ist eine häufige Konvention.
Trotzdem solltest du immer die Überschriften lesen.
20. Typische Fehler
Fehler 1: Die Größen vertauschen
Frage:
Welche Größe wird vorgegeben, und welche ergibt sich daraus?
Fehler 2: Nur Zahlen nennen
Ein Wertepaar wie
sollte im Sachzusammenhang erklärt werden.
Fehler 3: Einheiten vergessen
Bei Sachaufgaben gehören Einheiten zur Bedeutung.
Fehler 4: Eine Abhängigkeit zu ungenau beschreiben
„Die Größen hängen zusammen“ reicht oft nicht.
Besser:
Wenn die Zeit um eine Stunde zunimmt, steigt die Strecke um .
Fehler 5: Jeden Zusammenhang als „mehr bedeutet mehr“ ansehen
Eine abhängige Größe kann auch kleiner werden oder sich ungleichmäßig verändern.
21. Das Wichtigste auf einen Blick
Unabhängige Größe:
Abhängige Größe:
Eine Abhängigkeit kann beschrieben werden durch
- Worte,
- eine Rechenregel,
- eine Tabelle,
- Wertepaare.
Ein Wertepaar wird zum Beispiel geschrieben als:
Dabei steht zuerst die unabhängige und danach die abhängige Größe.
Beim Interpretieren musst du immer erklären,
- was die beiden Werte bedeuten,
- welche Einheiten sie besitzen,
- und was das Wertepaar im Sachzusammenhang aussagt.