Polynomfunktionen aus Bedingungen bestimmen

Kompetenzcode: FA 4.5

Manchmal ist die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion nicht direkt gegeben.

Stattdessen kennt man bestimmte Eigenschaften der .

Zum Beispiel:

Der Graph geht durch einen bestimmten Punkt.
Eine ist bekannt.
Der y-Achsenabschnitt ist bekannt.
Bei einer ist ein Scheitelpunkt bekannt.
Mehrere Punkte des Graphen sind gegeben.

Aus solchen Bedingungen kann man die unbekannten Koeffizienten der Funktion bestimmen.

Das Grundprinzip lautet:

Jede Bedingung liefert eine Gleichung für die unbekannten Koeffizienten.

1. Quadratische Funktion in allgemeiner Form

Eine quadratische Funktion besitzt die Form

\boxed{ f(x)=ax^2+bx+c }

mit

a\neq0.

Die drei Koeffizienten

a,\qquad b,\qquad c

sind zunächst unbekannt.

Um alle drei eindeutig bestimmen zu können, benötigt man normalerweise drei voneinander unabhängige Bedingungen.

2. Warum braucht man drei Bedingungen?

f(x)=ax^2+bx+c

gibt es drei unbekannte Zahlen:

a,\quad b,\quad c.

Eine einzelne Bedingung liefert normalerweise nur eine Gleichung.

Drei geeignete Bedingungen führen daher zu drei Gleichungen.

Diese können gemeinsam als Gleichungssystem gelöst werden.

3. Ein Punkt liefert eine Bedingung

Liegt der Punkt

P(x_P|y_P)

auf dem Graphen von $f$ , dann gilt:

\boxed{ f(x_P)=y_P }

Beispiel:

Der Punkt

P(2|7)

liegt auf

f(x)=ax^2+bx+c.

Dann gilt:

f(2)=7.

Einsetzen:

a\cdot2^2+b\cdot2+c=7.

Also:

\boxed{ 4a+2b+c=7. }

Aus einem Punkt ist damit eine Gleichung für $a,b,c$ entstanden.

4. Der y-Achsenabschnitt liefert eine besonders einfache Bedingung

Der Graph schneidet die y-Achse bei

x=0.

Deshalb gilt:

f(0)=c.

Ist zum Beispiel bekannt:

Der Graph schneidet die y-Achse bei $3$ ,

dann gilt sofort:

\boxed{c=3}.

Denn:

\begin{aligned} f(0) &=a\cdot0^2+b\cdot0+c\\ &=c. \end{aligned}

5. Eine Nullstelle liefert ebenfalls eine Bedingung

Ist

x_0

eine Nullstelle, dann gilt:

\boxed{ f(x_0)=0. }

Beispiel:

x=2

ist Nullstelle von

f(x)=ax^2+bx+c.

Dann:

f(2)=0.

Also:

\boxed{ 4a+2b+c=0. }

6. Drei Punkte bestimmen eine quadratische Funktion

Gegeben seien die Punkte

P_1(0|1),

P_2(1|3),

P_3(2|9).

Gesucht ist eine quadratische Funktion

f(x)=ax^2+bx+c.

Wir übersetzen jeden Punkt in eine Gleichung.

7. Erste Bedingung einsetzen

Aus

P_1(0|1)

folgt:

f(0)=1.

Also:

a\cdot0^2+b\cdot0+c=1.

Damit:

\boxed{c=1}.

8. Zweite Bedingung einsetzen

Aus

P_2(1|3)

folgt:

f(1)=3.

Also:

a+b+c=3.

Da bereits

c=1

bekannt ist:

a+b+1=3.

Damit:

\boxed{ a+b=2. }

9. Dritte Bedingung einsetzen

Aus

P_3(2|9)

folgt:

f(2)=9.

Also:

4a+2b+c=9.

Mit

c=1

erhalten wir:

4a+2b+1=9.

Also:

4a+2b=8.

Durch $2$ :

\boxed{ 2a+b=4. }

10. Gleichungssystem lösen

Wir besitzen:

a+b=2

und

2a+b=4.

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten:

\begin{aligned} 2a+b&=4\\ a+b&=2\\ \hline a&=2. \end{aligned}

Nun in

a+b=2

einsetzen:

2+b=2.

Damit:

b=0.

Außerdem:

c=1.

Die gesuchte Funktion lautet daher:

\boxed{ f(x)=2x^2+1. }

11. Probe durchführen

Eine gefundene Funktionsgleichung sollte mit allen gegebenen Bedingungen kontrolliert werden.

Für

f(x)=2x^2+1

prüfen wir:

f(0)=1,

f(1)=2+1=3,

f(2)=8+1=9.

Alle drei Punkte liegen auf dem Graphen.

Die Funktion erfüllt sämtliche Bedingungen.

12. Nicht jede Aufgabe verlangt die allgemeine Form

Die Form

f(x)=ax^2+bx+c

funktioniert sehr allgemein.

Manchmal ist aber eine andere Darstellung schneller.

Bei quadratischen Funktionen sind insbesondere drei Formen hilfreich:

Allgemeine Form

\boxed{ f(x)=ax^2+bx+c }

Scheitelpunktform

\boxed{ f(x)=a(x-x_S)^2+y_S }

Produktform

Sind die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ bekannt:

\boxed{ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2). }

13. Scheitelpunkt als Bedingung verwenden

Ist der Scheitelpunkt

S(x_S|y_S)

gegeben, eignet sich die Scheitelpunktform besonders gut:

f(x)=a(x-x_S)^2+y_S.

Beispiel:

S(2|-3).

Dann kann sofort geschrieben werden:

\boxed{ f(x)=a(x-2)^2-3. }

Nur noch $a$ ist unbekannt.

Ein weiterer Punkt reicht nun aus, um $a$ zu bestimmen.

14. Beispiel mit Scheitelpunkt und Punkt

Gegeben:

S(2|-3)

und

P(4|5).

Ansatz:

f(x)=a(x-2)^2-3.

Da $P(4|5)$ auf dem Graphen liegt:

f(4)=5.

Einsetzen:

5=a(4-2)^2-3.

Also:

\begin{aligned} 5&=4a-3 &&/+3\\ 8&=4a &&/:4\\ a&=2. \end{aligned}

Damit:

\boxed{ f(x)=2(x-2)^2-3. }

15. Nullstellen als Bedingungen verwenden

Sind beide Nullstellen einer quadratischen Funktion bekannt, ist häufig die Produktform besonders günstig.

Gegeben:

x_1=-1

und

x_2=3.

Dann:

f(x)=a(x+1)(x-3).

Es fehlt nur noch $a$ .

Ist zusätzlich bekannt, dass

P(0|-6)

auf dem Graphen liegt, gilt:

-6=a(0+1)(0-3).

Also:

-6=-3a.

Damit:

a=2.

Die Funktion lautet:

\boxed{ f(x)=2(x+1)(x-3). }

16. Welche Form sollte man wählen?

Die Wahl eines geschickten Ansatzes kann viel Arbeit sparen.

Mehrere beliebige Punkte gegeben

Oft günstig:

f(x)=ax^2+bx+c.

Scheitelpunkt gegeben

Oft günstig:

f(x)=a(x-x_S)^2+y_S.

Nullstellen gegeben

Oft günstig:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Tipp:
Wähle eine Form, in der möglichst viele gegebene Informationen bereits automatisch eingebaut sind.

17. Allgemeine Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion kann zum Beispiel die Form

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

besitzen.

Das ist eine Polynomfunktion dritten Grades.

Es gibt vier unbekannte Koeffizienten:

a,\quad b,\quad c,\quad d.

Daher benötigt man normalerweise vier unabhängige Bedingungen, um alle Koeffizienten eindeutig bestimmen zu können.

18. Allgemeines Prinzip beim Grad

Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ besitzt in allgemeiner Form $n+1$ Koeffizienten.

Zum Beispiel:

Grad 1

f(x)=ax+b

→ zwei Koeffizienten

Grad 2

f(x)=ax^2+bx+c

→ drei Koeffizienten

Grad 3

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

→ vier Koeffizienten

Dementsprechend benötigt man normalerweise ebenso viele geeignete unabhängige Bedingungen.

19. Polynomfunktion dritten Grades aus vier Punkten

Gesucht ist eine Polynomfunktion dritten Grades durch die Punkte

P_1(0|1),

P_2(1|2),

P_3(-1|0),

P_4(2|9).

Wir verwenden:

\boxed{ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. }

20. Bedingung aus $P_1(0|1)$

Es gilt:

f(0)=1.

Damit:

d=1.

Also:

\boxed{d=1}.

21. Bedingung aus $P_2(1|2)$

Es gilt:

f(1)=2.

Einsetzen:

a+b+c+d=2.

Mit

d=1

folgt:

\boxed{ a+b+c=1. }

22. Bedingung aus $P_3(-1|0)$

Es gilt:

f(-1)=0.

Einsetzen:

-a+b-c+d=0.

Mit

d=1

folgt:

-a+b-c+1=0.

Also:

\boxed{ -a+b-c=-1. }

23. Bedingung aus $P_4(2|9)$

Es gilt:

f(2)=9.

Einsetzen:

8a+4b+2c+d=9.

Mit

d=1

erhalten wir:

8a+4b+2c=8.

Durch $2$ :

\boxed{ 4a+2b+c=4. }

24. Gleichungssystem vereinfachen

Wir besitzen:

a+b+c=1

-a+b-c=-1

4a+2b+c=4.

Addieren wir die ersten beiden Gleichungen:

2b=0.

Damit:

\boxed{b=0}.

Die erste Gleichung wird zu:

a+c=1.

Die dritte Gleichung wird zu:

4a+c=4.

25. Restliche Koeffizienten bestimmen

Wir haben:

a+c=1

und

4a+c=4.

Subtraktion:

\begin{aligned} 4a+c&=4\\ a+c&=1\\ \hline 3a&=3. \end{aligned}

Damit:

a=1.

Nun:

a+c=1.

Also:

1+c=1

und damit:

c=0.

Zusammen:

a=1, \quad b=0, \quad c=0, \quad d=1.

Die gesuchte Funktion lautet:

\boxed{ f(x)=x^3+1. }

26. Probe für die Polynomfunktion

Wir kontrollieren alle vier Punkte.

f(0)=0^3+1=1

f(1)=1^3+1=2

f(-1)=(-1)^3+1=0

f(2)=2^3+1=9.

Alle Bedingungen sind erfüllt.

27. Nullstellen bei allgemeinen Polynomfunktionen nutzen

Kennt man mehrere Nullstellen, kann auch bei höheren Polynomfunktionen eine Produktdarstellung hilfreich sein.

Sind zum Beispiel

x_1=1, \qquad x_2=-2, \qquad x_3=4

Nullstellen einer Funktion dritten Grades, kann man schreiben:

\boxed{ f(x)=a(x-1)(x+2)(x-4). }

Ist zusätzlich ein weiterer Punkt bekannt, lässt sich $a$ bestimmen.

So muss man nicht vier allgemeine Koeffizienten gleichzeitig berechnen.

28. Beispiel mit drei Nullstellen und einem Punkt

Gegeben seien die Nullstellen:

1,\quad -2,\quad 4

und der Punkt

P(0|16).

Ansatz:

f(x)=a(x-1)(x+2)(x-4).

Punkt einsetzen:

16 = a(0-1)(0+2)(0-4).

Damit:

16 = a\cdot(-1)\cdot2\cdot(-4).

Also:

16=8a.

Daher:

a=2.

Somit:

\boxed{ f(x)=2(x-1)(x+2)(x-4). }

29. Bedingungen müssen unabhängig sein

Nicht jede Sammlung von Bedingungen liefert genügend neue Information.

Beispiel:

Wenn zweimal nur dieselbe Aussage gegeben ist,

f(1)=3

und nochmals

f(1)=3,

entsteht nicht plötzlich eine zweite unabhängige Gleichung.

Man benötigt Bedingungen, die tatsächlich zusätzliche Information liefern.

30. Zu wenige Bedingungen

Für

f(x)=ax^2+bx+c

seien nur die beiden Punkte

P(0|1)

und

P(1|3)

gegeben.

Dann entstehen nur zwei Gleichungen für drei unbekannte Koeffizienten.

Es gibt im Allgemeinen mehrere quadratische Funktionen, die beide Punkte erfüllen.

Die Funktion ist noch nicht eindeutig bestimmt.

31. Widersprüchliche Bedingungen

Bedingungen können auch unvereinbar sein.

Zum Beispiel:

f(1)=2

und gleichzeitig

f(1)=5.

Keine Funktion kann am selben $x$ -Wert gleichzeitig zwei verschiedene Funktionswerte besitzen.

Das Gleichungssystem besitzt dann keine Lösung.

32. Auf den geforderten Grad achten

Ist ausdrücklich eine Funktion dritten Grades verlangt, lautet der Ansatz:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

mit

\boxed{a\neq0}.

Ergibt die Rechnung

a=0,

dann ist das Ergebnis tatsächlich keine Funktion dritten Grades.

Das kann darauf hinweisen, dass

die Bedingungen keinen echten kubischen Verlauf erzwingen,
oder die Aufgabenstellung beziehungsweise die Rechnung geprüft werden muss.

33. Bedingungen sauber übersetzen

Der wichtigste Schritt ist häufig nicht das Lösen des Gleichungssystems, sondern die Übersetzung der Angaben.

Punkt $P(x_0|y_0)$

\boxed{ f(x_0)=y_0 }

Nullstelle $x_0$

\boxed{ f(x_0)=0 }

y-Achsenabschnitt $d$

\boxed{ f(0)=d }

Scheitelpunkt $S(x_S|y_S)$

Bei einer quadratischen Funktion kann direkt die Form

\boxed{ f(x)=a(x-x_S)^2+y_S }

verwendet werden.

34. Gleichungssystem strukturiert lösen

Sind mehrere Gleichungen entstanden, sollte man nicht unübersichtlich gleichzeitig rechnen.

Eine gute Strategie ist:

besonders einfache Gleichungen zuerst verwenden,
bekannte Koeffizienten sofort einsetzen,
verbleibende Gleichungen vereinfachen,
das kleinere Gleichungssystem lösen.

Beispiel:

Aus

f(0)=4

folgt bei

f(x)=ax^2+bx+c

sofort:

c=4.

Diese Information sollte gleich in die übrigen Gleichungen eingesetzt werden.

35. Elektronische Hilfsmittel

Bei größeren Gleichungssystemen kann ein elektronisches Hilfsmittel beim Lösen unterstützen.

Die mathematische Modellierung bleibt aber trotzdem notwendig.

Das Hilfsmittel kann nicht selbst entscheiden, dass aus

P(2|7)

die Bedingung

f(2)=7

entsteht.

Die Bedingungen müssen zuerst korrekt in Gleichungen übersetzt werden.

36. Ergebnis sinnvoll darstellen

Nach dem Lösen des Gleichungssystems sollte nicht nur eine Liste von Koeffizienten stehen.

Aus

a=2, \qquad b=-3, \qquad c=5

wird die vollständige Funktionsgleichung:

\boxed{ f(x)=2x^2-3x+5. }

Erst damit ist die eigentliche Aufgabe beantwortet.

37. Typische Fehler

Fehler 1: Falschen Grad ansetzen

Für eine quadratische Funktion:

f(x)=ax^2+bx+c.

Für eine Funktion dritten Grades:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

Fehler 2: Punktkoordinaten vertauschen

Aus

P(2|7)

folgt:

f(2)=7.

Nicht:

f(7)=2.

Fehler 3: Nullstelle falsch übersetzen

Ist

x=3

eine Nullstelle, gilt:

\boxed{ f(3)=0. }

Fehler 4: Bedingung nur hinschreiben, aber nicht einsetzen

Aus

f(2)=7

muss beim Ansatz

f(x)=ax^2+bx+c

wirklich

4a+2b+c=7

werden.

Fehler 5: Zu wenige Bedingungen übersehen

Drei unbekannte Koeffizienten benötigen normalerweise drei unabhängige Gleichungen.

Fehler 6: Ergebnis nicht prüfen

Ein Rechenfehler im Gleichungssystem fällt oft sofort auf, wenn die ursprünglichen Bedingungen anschließend in die gefundene Funktion eingesetzt werden.

38. Vorgehensplan: quadratische Funktion bestimmen

Schritt 1

Passenden Ansatz wählen:

f(x)=ax^2+bx+c.

Oder bei geeigneten Angaben Scheitelpunkt- beziehungsweise Produktform verwenden.

Schritt 2

Jede Bedingung mathematisch formulieren.

Schritt 3

Werte einsetzen und Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten erzeugen.

Schritt 4

Das Gleichungssystem lösen.

Schritt 5

Koeffizienten in den Funktionsterm einsetzen.

Schritt 6

Alle ursprünglichen Bedingungen kontrollieren.

39. Vorgehensplan: allgemeine Polynomfunktion bestimmen

Schritt 1: Grad bestimmen

Welche Polynomform ist verlangt?

Zum Beispiel dritten Grades:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

Schritt 2: Unbekannte zählen

Hier:

a,b,c,d.

Also vier unbekannte Koeffizienten.

Schritt 3: Bedingungen übersetzen

Jeden Punkt und jede weitere gegebene Eigenschaft in eine mathematische Gleichung umwandeln.

Schritt 4: Gleichungssystem lösen

Besonders einfache Gleichungen zuerst nutzen.

Schritt 5: Funktion anschreiben

Alle berechneten Koeffizienten einsetzen.

Schritt 6: Probe

Jede ursprüngliche Bedingung mit der fertigen Funktion überprüfen.

40. Zusammenfassung

Quadratische Funktion

\boxed{ f(x)=ax^2+bx+c }

Drei unbekannte Koeffizienten bedeuten normalerweise:

\boxed{\text{drei unabhängige Bedingungen}}

Funktion dritten Grades

\boxed{ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d }

Vier unbekannte Koeffizienten bedeuten normalerweise:

\boxed{\text{vier unabhängige Bedingungen}}

Punktbedingung

\boxed{ P(x_0|y_0) \Longrightarrow f(x_0)=y_0 }

Nullstellenbedingung

\boxed{ x_0\text{ Nullstelle} \Longrightarrow f(x_0)=0 }

Merke:
Bedingungen werden zu Gleichungen.
Die Gleichungen bestimmen die unbekannten Koeffizienten.
Am Ende wird jede Bedingung mit der fertigen Funktion kontrolliert.

Polynomfunktionen aus Bedingungen bestimmen

Polynomfunktionen aus Bedingungen bestimmen

1. Quadratische Funktion in allgemeiner Form

2. Warum braucht man drei Bedingungen?

3. Ein Punkt liefert eine Bedingung

4. Der y-Achsenabschnitt liefert eine besonders einfache Bedingung

5. Eine Nullstelle liefert ebenfalls eine Bedingung

6. Drei Punkte bestimmen eine quadratische Funktion

7. Erste Bedingung einsetzen

8. Zweite Bedingung einsetzen

9. Dritte Bedingung einsetzen

10. Gleichungssystem lösen

11. Probe durchführen

12. Nicht jede Aufgabe verlangt die allgemeine Form

Allgemeine Form

Scheitelpunktform

Produktform

13. Scheitelpunkt als Bedingung verwenden

14. Beispiel mit Scheitelpunkt und Punkt

15. Nullstellen als Bedingungen verwenden

16. Welche Form sollte man wählen?

Mehrere beliebige Punkte gegeben

Scheitelpunkt gegeben

Nullstellen gegeben

17. Allgemeine Polynomfunktion

18. Allgemeines Prinzip beim Grad

Grad 1

Grad 2

Grad 3

19. Polynomfunktion dritten Grades aus vier Punkten

20. Bedingung aus P1(0∣1)P_1(0|1)P1​(0∣1)

21. Bedingung aus P2(1∣2)P_2(1|2)P2​(1∣2)

22. Bedingung aus P3(−1∣0)P_3(-1|0)P3​(−1∣0)

23. Bedingung aus P4(2∣9)P_4(2|9)P4​(2∣9)

24. Gleichungssystem vereinfachen

25. Restliche Koeffizienten bestimmen

26. Probe für die Polynomfunktion

27. Nullstellen bei allgemeinen Polynomfunktionen nutzen

28. Beispiel mit drei Nullstellen und einem Punkt

29. Bedingungen müssen unabhängig sein

30. Zu wenige Bedingungen

31. Widersprüchliche Bedingungen

32. Auf den geforderten Grad achten

33. Bedingungen sauber übersetzen

Punkt P(x0∣y0)P(x_0|y_0)P(x0​∣y0​)

Nullstelle x0x_0x0​

y-Achsenabschnitt ddd

Scheitelpunkt S(xS∣yS)S(x_S|y_S)S(xS​∣yS​)

34. Gleichungssystem strukturiert lösen

35. Elektronische Hilfsmittel

36. Ergebnis sinnvoll darstellen

37. Typische Fehler

Fehler 1: Falschen Grad ansetzen

Fehler 2: Punktkoordinaten vertauschen

Fehler 3: Nullstelle falsch übersetzen

Fehler 4: Bedingung nur hinschreiben, aber nicht einsetzen

Fehler 5: Zu wenige Bedingungen übersehen

Fehler 6: Ergebnis nicht prüfen

38. Vorgehensplan: quadratische Funktion bestimmen

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

Schritt 6

39. Vorgehensplan: allgemeine Polynomfunktion bestimmen

Schritt 1: Grad bestimmen

Schritt 2: Unbekannte zählen

Schritt 3: Bedingungen übersetzen

Schritt 4: Gleichungssystem lösen

Schritt 5: Funktion anschreiben

Schritt 6: Probe

40. Zusammenfassung

Quadratische Funktion

Funktion dritten Grades

Punktbedingung

Nullstellenbedingung

Passende quadratische Form wählen

Unbekannte Koeffizienten bestimmen

Bedingungen übersetzen

20. Bedingung aus $P_1(0|1)$

21. Bedingung aus $P_2(1|2)$

22. Bedingung aus $P_3(-1|0)$

23. Bedingung aus $P_4(2|9)$

Punkt $P(x_0|y_0)$

Nullstelle $x_0$

y-Achsenabschnitt $d$

Scheitelpunkt $S(x_S|y_S)$